Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Кроме того, отметим известный факт: дифференцирующие звенья усиливают влияние помех на качество работы системы. Однако при некоторых условиях регулятор оказывается физически реализуемым, т.е. он не содержит дифференцирующих звеньев. В самом деле, пусть Глава 2. Методы синтеза е лято ов в кпассе одноме ных систем 75 Пусть а — степень полинома числителя передаточной функции И"[г); [3 — степень полинома знаменателя передаточной функции Н" [в) .
Для реализуемой И"[в) должно быть [3 > а. Передаточная функция регулятора будет реализуема, если д > р. Пусть т и п фиксированы. Определим, какие условия надо наложить на а, [3, чтобы В > р . Так как И;())Р (.) ' = 1+И.(в)И.(,) то И"(в) Р( )А( ) В( ) () .()Š— '()Г'(')Е'(')-'(')Г'(') [2.71) Откуда и. (,) = '~'), С(в) И',(в) = —, В(в) А(в) то й(в) В(в1 С(в) А(в) й(в)В(в) Я(в) ВЯ С(з)А(в)+Я(в)В(в) С(в) А(в) Характеристическое уравнение имеет вид Ф(в) = С(в) А(в) + Я(в) В(в) .
[2. 72) [2.73) Так как РЯ 6" (в), 17(в) Р(в) 1 — й '( ) РЯ 13(в) — Р(в)' 73(в) р=а+п; ц=т+[3; ряд, еслна+пйт+[3, или 13 - а > и - т . При таких условиях передаточная функция последовательного корректирующего устройства при заданной неизменяемой части системы будет реализуема [123). 3. Из-за неточного знания й',[в), а также вследствие влияния нелинейностей системы полная компенсация никогда не достигается, и это порождает новые колебания в системе. 4.
При сокращении нулей и полюсов система не обладает свойством грубости [при малых отклонениях параметров системы отклонения величин, характеризующих состояние системы, могут быть достаточно большими [64)). 5. Система в некоторых случаях может оказаться неустойчивой [б4, 93). Рассмотрим этот вопрос более подробно. Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы. Поскольку 76 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П то ПФ регулятора определяется зависимостью А(з) РЯ й(з) В(з) (0(з)-Р(з)) С(з) и, следовательно, В(з) = АЯ Р(з), С(з) = В(з) ()3(з) - Р(з)) . (2.74) (2.75) 2.3. РАСЧЕТ РЕГУЛЯТОРОВ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ СИНТЕЗА В ряде работ предложен подход, позволяющий решить задачу синтеза регуляторов с устранением некоторых недостатков, присущих принципу динамической компенсации (64]. Идея подхода состоит в том, что передаточная функция замкнутой эталонной системы при предположении, что ~~ о(з) В(з) А(з) (2.77) Последние соотношения позволили выразить передаточную функцию регулятора через А(з) — знаменатель ПФ объекта и В(з) — числитель ПФ объекта. Здесь необходимо обратить внимание на тот факт, что ПФ регулятора определяется через ПФ объекта управления, т.е. через полиномы А(з) и В(з) (это следует из формулы (2.75)).
Подставив (2.74) и (2.75) в зависимость, определяющую характеристическое управление замкнутой системы, найдем )ц(з) = А(з) В(з)(0(з)-Р(з))+ ВЯ АЯ РЯ = А(з)В(з) Р(з) . (2 76) Отсюда следует: поскольку характеристическое уравнение скорректированной системы содержит А(з) и В(з), определяющие )7Ф обьекта в соответствии с формулой (2.68), то наличие правых нулей и (или) полюсов объекта приводит к тому, что характеристическое уравнение скорректированной системы будет иметь правые полюса, и, таким образам, эта система при указанных условшп становится неустойчивой. Другими словами, метод динамической компенсации применим лишь в том случае, если объект не содержит правых нулей и (или) полюсов. Область применимости метода, использующего принцип компенсации, можно расширить, если с помощью внутренней обратной связи провести стабилизацию объекта управления (93].
Имеют место и другие «подводные камни», анализ которых проводится в [93]; там же рассмотрены специальные процедуры стабилизации и приведен общий алгоритм синтеза закона управления произвольными объектами, включая неминимальнофазовые. Из сказанного выше следует, что применение принципа динамической компенсации требует большой осторожности. При расчете конкретных систем необходимо провести анализ влияния указанных выше факторов на качество работы системы. Метод интересен с той точки зрения, что приводит формально к точному решению поставленной задачи.
Из изложенного можно сделать вывод, что метод решения задачи синтеза регуляторов следует искать в классе приближенных (аппроксимационных) методов, использующих аппроксшиацию основной зависимости во временной или частотной областях. Такой подход позволит получить методы, дающие хотя и приближенное, но физически реализуемое решение, обеспечивающее качество работы СА У, близкое к заданному. "лава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем голжна удовлетворять следующим условиям: 1Уэ( ) ээ(з)В(з) Р(з) = — — ПФ замкнутой эталонной системы; 0(з) 0(з) )рэ( ) э ~(з) А(з) — ПФ ошибки замкнутой эталонной системы, 0(з) где (2.78) (2.79) 0(з)=э(0+Аз+а2з +" +'12л-!з +з — эталонный характеристический полинам; В(з) = Ьь+Ь э+Ьззз+ ... +Ьл,зл ~; А(з)=аь ьа2з+азз +...+з".
Полиномы В(з) и А(з) — известны, они определяют динамические свойства неэ изменяемой части; эталонный полинам 0(з) выбирается специальным образом, например, методом стандартных коэффициентов, но так, чтобы были реализованы предписанные динамические свойства замкнутой системы. Это достигается тем, что 0(з) является характеристическим уравнением замкнутой системы, а расположение КОРНЕЙ ХаРаКтЕРИСтИЧЕСКОГО УРаВНЕНИЯ Зн Зз,.,.,эзл В ЛЕВОЙ ПОЛУПЛОСКОСтн КОМ- плексной области определяет параметры переходного процесса: ° быстродействие (время переходного щэоцесса); ° колебательность(число колебаний и их частоту); ° перерегулироваиие оэл и др.
Таким образом, в качестве эталона задается только полинам 0(з), на числитель же соответствующие требования не накладываются. Вместе с тем изображение переходного процесса выражается зависимостью „() 1 1 ( (2.80) 0(з) з0(з) Если корни характеристического уравнения простые, то зависимость для Ь(2)— переходного процесса имеет вид р(0) 2л р( ) 2л Ь(г) = — + ~ — '-,— еэи = Ьа + ~Ьле"', (2.8 1) 0(0) „., зь0'(зь) где зь — корни уравнения 0(з) = О. Как видно из (2.81), элементарные колебания Ьь(г) = еэи определяются корнями з,, з2, ..., ззл и полностью характеризуют структуру сигнала Ь(г) . Однако амплитуда элементарных колебаний определяется как полинаиом 0(з), так и числителем Р(з); в связи с этим необходимо анализировать динамические свойства замкнутой системы после ее синтеза. Например, если решается задача коррекции в классе систем не содержащих интегратор в прямой цепи, то найденный регулятор может,обеспечить заданные быстродействие, степень колебательности и перерегулирование, при наличии недопустимо большой установившейся ошибки.
ПФ корректирующего устройства определяется зависимостью И'„„(з) = —, й(з) С(з) где 78 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П (2.84) В линейной системе алгебраических уравнений 2п неизвестных; число уравнений также равно 2п. Решение системы (2.85) приводит к нахождению численных значений неизвестных коэффициентов ПФ регулятора. Назначая соответствующим образом корни характеристического уравнения Р(з) = О, можно добиться хорошего качества работы системы в переходном режиме.
Для этой цели можно использовать метод стандартных коэффициентов или фильтры Баттерворса. Качество работы в установившемся режиме определяется наличием интеграторов в прямой цепи. В связи с этим введение интеграторов в прямую цепь изменяет структуру корректирующего устройства, и его передаточная функция будет выражаться зависимостью й(з) ~ «у (л) (2.86) П(З) = ГО + Ге+ Гглг+ ... +Гл 13 С(з) = со+ се+ сгз + ...
+с« 1лл '+3"; коэффициенты полиномов Я(л) и С(з) подлежат определению. Для ПФ замкнутой системы справедливо соотношение Я(з) В(з) й(з)В(з) С(л) А(з) Я(з)В(л) Р(л) Я(з) В(з) С(з)А(з)+В(з)В(л) С(з) А(з) Из зависимости (2.82) находим Р(з) = А(з) С(з) + В(з) В(з) . (2.83) Последнее уравнение называется уравнением синтеза, поскольку оно позволяет найти неизвестные го,гз,...,гл 1,со,с1,..., сл 1 [64]. Уравнение синтеза при строгом рассмотрении вопроса находится из соотношений (2.78) и (2.79), поскольку Я(з) В(з) С(л) А(л) Р(з) Р(з) Отсюда сразу же следует (2.83). Синтезированная описанным методом система устраняет некоторые недостатки, присущие принципу динамической компенсации и обладает свойством грубости (64). Определим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных ко- ЭффнцНЕитОВ ГО, Гз,..., Гл,, СО, СП..., Сл 1.
ИЗ (2.83) ИМЕЕМ 2 л-1 л УГ 2 л-1 «1 со+ а13+агз +...+ал 13 4 в )(со+с13+сгз +...+сл 13 +3 )+ +(Ь~+Ьз+Ь зг+...+Ьл 13" ')(г~+г13+ггзг+...+«„13" ')= 2 3 4 2л-1 гл, -ос+Аз+агз +азз +а143 +" +Вгл-13 +3 отсюда получаем систему алгебраических уравнений посо+Восо =«зо асс, +а,со+ Ьогз+Ьзго = а21; аосг+а1с1+агсо+Ьогг+Ь,г, +Ьгзо =4!2,' аосз + а1сг + агс~ + азсо + Ьогз+ Ь1гг + Ьггз + Ьз'о = "3 (2.85) Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Для удобства проведения расчетов поступают так: интегратор (или интеграторы, в зависимости от порядка астатизма) вносят в структуру объекта (неизменяемой час- ти), и тогда эквивалентная схема принимает вид (рис. 2.23). Рнс. 2.23. Структурная схема зквивапентноа системы Обозначим зА(з)=А1(з)=з(ао+а1з+азз +...+а„(з" +з")= 2 3 и пм =поз+а(з +азу +" +а -1з +з Степень А1(з) равна и+1. Запишем уравнение синтеза А, (з)С(з)+ В(з) В(з) = 0(з) .
(2.87) Для определения неизвестных коэффициентов с, и г получим систему уравнений, аналогичную (2.85); для этой цели введем обозначения: )с(з) = го + г, з + ге з +... + г„з; 2 Л, С(з)=со+с1з+сзз +...+с„з" +...+з""; сг)( ) У ( + У 2+ + 1 2п+ 2(~н.!), А1(з) = поз+а(з +азз +...+а„(з" +3" ', В(з)=Ь,+Ьуз+Ьззз+...+Ьп(з" '. С учетом (2.88) уравнение синтеза принимает вид ( ° аоз+а1з +а2з + +а -13 +3 )(Со+С!з+С2з + +С 3 +3 )+ 2 .-1 ХГ 2 из +(Ьо+Ьзз+Ьзз +...+Ь„,з иго+г1з+гзз +...+газ )= +ил + ( 2 + ( 2л+ 2(ие1) Можно видеть, что задача, когда в прямой цепи имеет место один интегратор, в точ- ности совпадает с предыдущей, с тем лишь различием, что вместо степени и в урав- нении синтеза берется степень я+ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
