Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, спектральная харакюристика выходного сигнала также будет зависеть от искомых параметров К и К„. Тогда функционал (2.246) можно записать в следующем виде: )(к,к„) =[с" (к,к„)-с" ] ' [с*(к,к„)-с* ~ (2 253) и поставленная задача принимает форму: Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 172 «(» Ки) ь '"'" к,к„ В качестве ортонормированного базиса использовались функции Уолша и удерживалось 32 члена разложения В базисе функшзй Уолша оператор интегрирования на интервале исследования [0,5] имеет следующий вид(приведена клетка размерностью 8и8) 0 0,3125 0,3125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' 0 В качестве начальных значений искомых параметров регулятора были приняты Кь =1, К,", =1 В этом случае значение функционала (2 253) равно Г(К",К,",) =48854 !О Минимизация функционала (2.253) осуществлялась с использованием алюритма Нелдера — Мидда— шгоритма безусловной минимизации функции многих переменных Точность расчета задавалась равной 0,01% В результате решения зааачи были найдены следующие значения параметров регулятора К' 4 0195 10-з К 2 7243 10-4 а значение функционала равно 1(К Ки) = 5 1736'10 На рис 2 92 предо швлены графики эталонного и реального переходных процессов 1,2 0,8 0,6 0,4 1,2 2 3 0 1 4 5 Рмс.
2.92. Графмкн эталонной и реальной перекодных характеристик Пример 2.25. Структурная схема системы представлена на рис 2.93 Г Регулятор ! Рне. 2.93. Структурная схема сиешмы 2,5 — 1,25 0 -0.625 0 0 О -0,3125 1,25 0 -0,625 0 0 О -0,3!25 0 О 0,625 0 0 0 -0,3125 0 0 0,625 0 0 0 — 0,3125 0 0 0 0 0 0 0 0 0,3125 О 3125 О 0 0 0 0 0 0 0 0 173 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Поведение САУ описываезся следующей системой диффереищшльных уравнений а ми(г) в а ми (г) = Ьз.
с'(г) ч- Ь!""е(г) в Ьс' с (г), где входной сигнал регулятора с(г) определяется зависимостью е(г) = у(г) — х(г); у(г) и х(г) — соответственно входной и выходной сигналы системы управления При этом выходной сигнал определяется дифференциальным уравнев~ем а,'х (г) +а,'х'(г) +а,'х'(г)+айх(г) = Ь;и'(г) +Ьйи(г) Коэффициенты дифференциального уравнения объекта имеют следующие значения аз =1 аз =3,1, п1'— - 29, ай=3. 61|=2 Ьйьз а ° =1; а~ =О. с — 0 Требуется определить оптимальные, в известном смысле, значения коэффициентов Ь,, Ь, Ь<, дифференциального уравнения корректирующего устройства, которым соответствуют параметры К„, К .
К„ ПИД-регулятора, исходя из условия обеспечения минимальвого отклонения выходного сигнала системы хр(г,р) от эталонного х,(г) Эталонный процесс х,(г)=1-е " задан как желаемая реакшзя на ступенчатый входной сигнал у,(г) =1(г) . С помощью метода матричных операторов определены следующие оптимюзы<ые значения параметров регулятора К„=(Ь(ч,. ) =2,4810, К =(Ь,~') =1,4669, К, =(Ьзп) = 1,5697 В качестве стартовой точки поиска экстремума были взяты следующие значения параметров К„=0,1, К=1, К =О На рис 2 94 представлены графики эталонного н реального переходных процессов до выполнения оптимизации (стартовая точка) и график для найденных оптимальных значений параметров ПИД-ре~улятора 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Рис.
2.94. Эталонный н реальный выходные сигналы системы до оптимизации параметров регулятора и после оптимизации Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 174 2.12. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В предыдущих параграфах были рассмотрены методы синтеза регуляторов в классе стационарных систем. Задача принципиально усложняется, если объект и регулятор имеют переменные параметры, т.е.
находится решение задачи в классе не- стационарных систем. В настоящем параграфе делаются обобщения рассмотренных в предыдущих параграфах методов, ориентированных на решение задач синтеза регуляторов в классе стационарных систем, на нестационарные системы. 2.12.1.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ ПРИ ОПИСАНИИ СИСТЕМЫ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ ИМПУЛЬСНЫМИ ПЕРЕХОДНЫМИ ФУНКЦИЯМИ Рассмотрим дифференциальное уравнение системы с переменными параметрами и «~ ~а„(г)х(«) = ~~) Ь„(г)у(") . «=о «=о Введем в рассмотрение линейные дифференциальные операторы и а« 1х = ~~ а«Я — = а„Я р" О.г. и а! Я р + ао Я = (с ( р, Г), «=О Аг' (2.255) «а у« д Ь =~ Ь(г) — =ЬиЯр" о...+Ь Яр+ЬоЯ= Е (р г), р=— ссг" .=о Тогда уравнение (2.255) можно записать так Ь„(р,г)х(г) = Е (рА) у(г) .
(2.256) Последнее уравнение в символической форме принимает вид [141[ х(г) = Ь,'(р,г)ь,(р,г)у(г) = Ау(г). (2.257) Из (2.257) следует, что выход системы х(г) является результатом воздействия оператора А на вход у(г) . ! Оператор Е~ — — ь„(р,г)= обычно называют интегрирующим, а опера- Ь„(рд) Рис. 2.95. Последовательное соединение обратных друг другу операторов Если два нестационарных элемента описываются уравнениями (рис. 2.95) Ьс(рд)х~ (г) = Ь (рА) уЯ и 1 (рА)хЯ= Ь (рА)х~(г), тар Ез — — Ь ( рд) — дифференцирующим.
Можно ввести в рассмотрение обратные операторы. Если АВ = I, где 7 — единичный оператор, то оператор В называют обратным по отношению к оператору А; тогда АА 1=/. (2.258) В частности, обратными друг другу являются операторы интегрирования и дифференцирования. 175 1'лава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем (у (рд) то первому из них соответствует оператор А= ', а второму — оператор ~.„(р,г) ' А '= '" ' . тогда х,(г)=АуЯ и х(г)=А 'х,(г)=А 'Ау(г)=/у(1); отсюда ~,(р ) х(г) = у(г) . После введения понятия оператора системы с переменными параметрами легко сделать постановку проблемы синтеза регулятора нестационарной системы, рассматривая в качестве примера конкретную задачу.
На вход системы (рис. 2.96) поступает полезный нестационарный случайный сигнал т(г) и нестационарная помеха п(г) . г ! ! ! «и=н )+Ф~~ ! + ! Рис. 2.96. Струитуриаа схема системы Статистические хаРактеРистики сигналов т(г) и п(г) известны: йм (го12), к„„(гпгз) — корреляционные функции соответственно полезного сигнала т(г) и помехи п(Г) (положим, что т(1) и пЯ вЂ” не коррелированны). В рассматриваемой задаче полагаем известными н уравнения, описываюшие динамику нестационарного объекта Задача заключается в нахождении структуры и параметров нестацианарнага корректирующего устройства, такага, которое обеспечивало бы выполнение следующего условия М~(т(г) — Х(г)) ~-а ш1п.
Решая уравнение Винера — Хопфа, можно найти эталонный оператор А' замкнутой нестационарной системы. Таким образом, в рассматриваемой постановке задачи А' и А, — известны, а А,„ подлежит определению. В 91А приведено решение поставленной задачи в терминах принципа динамической компенсации; оно имеет вид А = А !(«' — А') А'. . (2.259) С использованием введенных выше дифференциальных операторов определяюших оператор А, задача синтеза сводится к нахождению Е„(рр) и ье(р г), определяюших дифференциальное уравнение ь„(р,г)и(г) = А,(р,г)е(г).
и(г)=А е(г)=2,„'(р,г)У (р,г)е(г). (2.260) Тогда (2.261) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 176 /с,( т)=()/с,(Н,т)/г,(/,Н)г/Н, г (2.262) где /г (/,т) — ИПФ регулятора; /г, (/, т) — ИПФ объекта управления. Предварительно отметим, что наряду с обратными операторами можно ввести в рассмотрение и обратные ИПФ (рис. 2.97). Рне. 2.97. К определению понятия обратное ИПФ Имеем х (/) = ) /г (/, т) хг (т) г/т = ) /1 ' (/, Ч) /г (Ч, т) е/Ч . о ! Поскольку элементы являются обратными, то ! к Я = ~/, -'(/,Ч) ~(Ч,т) /Ч = б(/-т), ! (2.263) следовательно ! ) /(/,Ч)/-(Ч,т) /Чюб(/-т).
! Из (2.262),умножая обе части на !(о (/,т) и интегрируя, найдем ! ч ) /гр(Ч т)/го (/ Ч)дгЧ =) /го (/ Ч) /Ч~ /го(Ч Н)8.у(рот) /Н, или ! /гау (/ г) ~ /1р (г) т)/го (/ У1)г/Ч ! Соответствующая структурная схема имеет вид (рис. 2.98). (2.264) г- /г,у (г,т) Рне. 2.98. К задаче нахожденоя ИПФ регулятора Реализация рассмотренного подхода связана с преодолением значительных трудностей; получение конструктивных результатов возможно лишь в простейших случаях, Рассмотрим решение поставленной задачи с использованием аппарата импульсных переходных функций. ИПФ разомкнутой системы, включающей последовательное соединение регулятора и объекта управления, определяется зависимостью (141] Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 177 В задаче синтеза в качестве эталонной задается ИПФ замкнутой системы !с (А т); она связана с ИПФ кр (А т) очевидной зависимостью ! й(гт)й(гт)~/~р(г!))й(х)т)с(!) (2.265) Последнее соотношение представляет собой интегральное уравнение, позволяющее найти ИПФ к(г,т) замкнутой системы по ИПФ к (бт) разомкнутой системы управления. Алгоритм синтеза регулятора включает следующие этапы: ° задание из соображений обеспечения заданного качества работы систечы эталонной ИПФ к,(бт) замкнутой САУ (например, она может быть найдена путем решения уравнения Винера — Хопфа); ° нахождение эталонной ИПФ к,',(1,т) разомкнутой системы путем решения интегрального уравнения й,(г,т) = й,'(Ат) -~й,'(к Л) й, Ь, т'у7П; с ° расчет ИПФ регулятора па формуле ! кх„(бт)= ) Кр(х1,т)ко (П!1)ах) (2.267) С учетом сказанного структурная схема системы с регулятором может быть представлена так (рис. 2.99).
! ! Объект Регулятор у(!) + Рос. 2.99. Структурная схема нестаонооарноа системы с регулятором с ИПФ х (с,с) Как и в предыдущих случаях, в которых рассматривались стационарные системы (92.2), при решении задачи синтеза регуляторов в классе нестационарных систем имеет место принцип динамической компенсации. Трудности реализации подхода, использующего аппарат ИПФ, состоят как в необходимости решения достаточно сложных интегральных уравнений, так н в отыскании и реализации обратных импульсных переходных функций. 2.12.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ ПРИ ОПИСАНИИ СИСТЕМЫ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Достаточно конструктивное, с вычислительной точки зрения, решение задачи синтеза регулятора с использованием принципа динамической компенсации позволяет получить аппарат матричных операторов (см, главу 9, том 1).
В терминах метода матричных операторов задача синтеза может быть сформулирована так: найти матричный оператор корректирующего устройства из условия !3 зех зоо 178 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества Часть П матричного оператора корректирующего устройства; ° реализация схемы корректирующего устройства, имеющего требуемый матричный оператор. В обшем же случае эталонный оператор замкнутой системы А' выбирается из условия обеспечения необходимого качества работы САУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
