Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 29
Текст из файла (страница 29)
О. о. Рнн 2Л7, Графини перекодных процессов Прн решении завачн рвсчещ параметров регулятора в качееше эталона можно выбирать не эталонную передаточную функцию (эталонный оператор), а эталонную переходную харакгеристику Ь,(г) . Пример 2.23. Рассмотрим еще один подход к синтезу регуляторов мегодом момеиюв, прелложенный в (9!).
Положим, что заданно изобрюкение вида ( ) 3 ' г 1,6 (2.233) 0 4е» + рггг + р;я+ 5 гле р, м р, — варьмруемыепарамегры. Эталонныйпроцессзадаетсяформулой Х,(г) = (2.234) э 3 „» +! ' Полагая, что х( с) = х,( с), а в юображении, определяющем эталонный процесс, коэффициенгм а, 'и и,' также могут меняться исходя из необходимости расположения полюсов изображении Х(я) внутри заданной области, чем обеспечнвытся необходимая степень и запас устойчивости, в также колебательность системы. Из (2.233) и (2.234) имеем О 32 (О 4»~ + ргяг + р г ь 5) = 16(а,я~+ а »+ 1) . Отсюда получаем 0,4»'+ ! г»'+ р»е+ 5 = 5лге~+ 5Ф+ 5 нлн, потожесамое, !»ге+ р» 5о,*г+ 5о,' - 0,4»' .
В соответствии с методом моментов комплексному переменному г будем при»сиять действншльные значения г» = О, гг = 0,1; ез = 0,2; ее = 0,3; г» = 0,4; ее = 0,5; г» = 0,7; яг = 1,0; гз = 1,5; яш -- 2,0; зн = 5 О; я»г = 7 О; г»з = 1О О. Отсюда получаем системы уравнений (первые пягь уравнений снабжены весовыми множителями, раап ымн соответственно 10, 1О, 5, 3, 2): Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 [бб 1Ор, = 50а,*; !Ор, + рз =50а!'+5аз -О 04; 5Р»+Рг =25а»»+5аз-0,081 Зр, +0,9р, =15а,'+4,5а,'-0,108; 2р, +0,8рз =!Оа,'+4аз -О,!28; р»+0,5рт 5а,'+2,5аз»-0,1; р, +0,7р, = 5а,'+3,5аз-О,!96; Р»+Р»=5а,'+5аз 0,4; )ь+ 1,5рз = 5а,'+7,5аз -0,9; Р»+2Р» =5а,'+1Оаз-!,6; )ь+5рг =5а»'+25аз-10,0; р, +7рз = 5а,'+35аз -19,6; р, + 1Орз = 5а,'+ 50аз -40 О. Из последней сисюмы можно получить следующие уравнения [9Ц 247Р»+ 5 Орз =1235а»'+25 Оаз -7,778; 5,0Р»+19,44Р» =25,0а', ь97,22а1 »-60,33; (2.235) (2,236) отсюдл следует 3,04+! 5,9а,' » -0064' а» =О 636 25а,'+ 1,64 определякп соответственно грвницы обнести устойчивости и двух лсимптот этой тряпицы (рис.
2.88). Рис. 238. Плоскость в коордпивтвх а,' н аг, ня которой показана грямнцл обллсти устойчивости и облвсть допустимых процессов Р» = 5а,'+ 0,328; Рг =5аз -3,!8. Теперь хлржперисгический полинам нюбрнкения, определяющею эталонный процесс, принимает вид !У(х) - "О 4зз+ (5а[ -3 18) гз+(5а,'+ О 328)з+ 5.
Твкнм образом, хлракпристическнй полинам у»пленного изобрнкення зависит от двух козффициен. тов а,' и аг, которые можно мещпь из условия обеспечения заданного качества упрлвления. Уравнения Глава 2. Методы синтеза е лито в в классе одноме ных систем 167 В соответствии с месодикой, и!доменной в 19!1, значения козффипие!пов а,' = 1,8 и а! = 0,8 обсспе«ныиот монотонный проиесс, при ззом р, = 9,ЗЗ; р! =0,82.
Переходные пропессы приведены на рис. 2.89. 0.28 0.2 0.1 0 0.4 1.2 2.0 2Я З.О 4.4 Рнс. 2Л9. Гра4!икн нроасссои х,(!) и х(!) 2.11. МЕТОД МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ (2.239) где х=х, + Я'и; ~с', =Ь„'„; !1; =Ьо„!-ао !Р,;; 7!2 —— Ь„; з-а' !Ь!'-а' Я; ~-! е о чьч о о 7с! =Ь, — к(ыа„,„„/~м. и о Основным положением метода является описание регулятора и объекта в пространстве состояний системами ДУ и эквивалентными им матричными операторами. Положим, что объект управления и регулятор имеют соответственно ПФ вида ме мс-! зн' + а',з"' +... + ао у(з) Ь„"т" +Ь~ !"-!+...+Ь,' ц,) и (.)-" .(2.238) хи+а„""!зи ~+...+аое Е(г) На основе ПФ (2.237) и (2.238) легко получить эквивалентные системы в нормальной форме Коши.
Например, дяя (2.237) система имеет вид 41х ! о — = х„! + Ь! и, ! = 1, по -1; 4!Г с(х яс о о а о — =-а !Х -а 2Х ! —...-аОХ, +к И, 4!! Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 168 рнс. 2.9О. Структурная схема системы ввтоматнческого управления Перейдем к рассмотрению спектральных характеристик временных сигналов и динамических характеристик системы относительно выбранного ортонормированного базиса Ф(!) = ( гр! (!),грз (!),...,гр, (!) ) Рассмотрим векторно-матричное дифференциальное уравнение (2.240). Перейдем от описания объекта и регулятора векторно-матричными дифференциальными уравнениями к их описанию матричными операторами*. Уравнение (2.239) эквивалентно уравнению с матричным оператором вида: С" + ~) А,'„С" = А," С", ! =1,ло, с е« 1+~А,'„Сч =А," С". «! (2.243) Из выражения (2.243) можно определить спектральную характеристику ! -го элемента вектора Х(!) -! ле С' = 1+ )кА,'« .А," С", !=1,ло.
«=! (2.244) Следовательно, систему уравнений (2.239) можно записать в виде векторно- матричного ур внения еле!~ющего вида: Аг! Аг! ... А!„ Аз! Аз! ... Азло А", 0 ... 0 0 А~ ... 0 С"' + А ! Ачз ... А„ 0 0'... А„" ' Теория матрнчнмх операторов наложена в главе 9 первого тома учебника. Аналогичную систему легко записать и для ПФ, определяющей регулятор.
Теперь можно записать векторно-матричные ДУ, описывающие поведение объекта и регулятора Х(!)=А,1+В,и; х=С,Х; (2.240) Х (!)=А (р)Х +В (р)с; и=С Х (2.241) Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 1б9 Ах Сх Аи Си где А',! А!з ... А,'„ Аз! Азз ... Азл„ Сч А х Сх = Аи„! А~„з " Аи„ч, А", О ... О О А~ ... О А" = О О ... А„" Спектральная харак те ся из соотношения истика выходного сигнала определяет или с учетом выражения (2.244) тогда С" =А С", где -! ч и с" (р)-~1, 1 ° 2'1,"(р)~ 1!(р! с'.
1 ! я=! или С"(р) = А;(р) С', где -! ч ч А (р) =~~! 1г'„"1 1+~А„~1 (р) А„'(р). 1 ! я=! Воспользовавшись структурными преобразованиями, можно найти выражение, связывающее спектральные характеристики входного у(Г) и выходного х(!) сигналов: С" (р)=А [1+А А (р)~ А Ар(р) С'. Проводя аналогичные преобразования, получим уравнение, связывающее спектральные характеристики сигнала управления и(!), формируемого регулятором, и сигнала ошибки е(!), причем спектральная характеристика сигнала и(г) будет зависеть от искомых параметров р: 170 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Численные значения параметров регулятора находятся из условия 7' г'(р) =) Яхр(Г, р)-х,(г)1 агг -+ пни о при следующих ограничениях: ° обеспечивается устойчивость системы; ° Х(г)еХш зУге(О,Т1 Хш -заданная область; ° и(г) е(7' 'У!о[О,Т), (г' — заданная область; ° р,м < р, < р,, г' = 1,г; ° С, <С,„,„, где С, — коэффициенты ошибок.
Сформулированная задача решается методами нелинейного программирования, причем функционал (2.245), учитывая спектральную форму описания процессов, имеет вид Т 7(р)=)(с'(р)-С',~ Ф(т) Ф (т) (С" (р) — С',")гй. о Отсюда имеем 7(р) =~с'(р)-с",~ .(с" (р)-с",~. (2.246) Пример 2.24. Рассмотрим канал крена (рис ! !5). Пусть. К„К =62, Т =0,03 с; И'„.(х)=К+ — "; К„ х,(г)=!-е ""; ц,=З, Т =!. В качестве меры близости будем использовать функционал г 7(К,Кч) = Ля„(г, К,К„)-х,(г)]'Ыг, с где Т вЂ” интервал интегрирования Значение Т выбирается значительно превышаюшим время переходно- го процесса Пусть Т = 5 Т = 5 р Рассмотрим объект управления; запишем его дифференциальное уравнение Т,.х(г)+х(г) = К„,К„и(г), или х(г)+а, т(г) =Ь„и(г), К„ Кг где а,= — =33,3, Ь,= — ".а — г м2066,7 Введя в рассмотрение обозначения х,(г) = х(г), хг(г) =х,(г), уравнение (2 247) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (г)=х (г) хз(г) =Ье.и(г) — а, х,(г) (2 243! Таким образом, в результате перехода к рассмотрению спектральных характеристик временных функций и динамических свойств системы автоматического управления функционал (2.245) свелся к виду (2.246).
Это значительно упрощает вычисления, поскольку операции над матрицами и векторами значительно проще реализовать на ЭВМ, чем операции над функциями. !71 Глава 2. Методы синтеза е ллто ов в классе одноме ных систем Последнюю систему уравнений можно записать в виде векторно-матричного дифференциального уравнения Х(г)=Аа'Х(г)+Во.и(г), х(г)=Со'Х(г) ° (2 249) где ""-Ы1) *"~ -Н -'1 (Ьа] (2066,7~ ' (01 В результате сгруктурную схему системы автоматическою управления можно представить в виде, приведенном на рис 2 9) Рнс. 2.91. Структурная схема системы автоматического управления Если перейти к рассмотрению спектральных харакюристик и воспользоваться аппаратом матричного представления операторов в выбраннои ортонормированном базисе, то систему дифференциальных уравнений (2 248) можно записать в виде Сч =РС*', где С"' — спектральная характеристика х,(г), С" — спектральная характеристика х,(г), С" — спектральная характеристика и(г), Р— матрица оператора интегрирования.
Последнюю систему можно записать в следующем виде. или (2 251) Здесь ! — единичная матрица Из последнего уравнения находим спектральные характеристики элементов вектора Х(г) (2 252) Спектральная характеристика выходного сигнала определяется следующим образом С' =«,С* +ц,с"*. В векторно-матричном уравнении (2 252) спектральная характеристика С" сигнала управлению будет зависеть от искомых параметров К и К„.' с" (к, к„) = (к. 1+ к„р] с' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
