Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Далее положим а„(р) = 1. Рассматриваемый метод принадлежит к классу методов, использующих приближение к эталонному выходному сигналу х,(!), являющемуся реакцией на заданное воздействие у,(!) . Для класса стационарных систем у,(!) может быть единичной ступенькой, т.е. у,(!) = 1(!), а х,(!) = Ь,(!) — эталонная переходная характеристика, При идеальном выборе структуры и параметров регулятора должна иметь место зависимость Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 109 /с,(г,т,р) = ~ — [а„(р)(С-т)и (2.119) ( 1)х (ь Ь,(с,т,р)=~ —,[Ьс( )(с- )и '~.
э.с(л-1)! сст Перепишем (2.118) в виде и! ! ( 1)» !» х,(с)+~а„(р)~ — [(с-т)и ~х,(т)сгт»е е(л т ! ( 1)ь 1й -~ Ь~(р)() — [(с-т)и '~у,(т)Ыт = Е(с, р). э=с (л-1)! сст~ Введем следующие обозначение: сй„"(с) =) — [(С-т)и '|х,(т) ст, ,( -1)! (т" 1);(с) = ~ — „[(с-т)и ~у,(т)с(т, х ( 1) с!с~ (» — 1)! сй» С учетом введенных обозначений (2.120) принимает вид и-1 и хэ(с)+~а„(р)В»'(с)-, 'Ь„(р)Всэ(с)=Е(бр); (2.122) » 0 с-о в последней зависимостифункции х)„'(с), ч=О,л-1 и Р~(с), !с =О,яс известны. Пусть (2.120) и-! г1(с, р) = х,(с)+ ~а,(р)В„"(с); (2.123) рз(с,р) =~ Ь (р)П,'(с).
э-о Тогда невязка Е(с, р) определяется соотношением Е(с, р) = Рс(с, р) — Р (с, р) . (2.124) Последняя формула имеет вид функции, явно зависящей от параметров Р! Рз "., р„регулятора, Рассмотрим конкретный случай, когда у (с) = 1(с), а х,(с) = К (1 -е ' ) — зталонный переходный процесс. Тогда зависимости, определяющие р1(с,р) и рз(с,р) принимают вид и-1 и-э-1 ( 1)э гс(с,р)=К (1-е иа)+К ч~ ч ~а„(р) х э-о э-о .1с(л .I сс 1)! ~1+1 !' а' " а" ~ !ия э и и-и-1 ( 1)с р,(с,р)= ) ~ Ь,(р) (2.126) !!(и — ! -сс -1)!( !'+ 1) Формула, определяющая невязку Е(с, р), явно зависящую от параметров регулятора р,, рз.,,,, р„, может быть записана так: ПО Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П Е(брпрм...,р,) =К (1-е ")+ »-»п-А-1 ( 1)» +К»~~',,~~,,~л~(Рь Рз - Р,) г»,(Р~ Рз - Р,) ~.е .е 0 + 1) (и у 8 1) К -~ »-к-~ (2.127) и-1л-Й-1 з » Пэ зео лм ьеж» 11(л-2-1' — 1)' Для расчета параметров регулятора можно использовать функционалы вида Т!(Р! Р2 " Р») шах 1Е(Г Р! Р2 " Р») (2.! 28) Ожсг Последняя зависимость трудно реализуема и на практике применяется весьма редко. Более простой как с аналитической, так и с вычислительной точек зрения является квадратичный функционал г »г(Р~ Рз - Р ) =()Е (ДР! Рг - Р )г»Г.
о В некоторых случаях целесообразно использовать функционал вида »з(Р! Рз - Р»)= ) Е (Г Р~ Рг - Р,)Р(Г)лГ (2.130) о где р(1) — весовая функция; примером весовой функции является экспонента, т.е. р(1)=е ' . Значение Т выбирается из условия Т =(5-8)Тр. Задачу синтеза регулятора можно сформулировать так: найти минимум квадратичного функционала » )(Р)=!з(Р»,Рз,...,Р )=Г)Ее(БРпрз,...,Р )е»»»Г-» пнц о и» ь» (2.13!) прн следующих ограничениях: 1) синтезируемая система должна быть устойчивой; 2) Ьр(Б Рп Рз,..., Р„) — РеальнаЯ пеРеходнаЯ хаРактеРистика должна находитьсЯ в «коробочке» В.В. Солодовникова; 3) С«< Се,, С, ь С„, ..., т.е.
коэффициенты ошибок не должны превышать некоторых допустимых значений. Сформулированная задача относится к классу задач нелинейного программирования !37). Зависимость, определяющая Тз(р,, рз,...,р„), является многоэкстремальной, поэтому расчет глобального экстремума встречает значительные трудности. Минимизация 1(р) может быль выполнена с помощью программ минимизации функций, которые присутствуют в научно ориентированных пакетах прикладных программ. Предпочтнтельнее выбирать программы, специально предназначенные для минимизации квадратичных функций. На параметры, по которым ведется минимизация, должны быть наложены ограничения, вытекающие нз какого-либо критерия устойчивости.
Например, можно воспользоваться критерием устойчивости Льенара — Шипара, который сводится к ограничениям типа неравенств. Глава 2. Методы синтеза е лято в в классе одноме ных систем К ограничениям, обусловленным требованиями устойчивости системы, добавляются ограничения, обусловленные требованиями точности работы системы в установившемся режиме. Минимизация функционала 1(р) не гарантирует принадлежности реального переходного процесса «коробочке» В.В. Солодовникова, поэтому дополнительно добавляются соответствующие ограничения. Минимизация функции многих переменных при указанных выше ограничениях— достаточно сложная и трудоемкая задача.
Ввиду того что рассмотренный метод не требует знания обратного оператора, а невязка Е(С, р„рт,..., р„) порождается разностью между левой и правой частями дифференциального уравнения системы, он обобсцается на нестационарные, нелинейные и многомерные системы, системы с запаздыванием; дает возможность учитывать ограничения как на параметры системы, так и на характеристики процессов на выходе; при попадании в область неустойчивости процесс расчета продолжается. Метод позволяет учитывать требования, связанные с устойчивостью и точностью работы в установившемся режиме и использовать разные критерии качества, в том числе и логические.
В заключение отметим, что при расчетах можно использовать стандартное программное обеспечение, реализующее аппарат математического программирования, причем степень сложности расчетов слабо зависит от степени сложности сннтезируемой системы. Пример 2.!3. Для системы управления тсхиолосичсским процессом псрсдаточиая функция определяется зависимостью [9Ц Ь з+Ь з б 5 " 4 " Э " З ем +4555 +4545 +ссэз +4555 +ссай+сэр гдс Ьо = 1,22Р41 Ь, =1,22Р51 Ьэ = 1,22Р51 Ьз =1,22Р51 по=!22Р41 а, =122рэ; аз =1ь!22рзСаэ=5+122рй аб =9; а, =74; об =225. Пользуясь рассмотренным выше методом, требуется рассчитать парвмстры рьр,, р,,р,, обсспсчивмошис приближенное выполнение условий о% я 30%, Тр ч (20-30) с [911.
Найдем ДУ, определяющее нсрсходмую харшсшриссику 5 ' 3 «сбэ(с)+~а„(р)«с"1 = ',э ьз(р)ус~э, о 4О 122 122 4 !22 ло(Р) = — Рб' лс(Р)= — Рз' лз(Р)= — ь — Рз) 225 225 9 225 !22 20 !48 лз(Р)- — Рс+ — а4(Р)-41 лэ(РС= —. лб — ! 225 9 ' 145 122 122 122 122 Ьо(РС Р4 ЬКР) Рэ, Ьз(Р) Рз, Ьэ(Р)= Рз 225 ' 225 225 225 При проювольиых значениях парамстров рссулятора рь р,, рэ, р, имеет место зависимость, опрсдсляющвя повязку Е(с,р): 5 з Е(С,Р)=«,Я+Ял„(р)СЗ„*Я- у Ь (р)бэрЯ, гдс (Э„'(с) = ) — „~(с — т) ~«з(т)с(т( о Еэр(с) =) — „'[(с- ) )!(5)ат, р ' (-1) сс" о причем «5(С) =1-4 "". Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 112 После элементарных преобрвюввннй легко получить соотношенне для невязкн 1 с !О з э 148 е(с,рс Рэ Рэ Рс)=1 е с + — с -2» + — »в 54 27 45 сс ! сэ ! сз +...с. 120 а, 24 аз 6 аэ 2 ас аз а»3 4 1 сэ 1 сэ — — — — ° — + — ° — — — +— 24 а, 6 аз 2 а', а,' а',3 (4 !22 )1 сз 1 сэ с с1 ~-+ — Рз)- — -- э э 4 »9 225 )ба, 2 аз а а~ 4 122 20 122 122 рс 122 рэ 9 225 Рс 9 922с рс 4 148 225 аь 225 аз ас аэ аэ 45 а е-ак Поскольку Т = 20 с, то а, ч — = —; функпнонял определим зависимостью 3 3 Т 20' Ь(с) 0,8 0,6 0,4 0,2 40 50 0 1О 20 30 Рнс.
248. Грвфнкн переходных процессов Был проведен также расчет параметров регуяяюря для следующих условий: Т,=!О с, озся304. 3 3 Поскольку в этом случае сс, = — = —, то функционал прнннмшт внд: 1О С(рс Рэ Р» Рс) 1Е ГОР\ Рз Рэ Рс)е е Соотношение, определяющее функционвч, можно переписать тлк: С(лл Рэ Рз) =0 023875'РэчО 01'Рс+01'Рс+О 000879 Рзз+ +000227 Рсз 2 Рз'Рз+005'Рзч000035'Рээ+0 00043'Рз'Рс+ +0000!4 р»40 0007 р, р, +0 00058 р, р,+0 001 р,.р,+0 0013 р, р, +1,2744.
Прн принятых условиях процесс шпнмнзяцнн прн огреннченнях ня коэффициенты хцзвкюрнссического уравнения, реялнзуюшнх критерий устойчивости Льенврл — Шнпврв, позволил получить следующие значения первмстров ресуляторв: рэ =1,2; рз =0,81; р» =0,12; рз = 0,001. Графики »тесанного н реального переходных хврмаернстик представлены нв рнс. 2.48. Глава 2. Методы синтеза е лдто ов в классе одноме ных снстем !(рирз,рз,рг) =0 0087 р4 ь000012.ре~ -0 02 рз+О 00036 р4.рз+ +О 08 р> + 0 04 рз + 0 00058. р4 .
р, + 0 001! . рз . р, + 0 00! 9 р! + Ю 000298 р 2 -0 0005 ре рз ь 0 00075 р 2 2+ 0 0023 р1 ' рз " Ю,0009.рз рзь0,9724. Функция веса определяется формулой р(г)=е ". В результате оптимизации получены следующие значения параметров регулятора р,=21; р,=!6; р,=06; р,=0021.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
