Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2.74) !1351 Т,с Т. Га с", ск. н с", Ск! С4 с„" С2" С2 Ск' с," Т,с Т. Га с„" с" Ск" к„ Ск" с" Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Глава 2. Методы синтеза е лято ов а классе одноме ных систем 147 Рис. 2.74. Структурная схема системы идентификавни с помошью моделя с настравваемыьш параметрамп: ВКО- вычислитель критерия ошибки; ВП вЂ” вычислитель параметров Сущность метода состоит в том, что входное воздействие у(1) подается на идентифицируемый объект и его модель (рис. 2.74). Структура модели объекта с настраиваемыми параметрами с," учитывает структуру реального объекта.
Выходной сигнал объекта х(г) сравнивается с сигналом выхода модели х„(1), и в соответствии с выбранным критерием ошибки е(1) =х(1)-х„(1) осуществляется настройка парамет- ров модели с,". Структура выбранной модели объекта оказывает большое влияние на точность и скорость настройки параметров, которая в значительной степени определяется взаимосвязью, существующей между ними.
Как и в методах, описанных ранее, ИПФ модели объекта представляется в виде ! )с„(т) = ~с„"Е„(т) =(С") 1.(т), т=о и,т где С" =(со, с,", ..., сз"') — настраиваемые параметры модели, т 1.(т) = (се (т), Е, ( с), ..., Е, (т)) — одностолбцовая матрица функций Лягерра. Для расчета матрицы С" можно воспользоваться методом вспомогательного оператора. Если 1 = г (е) — критерий, характеризующий степень близости модели и объекта, то имеет место соотношение (135) д) дг" (е) дв с,' (1) = )ь — = )ь —, 1 = 0,1, дс," де дс," где )ь — некоторый коэффициент.
Поскольку Е(д) = ~И', (у) — И'„(С',д)) У(д), где И',(д) — ПФ идентифицируемого объекта, И'„(С", д) — ПФ модели, представляющей собой каскадное соединение элементов с ИПФ, являющимися функциями Лягерра, то (!35) с," (т) =-) у(1) =-л 2,,(д)у(1). у-(а) дИ'„(С", д) у (е) де дс,' дв В [135] детально изложена теория систем с настраиваемыми моделями 11' 148 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Структурная схема системы идентификации, основу которой составляет последняя формула, имеет вид (рис. 2.75). Рис. 2Л5. Структуриаа схема системы ияеитификаиии Система идентификации представляет собой вычислительное устройство, осуществляющее следующие операции: ° преобразование входного сигнала у(г) звеньями, представляющими собой фильтры Лягерра с ПФ ьа(у), Е~(з), ..., Щ); ° дифференцирование сигнала, являющегося выходом элемента, формирующего значение г(е(т)); ° умножение сигналов Хк(г) и 2'(Г); ° интегрирование с коэффициентом усиления а..
Из структурной схемы (рис. 2.75) следует, что настройка модели производится независимо по параметрам са, с,", ..., с,". 2.9.4. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА РЕГУЛЯТОРА Положим, что задана эталонная ПФ замкнутой системы И', (5); тогда И', (к) = '", (2.201) ' =1.И (.)И.(.)' где И" (у)- ПФ регулятора, И;(а) — ПФ объекта управления.
Поскольку справедливы зависимости а()' () ' ()" ()= .,() '() и И; (.) = И (.)~И. (.) - И. (.)И,(.)~, Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 149 то И',(л)=И' (л)И',( ), где И;(з) = И;(л)-В;(л)И',(з). Обозначая /,(т) = /ы [И,( )), «,(т) = /ы [И. ( )-Ио(л) И;(з)[, можно записать интегральное уравнение, определяющее ИПФ регулятора: /с, (/) = [/с, (/ - ) /с,у ( ~ ) сй . о (2.202) (2.203) Предполагая, что /г,(/) н Е [О,со), /с,(/) н /, [О,со), А, (/) н /, [О,оо), и представляя их в виде С ' = (СО',С~',Сз', ...,СУ') известны.
Таким образом, формулой /с (т) = ~с„ /т(т) с=о определены структура и параметры регулятора. Пример 2Л9. Пусть обьект управлениа определяется Пф и'(л) = Т Так' + (2Т Та4 е Та') л ь /Т, + 2Таь) л+ 1 т~ =04; т =Оз, 4=04 Переходная характеристика ь(ь)- г ~ ( ) — н ЯПф «(с) — г ~ нескорректированноа снесены представлены на рис. 2.76 и 2.77. ! е /с,(г) = ~ са'/т (/), /с,(/) = ) с~'Е (/), с о .=о ~. () и'.)'." ~.() с=о легко записать систему алгебраических уравнений дпя расчета неизвестного вектора Эта система имеет вид (см. вывод формулы (2.173)): 1 с' = , ') с„'с„"с„'„, р=О,/. (2.204) ',=о у,-о Как уже говорилось выше, последняя система является треугольной; в этой сис- теме одностолбцовые матрицы с ' =(со',с,',сз', ...,сс') Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть Ц 150 0,9 О,а 0,7 о,б 0,5 0,4 о,з 0,2 О,! о 0 2 4 6 8 1О Рнс. 2.7б. Графнк переходной харакгернстнкн нескорректнрованной системы О, -О, 2 4 6 8 10 Рнс. 2.77. ИПФ нескорревтнрованной системы В качестве зталонной выберем передаточную функпню замкнутой системы вида И тх~ ые ез + 1,4ыех ь ые 5 причем ые — — †,если Тр = 5,томе = 1 н,следовательно т() 7 хе+1,44+1 11среходнал характеристика зталонной системы имеет вод (рнс. 2.78). 1,5 0,5 0 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 Рнс. 2.78.
Переходнаа характернстнка эталонной системы Глава 2. Методы синтеза е лято ов и классе одиоме иых систем Спектральная характеристика ИПФ эталонной системы, найденная с помощью рассмотренного выше алгоритма может быть записана так (масштабный множитель функций Лягерра выбран равным 6, т е я = 6 ) 0,1724992 -0,366864661 0,3429111181 -О, 236532666 0,126453367 -0,045870733 0,000035366 О, 018696084 — 0,021080456 0,016116197 Таблиг1п 2.!4 ~э(г) 'гэ (г) г,с 0 0.0!5585998 1 0,455438924 0,454389076 0,342599771 0 34!804301 0 1442123!3 0 146322122 4 0,0239421611 0,022093306 -0,0!7593526 -0,019525404 -0 019108016 -0,013159707 -0 010001946 -0,004309597 -0,000986046 -0,000!78641 -0 02794425 0,00036925 -0,0000274 10 0 000966217 ИПФ !г (г) эталонной системы и ее аппроксииация !гэ(г) с помощью функций Лягерра(улержива- лось 10 членов разложения) представлены на рис 2 79, дискретные значения приведены в табл 2 14 О, О, О, О, О, О.
-О, О 2 4 б 8 !О Рнс. 279. Графики ИПФ эталонной системы Аэ(г) и ее аппроксимация уг (г) Для реализации алгоритма необходимо знать ПФ и',(г); она записывается в форме 3500зз + 4900з 90ээ + 591з~ + 2341зэ + 5205зэ + 5100з + 2500 !52 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Запишем спектральную характеристику 8,(г) = 2 '(Н',(г)); она имеет вид 0,572724874 -0,975829066 -0,173914715 1,012815751 -0,39049937 -0,067170956 -0,070279766 О,!00893516 0,045777287 -0,070683042 Днскретнме значения а,(г) н к,(г) приведены в табл.
2.15. Таблица 2.! 5 А;(г) 8,(г) г,с -0,039597192 0 966204896 ! 0 958683938 2 О 885688855 -0,878854658 -0 290145299 -0,294748! 87 -0 1488007781 -О.! 47690903 0,003027259 5 0.001! 7876 6 0,026767303 0 027652086 0 022554218 0 012021285 0 009613417 0,001836034 0 003120536 0,000607778 0,0000975 -0,001039297 !О Графики а,(г) н а,(г) имеют вид(рнс.2.80). 1,5 0,5 -О, 0 2 4 б 8 10 Рнс. 2.80. Графнкн функннй а,(г) н к,(г) Система алгебраических уравнений (2 204) лля рассматриваемого примера запишется так Глава 2.
Методы синтеза е лйто ов в классе одноме ных систем !53 (Аи Агг) где 0,23381 0 0 0 0 -0,63219 0,23381 0 0 0 0,32738 -0,63219 0,23381 0 0 0,48448 0,32738 -0,63219 0,23381 0 -0,5729 0,48448 0,32738 -0,63219 0,2338! Аг,» 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000 Ао= О,!32 -0,5729 0,48448 0,32738 -0,63219 -0,0012692 0,132 -0,5729 0,48448 0,32738 0,069881 -0,0012692 0,132 -0,5729 0,48448 -0,022501 0,069881 -0,00!2692 0,132 -0,5729 -0,047545 т0,022501 0,06988! -0,00!2692 0,132 Ан= 0,23381 О 0 0 0 -0,63219 0,2338! '0 0 0 0,32738 -0,63219 0,23381 0 0 0,48448 0,32738 -0,63219 0,23381 0 -0,5729 0,48448 0,32738 -0,632!9 0,23381 Одностолбцоввя матрннд, определяюгдвя спектральную хараюеристику регулятора, имеет вид 0,737762982 0,425744646 1,584745637 1,148445338 2,35263977 1,899905493 3,110075917 2,655168552 3,866129189 3,410934455 Переходная харнбтсрнегнха И ИПФ скорректированной системы практически совпадает с переходной хармгюристикой и ИПФ эталонной системы (рис.
2.80). Структурная схема скорректированной системы представлена иа рис. 2.81. 10 зв». 666 с» к е с» к 7 с» к г с» 5 с» к 4 с» 5 к с» б с» к 7 с» к 4 с "" к 9 Сб ск 7 ск' г с' 5' ск 4 с' 5 с' б 7 с,' С9 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 !54 рне. 23К Струкьурнан алема САу 2.10.
МЕТОД МОМЕНТОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Е Ь,(г) =Ге з, а Й= ~О,со) . Показано, что если известны моменты функции х(г) е 1, [ О, оо), то эта функция с любой степенью точности в метрике Х ! О,оо) может быть представлена в виде х(г)а~~у с,'ь",(Г), [2.206) ыо где у О с,' = ч) с,„~ Ь„(г) х(г) й, -о о [2.207) ' Приложение метала мометов в теории оптмальното управления отрнкеио в третьей части учебника. Метод моментов нашел широкое применение в математике и приложениях, в том числе в теории автоматического управления . В [4, 5, 125, 126, 127) методом моментов получили решение задачи численного обращения одномерного и многомерного преобразования Лапласа, идентификации и синтеза самонастраивающихся систем.
Напомним, что 1-м моментам функции х(г) относительно Ь,(г) системы Н называется интеграл вида р, =~х(г)Ь,(г)аб 1=1,2,...,1, [2.205) п где Н(г)=(Ь,(г),! =1,2,...,1) — моментная система функций, й — множество, на котором определены функции Ь, (г) и х(г). Множество лт = [!ьл . Ь = 1Д называется множеством моментов. В предыдущем параграфе подробно рассмотрены аспекты применения моментов 1ь, = 1,2,...,1, когда Глава 2. Методы синтеза лято в в классе одном ных систем 155 (2.209) „Ке о»+- » '1+ 9»+- (2.210) Если воспользоваться заменой г, = е ', то из теорема Саса следует утверждение: система Н»(е ~": я 1,2,...; (щО» >0~ полнав»110,»о) в том случае, если » лп9» »-1 1+!9» ! Ортонормированную систему, порожденную системой экспоненцнальных функций, можно записать в виде (р1(г)=сне '"; вз(г)=сне +сме (2.211) ф~(г)=еле и+сне "+...+еле ".
Или в матричной форме -е е -зо ф1(») фз(г) сп сз, сю (2.212) ~р,(г) сл сг» ... сл ю* причем с,„- элементы матрицы ортогоналнзацин, Ь„(»)= »"е з, т =0,1,...„1 — функ- ции моментной системы. Таким обрезом, окончательная формула, определяющая функцию х(1) через ее моменты, имеет вид [126) л ! ~И-Х К а+ ме .-е Можно ввести в рассмотрение моменты вида [126) р,=)х(г)е й, о где Н(г) = (Щ (1) * е ",! 1,2„.,1~ - экспоненциальная моментная система.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
