Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если известны экспоненциальные моменты вида (2.209) функции х(г) е Е [ О,ю), то х(г) может быть восстановлена с любой степенью точности в метрике»,' [ О, о) . В свмом деле, известна следующая теорема (теорема Саса): положим, что КС = д»вЂ” 1 комплексные показатели, обладающие свойством: Кей» > — н среди них нет рав- 2 ных. Тогда система Р-" [1в:л 1,2,...~ полна в ьз(0,1) в том и только том случае, если Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 156 В работах В.М. Амербаева [4, 5], а также в книге В.И. Крылова и Н.С. Скобля [65] построен аппарат численного обращения преобразование Лапласа с использованием понятия моментов. В.М. Амербаевым задача обращения преобразования Лапласа сформулирована как классическая проблема моментов Хаусдорфа: по заданным 1 моментам функции х(!) р, =~х(!)е '"й, !=1,1, о построить ее приближение х(!), такое, чтобы ! первые моменты х(г) совпадали с известными моментами йо ! = 1,1 функции х(!).
Если известно изображение Х(л) функции х(!), то очевидна справедливость системы моментных равенств р, =~х(г)е на!г, 1=1,1, (2.214) о ь гс Полагая известным изображение Х(л) функции х(!) и з,'[ О, о), легко найти моменты вида: и; = ) ! е з х(!) с!г, ! = 0,1,...,1, о Ю и, =~е тх(!)!(г, !=1,2„.„1 о по следующим формулам ц, =(-1) Хго(з)] и -)Ь'(л)[, „ (2.215) 2 а затем построить приближение х(г) в виде разложения по ортонормнрованному базису [65, 126] (2.216) — разложение по функциям Лягерра (2.217) — разложение по ортогональным экспоненциальиым функциям, Этот подход обобщается на многомерное преобразование Лапласа [125], Последними двумя формулами оаззеделяется минимизирующий в ~ь ~0,еь) элемент решения проблемы моментов.
Другими словами, норма функций х(!) в пространстве !.з'[О,ьь) является минимальной,т.е. !!х],[ =ппп. Из сказанного выше можно сделать вывод: если известно необхоДимое число моментов функции х(!) относительно моментной системы Н, то функцию х(!) можно восстановить с любой степенью точности (например, в метрике Ь [0,<о) ), т.е. Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 157 знание моментов функции х(У) дает возыажность ее восстановления с необходимой точностью.
В ряде работ рассмотрены вопросы определения моментов звеньев САУ, расчета моментов по данным активного эксперимента и по данным нормальной эксплуатации; сделаны обобщения на системы с распределенными параметрами. В (7, 91) близкое по содержанию понятие получило другую трактовку. Следуя (7, 91), приведем определение: характеристикой мнимых частот процесса х(У) .=' Х(з) называетсл функция, получаемая в результате придания аргументу изображения Х(з) вещественных значений з = з, . Очевидно, значения характеристики мнимых частей представляют собой моменты функции х(у) относительно экспоненциальной моментной системы. При практических расчетах удается получить совпадение заданных и полученных характеристик Х(з) не во всем бесконечном множестве точек, а лишь в некоторых точках з =з,. Таким образом, при решении конкретных задач используется конечное число моментов [з, = Х(з) [.
ь. з м 1,2,...,!. (2.218) В [7, 91) приведена формула, определяюшая функцию х(У) по характеристике мнимых частот. А теперь обратимся к задаче синтеза регуляторов с учетом принципиально важного фактора: знание необходимого числа моментов функции х(У) полностью определяет ее во временной области. Приведенное обстоятельство широко используется в тех случаях, когда переход нз пространства изображений в пространство оригиналов сопряжен с преодолением серьезных затруднений.
Один из примеров — случай, когда изображение не является дробно-рациональной функцией и принадлежит, например, к классу трансцендентных изображений, которым описываются процессы в системах с распределенными параметрами. Очень удобный операционный метод в применении к уравнениям в частных производных приводит к необходимости решения обыкновенного дифференциального уравнения относительно изображения.
Отсюда изображение функции Х(г,з) будет уже не дробно-рациональным, а трансцендентным. Наличие трансцендентных функций приводит к тому, что оригинал в этом случае находится в взще бесконечного ряда, т.к. число корней характеристического уравнения является бесконечным. Наличие трансцендентных функций в формуле, определяющей Х(з,з), в задачах анализа практически не приводит к каким-либо затруднениям при использовании метода моментов. Пример 2.20 [9Ц. рассмозрнм процессы, имеющие место в телеграфноя лнннн, считая линию однородной, двины ) с распределенными постоянными, кнлометрнческне значения которых: г,Ь,с,я . Будем исследовать уравнение тояв, описывающего переходный процесс в прнемном реле, определяемом параметрами г' н Е' в конце телеграфной линии, полагая, что прн включении цепь находится под деяствнем постоянного напряженна сге.
В [9Ц полробно рассмотрены процессы, имеющие место в исследуемой системе, н прнведены соотвстствующне математические модели. Изобрюкенне тока в конце линии прн я =1 определяется формулой г(з) е и [2.2)9) Р й у[ + я (з) сь у) где Л(з) = г'ь зЕ' — операторное сопротнвленне нагрузки, причем Методы синтеза САУ по заданным показателям качества, Часть П (2,220) гдс е (!) - злсмснты ОнБ, е(з) зи в(!) , причем н„= е(я)) ) к(/)в ~«// - момшпы, лсп«о рвссчитм- в ввсмыс по изображению Е(з) . В [9ц рвссмвтриввстся подход сос/ояшнй в вппроксимш!ин /(я) дробно.рвшюнвяьиым нзобрвлюннсм вида /(з) Π— — — у. Яз ьзпвльбс прячсм О = /(«о) = Е(«с) = 1; Е(з ) = 1- — ' /(«/«) /(о) ' Нз условия равенства момснтов можно шпион/ь зввисимость ' =Е(я,), я,=/с, /=1,2,3.
я,(я, +й') ,'+2р, +б,' для отыскания исизвсстных коэф«риписнпж нмсют мосю уравнения з«(з«+/У)=Е(з«)(к«з+2рот«+Ьс), / 12,5, Приведем чнслснныс змвчсния раса ппвнных пврвмстров [9Ц Ьа в= 1 125 1Оз-' И' = 2$! 7-' рв 1 125'10з- . с Далее рассмотрим вопрос применения метода моментов для решения задачи синтеза регуляторов. Согласно постановке задачи известна эталонная динамическая характеристика: или Иг'(з) — эталонная передаточная функция, или ]/з(/) — эталонная переходная характеристика. В первом приближении в качестве [т'(я) илн Ь,(/) можно принять характеристики системы второго порядка, что равноценно аппроксимации сложного процесса основной состав)овощей второго порядка.
В необходимых случаях в качестве эталонного может быть принят процесс более сложного вида. Поскольку задача синтеза при регулярных воздействиях заключается в выборе структуры и параметров САУ, которые обеспечивают здпанные показатели качества и точности, то исходя из известных соображений определяются типы и варьируемые параметры последовательных, параллельнмх или последовательно-параллельных корректирующих устройств. Так как Ио(д) и структура И', (я,р) известны, то легко найти ПФ замкнутой системы в виде (2.22Ц (2.222) /(О) = /(м) = 0; /(«с) /(О), Приведем чнслсниыс знвчсник параметров [ЯЦ: — провод стальной, диаметром «/ = 5 мм, — г=7 —; я=!Π—; А=Я 10 —; с=9 10 Ом, !,Гн, б! км Ом км' мк км — длинвлмнии /=500 км; (/с =!В; — приемное реле: г'=3000м; Е=! Ги. Квк указмю в [9ц, попыпа нанти ори/нилл /(/) ы /(я) с помошью /рормулы рвзлшксния нвтвлкивв- ется нв вссьмв серьезные трудности.
Примснсннс мстодв момснюв зивчнтсльно упрошвст рсшснис шмтвшюнной зшшчи. Мовшо иаюиьзо вать двв подкопа. Если ошнбкв к(!) = /(ю) - /(!) и Е' '[О ю), то соотношснид опрсвсляюшсс в(/), можно записе/ь ° виде Глава 2. Методы синтеза лято в в классе одноме ных систем 159 1р( ) и ю Ь„(р)з +Ь,(р)л 1+...+Ь (р) (2.223) а„(р)л" +а„1(р)г" +...+ае(р) где р = (р,, рз,..., р„) — варьируемые параметры регуляторов, относящиеся к одному или нескольким звеньям и подлежащие определению. Теперь постановка задачи синтеза регулятора методом моментов может быть сформулирована так (7): Необходимо минимизировать целевую функцию г Цр)=шш~~З ) ", ' ( -1г'(г;) р(л,), (2224) и,, ~ а„(р)г" +аич(р)з" 1+...+ае(р) где г, = 1с — показатели экспоненшяальной системы Н = (е ": 1= 1,2,...,1; с>0», 1 — число моментов, р(л, ) — весовые множители, прн следующих ограничениях; 1) р,„<р, <раг, 1=1,г — ограничения на значения варьируемых параметров р,, обусловленные условиями нх физической реализуемости„ 2) Ь, >О, где и,.
— определители Гурвнца (1= 1,л-1) — ограничения на устойчи- вость системы; 3) Се <Се, ', С~ <С|,'... — ограничения на коэффициенты ошибок, обеспечивающие требуемую точность системы в стационарных режимах прн произвольных медленно изменяющихся воздействиях; г От 4) а; >О, 1=0,п; 7(л,у)= ' ~ ци,цг ), 1=1,п-1, где Яп,у) — параметр, а, ~аил характеризующий колебательность (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
