Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Основная формула имеет вид (см. 81.4) Т(Р1 Рз»рг) О -1 12 =) ~х,(1)-~А,А„„(р1,рз,...,р„)((+А,Аю(р1,рз,...,р„)) ~ у,(1)~ аг-ь 1п1п о1 р„г=1,г В последней зависимости: А, — оператор объекта; Акт (р,, р2,..., рг) — оператор регулятора, зависящий от изменяемых параметров Р1Р2- Р' у, (г) — эталонный входной сигнал; х, (г) — эталонный выходной процесс. Принципиальная трудность применения рассматриваемого подхода заключается в том, что записанный выше функционал, подлежащим мининизации по параметрам регулятора р1, рз,..., Рг, требует знания обратного оператора замкнутой системы 12-1 '4о'4т(Р1 Р2 -.
Рг)(Т+'4о'4«з(Р1 Р2 - Рг)) явно зависящего от параметров регулятора р1, р2, ..., р,. Как уже указывалось, реализация этого подхода возможна лишь в простейших случаях. К таким случаям относится класс линейных стационарных систем, когда критерием, определяющим степень близости реального выходного сигнала хо ( р1, р2,..., р, ) к эталонному процессу х, и, служит функционал О 2 ~(Р1 Р2 - Рг)-1 (хэ(1) — хр(г Р1 Р2 -.
Рг)1.''1 (2.104) о Рассмотрим задачу синтеза регуляторов в обшей постановке: заданы входной сигнал у,(Г) и эталонная реакция на это воздействие х,(1); необходимо построить алгоритм расчета параметров регулятора (при известной структуре) исходя из следующих условий ° ~(Р1,рз,-.,р,) ш(п; рге 1,г ° Х(Г) и Х" 12'Г и [О,Т], где Х(Г) — вектор-функция состояния системы; Х"— заданная область; Частным случаем Х(г) н Х" 12'ге[О,Т] является принадлежность переходной характеристики Ь(г) «коробочке» В.В. Солодовникова.
99 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем ° и(г) а У~, и(г) — скалярное управление, поступающее на объект; У' — заданная область; т« И в« Р~ — Р1 — Р1 - Р, — Р, — Р, ° С <С, С,~С,„ где Се, С,,... — коэффициенты ошибок. Конкретная постановка задачи может быть сформулирована так: при заданной структуре регулятора (предполагается, что регулятор с заданной структурой обладает соответствующими возможностями) найти параметры р=(рорз„...,р„) из условия наилучшего приближения реального выходного сигнала хр(й р,, рз,..., р„), являюще- гося реакцией на у,(г) = 1(г), к эталонной переходной характеристике с заданными показателями качества: быстродействием, колебательностью, максимальным откло- нением в переходном режиме при обеспечении устойчивости системы и приближен- ном обеспечении заданной точности в установившемся режиме.
В качестве эталонной переходной характеристики можно задавать процесс, изо- бражение которого определяется зависимостью (91]: а, — з+! и (Я)=с,; — ь,(!), азз +а1з+! где Се определяет статизм системы, а, и аз — параметры, связанные с временем переходного процесса Т, и максимальным отклонением в переходном режиме Ь„ формулой баз а1 = —. Сказанное выше можно записать в следующей форме: найти параметры Р„Рз, ..., Р„, обеспечивающие выполнение Условий: 1) функционал (2.104) принимает минимальное значение; 2) обеспечивается устойчивость системы (в вычислительном отношении для проверки устойчивости системы наиболее удобен критерий Раусса); 3) если у,(г) =!(г), то Ь,(г) — эталонная переходная характеристика; функция Ь (г, Р) должна находиться в «коробочке» Солодовникова, т.е. д) ~Ь, (й Р) — л„~~ < Л, где Ь вЂ” постоянная величина, значение которой в техническом задании задается в процентах от установившегося значения выходного процесса Ь =й,(г,Р)~,..; т.е.
перерегулирование не должно превышать допустимого значения (обычно пЭЬ„,„= (10-30)Уе ); 100 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П в) Тр < Тр, т.е. время переходного процесса не должно превышать допустимого значения Тр, Кроме этого, могут быть заданы ограничения на производные выходного процесса, на число колебаний Ь (б р) (при проектировании систем допускают число колебаний равным (1-2), реже (3 -4); иногда колебания недопустимы) и др. 4) выполнены ограничения, обусловленные требованиями к точности системы в установившемся режиме. Требования к точности должны быть предъявлены в виде ограничений на коэффициенты ошибок: ,с,с СО -Содоп С1 -Сгдоп! ~Сгдоп! -Сгдоп 2! 3! Тогда, записав передаточную функцию по ошибке через передаточную функцию замкнутой системы и выполнив деление полинома числителя на полинам знаменателя, поучим следующие ограничения: 1 — (а -оо)ьС ао 1 а1 — (а! -01)- — 2(ао -1ь) < с,„„; ао аог 1 а! аг а, 2 (аг бг) г (а1 01) г (аО 110) + г (аО Ы < Сгдоп ао ао ао ао которые ввиду зависимости коэффициентов а„г'=1,н и Ьр/=1,ю от искомых параметров рп рг,..., р„также являются ограничениями на параметры.
Область допустимых значений варьируемых параметров обычно ограничена условием их технической реализации Р, <Р,<Рм,1=1г. Использование приведенных соотношений позволяет задачу определения варьи- руемых параметров р„г' = 1, г, обеспечивающих наилучшее приближение к эталонной переходной характеристике, сформулировать следующим образом: требуется минимизировать функционал (2.104) при ограничениях 1), 2), 3), 4). Рассмотрим решение поставленной задачи для частного случая, когда у,(г) =1(г), х,(1) = К„~1-е ").
(2.105) Запишем формулу, определяющую переходный процесс через неизвестные параметры корректирующего устройства: 72 (з, р) н 1 И'(з, р)- где 1Р(з,р)= "" ' ' = рУ(з,р„рг, „р„), (з, р) йо (з) (2.107) 1+йку (з Р) рро(з) 11', (з) — ПФ объекта; й', (з, р) — ПФ регулятора. В формуле (2.107) р,, рг... р,— параметры корректирующего устройства; подбором этих параметров достигается заданное качество переходного процесса. Таким образом, реальный переходный про- Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 10! цесс определяется зависимостью (2.106), в которую входят неизвестные параметры й Рз - Р,. Запишем формулу для невязки е(г,р)=х,(г)-Ь (др). Тогда функционал качества имеет вид з(Р! Рз "'Р )=~~хэ(Г) Ьр(Г Р)1 ф о Преобразуем подынтегральное выражение в (2.108) по Фурье Кз(1-е '")-Ьо(ЬРнРз,-р„)ье К„К„Ю; (/в,р)И",(/в) 1 /в /в+а, 1+и' (/в,р)И',()в) »в Воспользовавшись равенством Парсеваля, зависимость (2.109) перепишем в виде 1(р,, рз,..., р„) = ((х,(г)-Ьо(д р)1 ой = о Ю ! 0 =) е (г,р) = — ) Е(ув,р)Е(-/в,р)дв.
2к Преобразуем(2.109) следующим образом: Е( ) ' Кз Кз Ьн(РХМ +- +до(Р) Ув .)в+с», а,(РХ)в)" +- +во(Р),1в с„(РХ (в)" + с»,(РХ гв)» '+... + со(р) С((в, р) д»(РХ.!в) +д» ~(РХЮ +-.+Ы~) оов,р) (2.109) (!.111) где с» (р) = с„„(р) = (а„(р)К„+ а„(р)), ..., со(р) = Кз очно (р)+до (р)а„ г(» (р) = д-з (р) = ан (р), - 4! (Р) = ао (р) а, Йо(р) = О. Перепишем (2.110) в виде Р( ) 0 РК( / Р) д 8»( / Р) Ы 2а »„0Цв,р)0(-»в,р) з Ь»(!в,р)И»(-)в,р) (2.112) где где ЬЯ,Р) =Ь (р)(1в)'+Ь(РХМ '+-+Ь»(р); И»(»в Р) = йо(РНв) +й(РИв) +- +К»-!(Р) . Как уже указывалось ранее, чрезвычайно важным является тот факт, что для значения интеграла (2.
И2) можно записать точную формулу. Таким образом, функционал (2.110) удается представить в виде функции, явно зависящей от переменных Ьо(р),Ь(р),...,Ь»(р),бо(р),И,(р),...,8»(р) и, следовательно, явно зависящей от параметров рн рз..., р„те. 1(р) =!(Роро,..., р„). Эта формула имеет вид (см. приложение в первом томе) 1)»ы Ь» 2Ьо(р) М» 102 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества, Часть !! тг~ тгг ... тм тгг тж ... тг» М» = ~Ъ = Ь,—,(Р); (г„(р) = 0 (ч < О, ч > !), т», т»г ...
т„ Ф» — определитель, полученный из М» заменой элементов первого столбца величинами ль(Р), Я,(Р), ..., Я»,(Р). Таким образом, здесь центральную роль играет равенство Парсевалк позволяющее получить следующее основное соотношение 7(Р1 Р»- Р,)= ю ( -1 -[,*М~.~ Унр,-.ьЯ ~.~.,ьнр:-.ь4']~,и[ь= о Х»(!ЮРь Рг - РЭ 2я „"»(Ф.Р~ Рг - Р~уг»( уш Р1 Рг - Р ) (-1) Аг»(Р~ Рг — Рь) 2"о(Р~ Рг -. Р.)м»(Рг Рг - Р ) оь л при указанных выше ограничениях.
Если же эталонная переходная характеристика задана Н'[з), то пг 2 " ' ь (Р)(7'ю) +-+б (Р) 1 Е(1»в Р~ Рг - Р ) = ~о а (у»в)г+аг(узо)+1 а„(р)Ц»в) +...+а„(Р) уш с», (РХФ)"' + - + сь(Р) С(»в, Р) 4 (РХФ) '+ - + г[в(Р) ~~(~'" Р) н функционал, подлежащий минимизации, имеет вид / (/ РК( / Р) 2я Ь(га, р) Ь(-~'в» Р) Так как параметры Р,, рг,, р„входят в коэффициенты изображения, определяющего невязку, нелинейным образом, то сформулированная задача расчета Р„! = 1,г, является задачей нелинейного программирования и может быть решена с использованием известных методов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
