Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поскольку уравнение Винера — Хопфа имеет вид интегрального уравнения (2.168), то система алгебраических уравнений, связывающая коэффициенты Фурье разложения функций )1гг(т) и )1зт(т) по функциям Лягерра с элементами с~' спектРальной хаРактеРистики объекта С' =(со',с!',сз', ...,с,'г! бУдет иметь вид, аналогичный системе (2.! 73). Основы такого подхода отражены в (147]. Число членов разложения! имеет смысл, обратный параметру регуляризапнн (18).
Очевидно, при 1 -+ со аппроксимация 'лава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем >О! В качестве начального значения множителя А при аппроксимации временных ха/с >актеристик можно выбрать — =(2-!0)Т, где Т вЂ” время затухания аппроксими- 2 з з >уемой функции. Задача идентификации значительно упрошается, если у(!) — белый шум. В этом случае, поскольку Агу (т) = 2лх,б(т), (2.192) Рис. 2д1. К нллнктрацнн процесса сглаживания при решении задачи иденти4>икании с помошью уравнения Винера -Хопфа !в качестве аппроксимирующих полиномов Чебышева, оргон орм альп ые на системе я+1 рави оотстоащих точек н определяемые выражением Структурная схема системы идентификации для построения 2ях,Уг, (т) в форме > 2язо>со ( г) ~ с„з з, (т) (2.193) г о представлена на рис.
2.72. ~о>г) 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 О йзхт (т) = ~яда)1 '1о (>) б(т )ь) г1)ь = 2яхо1го (т) о ый в результате ентифи канн и 0,6 с 0,4 0,2 енной ИПФ 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Рнс. 2Л2. Структурная схема сне>ямы идеитнзрикации Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 142 Известно, что ИПФ, определяемая из уравнения Винера — Хопфа, оптимальна по критерию минимума среднеквадратической ошибки М[(Х(1)-Хы(г)) ~ =ппп, где Хы(г) — выходной сигнал системы с найденной ИПФ путем решения уравнения Винера — )топфа.
В связи с этим легко построить алгоритм расчета элементов спектральной характеристики объекта из следующего условия О х/с')=в[хо)-Е ь/ь! и -*)з ] ч о о д! со', с!, сз',..., с,' Из условия = О, ! = 0,/ легко получить де~' т з т О /хщь„н)ц~- )з з -у/ /з„,! )тл- )з /з„, яц -з)зь]л о о =оо о о Обозначая т т ;., =(.,(1).,,(г) у .. =(Х(г).„у«).~, о о легко найти следуюшую систему алгебраических уравнений Вяз =В„С'ч. (2.!94) (2.195) Откуда следует Прнмер 3.17. Положнм, что с помощью вычнслнтельных устройств, структурные схемы которых описаны выше, получены следующне результаты /нспальзуется один канал н, следовательно, удерживается только нулевой член разложения /е/т)): Ят~ (т) = с~""Де з, т>0; ь! сел~.Де з, т<0; Са' =К 'В (2.196) В зависимостях (2.!94) Т- интервал осреднения, а бесконечный предел означает, что фильтр работает в установившемся режиме.
Последняя система далее будет получена из других соображений. Если построены /!уу (т) и Яду (т) в форме разложения по функциям Лягерра, то можно построить ПФ объекта управления в виде 1! 8) ялту (з) /!лу (з) Я„у(з)-Щу(з) ф,(т), т>0; ]/!'„„(т), т>0; где /!уу (т) = Юлу (т) = Щ(т), т<0; ]/1„т(т), т<0, а /!', (з), Я„у (з), ф, (з), /1„у (з) — преобразования Лапласа (изображения) от со- ответствуюших функций. Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 143 втз сел"' Де т, т а 0; Л (т)= с ут сснДе т, т<0, й, кт — масштабные множители функннв Лягерра Преобршуем по Лапласу приведенные выше зависи- мости; изображения имеют вид: лтт /а ~ )( ) ИПФ имеет внд ~,, ГГ~~ г т-,1 Сан В ~ 'Х2 2/ с Обратимся еше к одному подходу, результаты моделирования которого показали работоспособность и достаточно высокую точность прн решении задачи статической идентификации в условиях нормального функционирования объектов управления (! 8). Имеем 0 Х(у)=),Р (т)У(у- 17Ут, о или, с учетом спектрального представления ИПФ, и В Х(()=~с„'/Е (т)У(у-т)Ыт. -о о Поскольку т„(у) =) Е„(т)у(т-т)Ит — установившийся выходной сигнал у-го о фильтра Лягерра, то Х (у) = У с„"',У„ (т) . (2.1 97) с=о Умножив обе части последнего равенства на,тл(у) и вычислив математическое ожидание полученного произведения, найдем М~Х (у) /р (у)1 д ~се М( У» (г) Ур (у)1 с=о Или, что то же самое, А гхз, =Хе;йу,, т 0 На практике используется конечное число членов разложения; тогда ! а, ЯХ, мХС„Я,,,; мО или в матричном форме в+ -~- 2 т, 2 Отаода находим ПФ объекта управления са» /с, Л- (б) св ув1 Е 2 лн Я я — -т 2 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 144 к =к с', е. (2.!93) где т к„=(я,,й,,й,, ...,й,); т Сл' =(со', с,', сз', ..., с,'); ! к„=~в,„) л 6 (2.199) Приближенная спектральная характеристика объекта управления определяется формулой се' =к 'к совпадающей с зависимостью (2.196). Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 2.73. (2.200) Рнс. 2.7З.
Вычислительное устройство статической ндентификаиии динамических объектов в условиах нормального их функннонированин Она содержит блок фильтров Лягерра, а также!+1 умножителей и!+1 интеграторов. Детально с описанной системой идентификации можно познакомиться в (18!. При использовании любого метода идентификации необходимо помнить, что решение задачи идентификации поставлено некорректно.
Развиваются методы решения некорректных задач, позволяющие влгоритмически осуществлять отбор возможных решений по дополнительной информации о них (131; среди этих методов наибольшей 145 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в Классе одноме ных систем общностью и возможностями выделяется метод регуляризацин А.Н. Тихонова, использующий лишь качественную информацию о гладкости восстанавливаемой функции, В спектральном методе, основанном на разложении ИПФ по ОНБ, неустойчивость решения, свойственная задаче идентификации, проявляется в связи с выбором числа членов разложения!. Для повышения точности восстановления ИПФ необходимо увеличивать ), но при этом проявляются отмеченные особенности и ошибка идентификации возрастает.
С другой стороны, при малых! восстановленная ИПФ будет слишком гладкой. Повышение точности и устойчивости результатов идентификации достигают применением ОНБ в сочетании с тестовыми воздействиями и сглаживанием информационных сигналов. Пример 2.18. В [18) исследованы вопросы точности идентификации с помощью подхода, предполагмошего нахождение спектральной характеристики объекта по формуле (2.200) Объект идентификации имеет ПФ вида 2(0,15я+!) 0 012зз+ 0 2зз + 0 9з+1 Входной сигнал, поступающий на объект управления, формировался фильтром (уев( ) = Т гз+2Т~+! где 4 = 0,5, Т= —, 7" -частота среза.
2яу' ' Принимались следующие значения 7'. 0,25гц 0,5Гц 1Гц, 2Гц Из известных соображений следует, я что сигнал у(г), поступающий на вход объекта, отличен от белого шума Значения — принимались рав- 2 ными 2 и 3. В результате провеления эксперимента находились матрицы дс и Лщ а по формуле (2 200) рассчитывалась приближенная спектральная характеристика объекта: С [со с> сз сз с4 Поскольку передаточная функция я',(з) известна, то по приведенным выше формулам можно рассчитать точную спектральную характеристику объекта; обозначим ее так Так как С' и Сь" известны, то относительная погрешность коэффициентов разложения находилась по формулЕ Л„= " ° 1005ч с=0,4; к с, а в качестве критерия точности идентификации был принят функционал =~2(с- з)'~ 2 '. Результаты расчетов приведены в табл 2.12.
Величина Д во всех вариантах идентификации не превышала 0,005, позюму можно сделать следующий вывод: изложенный подход является работоспособным и позволяет получить достаточно высокую точность ИПФ объекта управления в условиях нормального его функционирования При идентификации объектов управления с ПФ вида [18) 5(0,2зч1) ы 2 0,04з т 0,5з + 1 И з(з) з 5 0 01зз+0,165з+0,75з+1 на выходы подавался псевдослучайный двоичный сигнал единичной интенсивности Шаг интегрирования был выбран равным 0,01, а масштабный коэффициент функции Лягерра Я =! Результаты экспериментов приведены в табл 2.13 Описанные выше результаты экспериментальной проверки метода подробно изложены в [18] 11 Зак.
366 146 Таблица 2.!2 И2, сл зо 0,25 ! 0,5 1,407 0,25 ! 0,5 1,220 -1,069 0,0357 -0,1259 -0,7515 -0,2591 -0,1568 -0,0898 -о,о 1,225 1,416 1,423 1,219 -1,068 0,0487 -0,0963 О,О1З9 -0,7277 -0,2137 — 0,0946 -0,0260 -1,056 0,0568 — 0,0969 О,ОО59 -0,7246 -0,2185 -0,1056 -0,0398 -о,! 0,46 -1,27 0,61 1,! 2 62 62 62 — 3,17 -3,58 63,7 Зб,б — 17,5 -1 5,6 -23,5 -2З,Π— 39,7 -32,7 2! 4 Ьк -136,4 0 000845 — 71,1 0,0040! 5 -55,6 0 002917 -!73,2 0 0008 8 2 1,413 2 1,229 ! 1,228 1 1,420 -1,069 — 0,7279 -0,2815 -0,0998 -О, 1487 -1,062 -0,7184 — 0,2646 -0,0954 -0,1121 0,0374 0,0456 — О,! 110 — 0,0321 -О,! 057 -0,0156 0,72 -0,06 4,6 -11,8 69,3 0,00018 0,69 0,9 -4,4 2,2 — 39,2 24,9 0,002! 0 0,45 62 62 Лк — 0,67 — 3,! 27,7 8,7 — 16,0 -36,4 64 О -17,8 0,00024 65,6 0,00295 Таблица 2.13 В заключение изложим основные положения метода идентификации, в основе которого лежит понятие модели объекта с настраиваемыми параметрами (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
