Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Положим, что для определения спектральной характеристики объекта С ' имеется а, возможность подать на вход объекта пробный сигнал у(/) и зафиксировать соответствующую реакцию х (/) . Тогда для расчета С!' можно воспользоваться равенством х (/) = ) /с, (т ) у (/ — т) 4/т; о (2. ! 67) 7'(/) =) 7! (т)7; (/-т) 4/т .
о представим Я), 7! (/) и 72(/) так: (2.!68) при этом предполагается: у(/)и Е (О со); х(/)и тз(0 со); /с,(/)еЬ~[Ооз); Х =(х(0),х(0),...,х/л О)=0, т.е. объект до подачи на вход сигнала у(/) находился в состоянии покоя. Поскольку рассматриваемые далее положения будут применяться при решении задач статистической идентификации и коррекции, воспользуемся обобшенным соотношением вида Глава 2. Методы синтеза е лято в в классе одноме ных систем 133 Ю О О » (!)= ~~Те»1.„(!). »1 (г) = ", с!'С„(!); (2(г) = ~ с!'!'.„(!). (2.169) «О «! О «,=о Таблица 2. 1! Численные значения функций 4,(!) и 4«(!) (дискретность Л )=!с) Обозначение 0,556206 0,000000 0,386412 0,557003 0,447747 0,289434 -0,079365 О,!30787 0,00316! О,!! 6593 -О,! 17306 -О 094361 0,000347 -0,060724 -0,026882 0,01! 786 0,025603 0,025422 0,020157 0,012673 0,005253 0,452205 0,293490 0,000000 0,383134 0,553371 0,557572 -0,079934 0,131697 0,001984 -О,!! 4955 -0,1!3379 -0,09!273 7 А;(!) =,') с„ "l (!) =е -0,059810 -0,028992 -0,004223 0,012447 0,025262 0,023720 0,021734 0,01722! 0,0 ! 1695 Подставив (2 169) в (2.168), запишем «,=о«,=о 00 с„"„ !"! Имеем с» = ~~ ~~ с»с»'сР, р= О, 1,2,.
и я~ '! «! «!«! ' (2.171) «;-О «! =О Или, что то же самое, е О « ! ~с»».„(г)= ) ~ с„'!с»' )6„(т)С (г- ))(т. «=О «!«О«!«О Умножая последовательно последнее равенство на»о(!), Е„(!), ...,е)(!), ... и интегрируя на промежутке 10,со), получим О ! ср =," !! с!'с!'.)) У (т)ят (г-т))гтСр(1)ее!, )з=О, 1,2,.... 134 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Можно показать, что 1 —, если т!+тз =р+1пи! <р,тз ър; Л' 1 — —, если т!+ т, = р и ч! < р,т з < р; Я' О! Ц(.„(т)7.„(г-т) (т 7.„(у) (! = св (2.172) О, во всех остальных случаях.
Таким образом, система (2.171) является треугольной. Поскольку в практических расчетах используется конечное число членов разложения, то система (2.171), эквивалентная интегральному соотношению (2.168), принимает вид Яуу (т)= ) ск" (.„(т), 0 <т <Ос; О ! Ю Луг(т)=,Гск!7 ( ), — <т<0; -! 11уу (т) = (22 75) О Я~~ (т) = ,'> ся- '7. (т), 0<с <ОО; О! О А,т(т)=х ~с„"""Е„(т), — Оэ<т<0.
О=! Л (т)= ! (2.173) Так как задача решения уравнения (2.168) поставлена некорректно, то, очевидно, система (2.! 73) плохо обусловлена, т е. при ее решении имеет место вычислительная неустойчивость. Зависимость (2.173) решает задачу идентификации в виде (2.155), а (2.173), как указывалось выше, представляет собой треугольную систему алгебраических уравнений (с~„ = 0 для всех т! и (или) тз > р) относительно элементов спектральной характеристики объекта сУ в базисе функций Лягерра.
Рассмотрим метод статистической идентификации, предполагающий разложение корреляционных функций Яку (т) и Яуу (т) в ряды по функциям Лягерра (! 8, 147]. В этом случае предполагается следующее: ° процессы )'(г) и Х(у) являются стационарными, обладающими свойством эргодичности; пуу (т) н ь (-ОО, +Ос); Азу (т) о ь (-Оо, +Ос); !г, (т) о Ь [О, Оо) Если известив! функции Я уу (т) и Яуу (т), то ИПФ может быть определена путем решения уравнения Винера — Хопфа [122] О )1уу (т) =~ Яуу (т )' ) А!О ()' ) О()! Ос < т <ОО.
(2.174) о Последнее уравнение может быть решено с использованием разложений корреляционных функций Ауу (т) н йуу (т) в ряды по функциям Лягерра: Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 135 Разработаны специализированные вычислительные устройства для нахождения с ", т=0 1; с й, с=0!; с ", т=О!.
г —, я' —, я-, С теоретическими положениями, а также с аппаратной реализацией можно познакомиться в (69, !47]. Здесь изложены лишь принципы построения соответствующих вычислительных устройств. Поскольку б с~п = с„""" = ] !!г (т)Х„(т)с!т, т = О, 1,..., 1, о 12.176) г, Лгг (т) = 1 — ) у (!) у(! — ) г!г, г.+ «Т о то отсюда следует зависимость т.
с„"" = сл" = 1пп — (! У(!)!]У(г-т)1„(т) ~!т й = г- Т о о =!лп — ] У(!)/„(!)й, т=О, 1,..., 1, г Т о (2.177) (2.178) где (2.180) .7„(!)=] У(г-т)Е„(т)Ыт (2.179) о — установившейся выходной процесс фильтра, имеющего ИПФ !.„(т) . Таким образом, общая формула для расчета коэффициентов разложения Яг (т) как при т сО,так и при т<0 имеет вид г. с„!" = ся"" = — ] у(!).1„(!)~!!. о Коэффициенты сл" представляют собой оценки коэффициентов Фурье разложения !!гг (т) по функциям Лягерра. Показано, что математическое ожидание оценки О М ( с„'" ) = ] Ягг (т) Ь„(т) ~й, т = О, 1, 2,..., ! о совпадает с истинным значением, т.е.
оценка является несмещенной. Дисперсия оценки коэффициентов сл!" определяется зависимостью (69] 2 т/ О~с„"1=-'~~1 4~Лгг(т)Р, (т)+Я„, (т)Я„(т)~Нт. ~,1, ~,1 При практических расчетах необходимо помнить, что с увеличением числа членов разложения ! дисперсия оценки корреляционной функции увеличивается (69].
Структурная схема вычислительного устройства для расчета т -го коэффициента с„""', т = 0,1, ..., ! представлена на рис. 2.63, а соответствуклцее вычислительное устройство для нахождения сс", с, "",...,с, "' — на рис. 2 64. 136 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Рис. 2.63. Структурная схема вычислительного устройства для нахмяденна с„" Рис. 2.64. Структурная схема вычислительного устройства для расчета козффнинентов Фурье автокоррелянионной функини Л„г (т) ' Вопросы аппаратной реализации вычислительного устройства отражены в 118, 69]. Здесь отметим лишь следующее. Поскольку ПФ функций Лягерра имеют вид /~ эгк 2 Ь (з)= — — 2 тмО, 1, ...,(, I Я+ — У+в 2 2 то, очевидно, каждый следующий фильтр Лягерра может быть получен из предыдущего последующим подключением к нему звена с ПФ Е (з) = —; нулевой же э 2 гг 2 фильтр- апериодическое звено.
Звено с ПФ 1' (д) — фазовращатель, поскольку [18) /Ф-- Г 1уа) = — = созф+уа!пф = е'". (2.182) /Ф+— 2 Отсюда следует, что при прохождении сигнала через звено Е' 14) амплитуда его не меняется, но происходит задержка по фазе, зависящая от частоты. 137 Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Рнс. 2.65. Струитурнаа схема вычнслятельиого устройства Схемы, связанные с аппаратной реализацией функций Лягерра, представлены на рис. 2.66. а Рис. 2.66. Струвтура ортогональных фильтров Лягсрра (а) н звенья, ее образуюизие: инеертирующее алериодическое (б), фазовращлющ ее (е) 2 В [69] принципиальная схема представлена в виде (рис. 2.67) (здесь )г = —; )хС 2 фильтр с точностью до постоянного множителя — имеет ПФ вида Я Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 138 ~ (-Я С С Рнс.
2Л7. Принцивнальнаа схема функции Лагсрра то для коэффициентов Фурье с„'" имеет место зависимость О т. слхг = Иш — ) Х(г)~ Т,„(т) у(г-т) ггтггг = 1пп — ~Х(г)у„т ( ) гг . т- Т о о о Запишем рабочую формулу т, с„хг — — ) Х(г)l„т (г)гугг о Аналогичным образом строятся вычислительные устройства лля расчета с„"" и слм г При этом необходимо учесть следующее. Поскольку левая ветвь Я„~ (т) взаимной корреляционной функции определяется формулой 1т.
)гг„~(т) =!пп — ) Х(г)У(г-т)г(г, т Т о (2.184) О где .У„у (г) = ) Е„(т) У(г- т) ггт — выходной сигнал у-го фияьтра Лягерра в устаноо вившемся режиме. Структурная схема о-го канала соответствующего вычислительного устройства имеет вид (рис. 2.68). Рнс. 2.Я. Струигуриан схема вычислительного устройства На основе приведенной на рис. 2.68 структурной схемы легко построить вычислительное устройство для вычисления коэффициентов сл"', у = О, 1, 2, ..., 1. Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Правая ветвь Я'„т (т) может быть представлена так: Р )!ху (т) - )!гх (т) - „у с„м ц (т), (2.185) н ! где т т сл" =!пп — ) У(!)) 7н(т)Х(г-т) с(т с(г= — ) У(!))н„(!)с(!, г Т о о Т о О причем .! х (!) = ) х.„(т) Х(г-т)<й — установившейся выходной сигнал у-го фнльто ра Лягерра при воздействии на вход сигнала Х(!) . Соответствующая структурная схема представлена на рис. 2.69.
Рвс. здр. Струатурваа стева вычвслвтсльвого устройства где )!уу (0) !суу (Л) ... !!гу ((У -1) Л) 7!гг (Л) Яуу (0) ... ' )!уг ((л1-2)Л) (2.188) А= Яуу ((Л!-1) Л) ... йгу (О) К, =()с(О), ) (Л),...,8((Р!-1)Л)); Е=(й~(0),й (л),й (2л),...,г ((А!-1)л)) . (2.189) (2.190) При построении «,(т) по результатам решения системы (2.187) имеет место сильный разброс значений (с(!Л), 1=0, 1,...,У вЂ” 1, обусловленный низкой точно- Далее будем полагать, что с помощью вычислительных устройств найдены кор- реляционные функции )!уу (т) и )!т (т) в виде разложения по функциям Ллгерра, Вернемся к уравнению Винера — Хопфа. Во многих работах процедура идентифи- кации сводится к решению аппроксимирующей зто уравнение системы линейных алгебраических уравйений вида л-! Я„т(!Л)=Л~ /со(~Л))!уу~Л(! ./)~ (=0 1" Л! 1 (2.187) о где 7т' — порядок системы алгебраических уравнений, равный числу восстанавливае- мых точек ИПФ; 1, / — целые числа, определяющие номера отсчетов корреляцион- ных функций и ИПФ, отстающих друг от друга на интервал дискретизации Л.
В матричной форме (2.187) имеет вид АК,=Я, 140 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 ! г1,(т)= г с~еЬ„(т) г о становится сколь угодно точной и факт, характеризующий разброс (2.191) перегуляризованного, решения, сохраняется. При ! -+ 0 имеет место сглаживание, но аппроксимация (2.191) может быть совершенно неудовлетворительной из-за большой погрешности. Поэтому выбор 1, играющий роль параметра регуляризации, осуществляется из компромиссных соображений (18, 147].
Эффект сглаживания с помощью функций Лягерра иллюстрируется рис. 2.70 (18), а роль сглаживания в задаче идентификации показана на рис. 2.7! (59). 1,0 (2. 19! ) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 -О,! Рис. 2ЛО. К иллюстрации процесса сглавиаааиа с папашью фуакцца Лагерра стью определения Агг(т) и Язт(т) по данным нормальной эксплуатации вследствие малой длительности и нестациоиарности реализаций случайных процессов Х(Г) и у(г), низкой точности измерений и др. В связи с этим уравнение Винера — Хопфа целесообразно решать, используя разложение Ягг(т) и )1Ат(т) по функциям Лягерра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
