Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ, ПРЕДПОЛАГАЮЩИЙ ДОСТИЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО, В ИЗВЕСТНОМ СМЫСЛЕ, РАВЕНСТВА РЕАЛЬНОГО ВЫХОДНОГО Сигнала хр(Л р,, р„, р„) ЗТАЛОИНОму ПРОЦЕССУ х,(г) В основе реализации этого принципа лежит аппарат нелинейного программирования. Основное содержание этого принципа состоит в следующем: задается оператор РегУлатора, зависЯЩий от паРаметРов Р),Р),,Р„т.е. А, (Р),Рг,...,Р„); зада- ются эталонное воздействие у,(г) и эталонная реакция на это воздействие х,О).
Проблема синтеза состоит в подборе таких значений параметров р,,р,...,р„, которые обеспечили бы близость, в известном смысле, реального выходного сигнала «р(бр„рг,...,р„) и эталона х,(г). Обсудим этот подход; положим, что мерой близости выбрана метрика простран- ства С(О,Т), т.е. задача формулируется так: 1)(Г Р) Рг -. Р )= щах~к~(Г Р) Рг - Р,) «э(Г)~ ь щ)п Если же воспользоваться метрикой пространства Т.
)б, Т1 то г г гг(Г Р) Рг —. Р»)=)) Хр(Г Р) Рг - Р») Хэ(Г)1 ггг Р "г)п-. о В фУнкционалы 1) и 1г входит фУнкциЯ хр(ПР),Р),...,Р,). Она опРеделЯетсЯ зависимостью А(Р) Рг - Рг)хр(Г Рг Рг - Р )= = АоА (р) рг.- р»)(1+АоА (р) рг - рг)) )хр(г рг рг - р )=у О) =[- где А(р,,рг,...,р,) — оператор замкнутой системы, зависящий от параметров р,, рг,..., р„регулятора.
Из последней формулы находим «р(г Рг Рг - Р,) =~АоА»г(Р» Рг "»Р )(1+АоА»з (Р) Рг»-. Рг)) ) Уэ(Г) = (1.52) (Рг Рг " Рг)У»)Г) Полученная зависимость позволяет сделать следующий вывод: для реализации рассматриваемого принципа необходимо знать обратный оператор замкнутой сис- темы, явно зависящий от параметров регулятора. Это — чрезвычайно сложная за- дача, решение которой возможно лишь в исключительно простых случаях (см. З2.6).
1.4.3. Оптимизационный пРинцип синтеза РБГУЛЯТОРОВ, ПРЕДПОЛАГАЮЩИЙ ДОСТИЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО, В ИЗВЕСТНОМ СМЫСЛЕ, РАВЕНСТВА ПРАВОЙ И ЛЕВОЙ ЧАСТЕЙ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО ДИНАМИКУ ЗАМКНУТОЙ СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ Содержание этого принципа состоит в следующем. Пусть у,О) — заданное (эта- лонное) воздействие, х,(г) — желаемая реакция; тогда имеет место зависимость Ао4,(р) рг - р.)(1+ 4о4 (р) рг*-.
Р.)) ~.х,(г) = у.(г). Рг(~ Рьрг . Р ) Рг)г.р»рг - Р ) Глава 1. Общие п инципы 49 В последней формуле стоит знак приближенного равенства. В идеальном случае, правильно подобрав структуру и значения параметров регулятора ры рг,..., р„, мы при подстановке в операторное уравнение скорректированной системы эталонного, воздействия у,(!) и желаемой реакции х,(!) получили бы тождество, т.е, х,(!) была бы решением операторного уравнения системы при правой части у,(!) .
Идеальный же подбор регулятора, в общем случае, невозможен, поэтому имеет место невязка Е(г,Р„Рг,„,,р,)=г!(! Р~ Рг" Р.) Рг(! Р! Рг " Р,) (1.54) На основе невязки можно построить соответствующие функционалы и сформулировать задачу синтеза регулятора так: Гг(р! Рг'" р„)= тах1Е(г,р,,рг,-.,р„1-+ пнп Ожвт А!=к~ г 7в(Р! Рг - Рэ)=()Е (! Р! Рг - Р )э(! э шгво р„э=!х — при соответствующих ограничениях, связанных с устойчивостью и качеством работы системы.
Достоинство последнего подхода состоит в том, что он не требует нахождения обратного оператора А (р,, рг,, р„). Это — принципиальное упрощение задачи. Этот подход можно применить к широкому классу систем, включая линейные не- стационарные и нелинейные системы, системы с опаздыванием и т.д.
Как и в предыдуШем случае, аппарат нелинейного программирования является основным инструментом реализации этого принципа. 1.4.4. ПРИНЦИП, ЛЕЖАЩИЙ В ОСНОВЕ ГРУППЫ МЕТОДОВ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ПОНЯТИЕ МОМЕНТОВ Для иллюстрации рассмотрим основную идею одного из методов. Если выбрана так называемая моментная система 7;(!),1г(!),..., !г(!), то на основе (!.53) можно записать систему равенств .г ~~Аобу(Р! Рг - Рэ)(Г+Аол,у(Р! Рг - Рэ)) ) э(!)уг(!)в(г= (1.55) = ~ у,(!)1„(!)!Гг; lв = 1,1; ! о Решая систему (1.55), можно определить значения параметров р~, рг,..., р„.
Метод применим к широкому классу систем, включая и нелинейные автоматиче- ские системы [7). Реализация этого принципа также базируется на аппарате нелиней- ного программирования. В [7) приведено решение задачи синтеза нелинейных систем с использованием рассматриваемого принципа по заданным показателям качества (быстродействне, перерегулирование, степень колебательности), При этом безусловно обеспечивается абсолютная устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам. Введены условия, обеспечивающие абсолютную устойчивость синтезируемой системы.
Весь- ма удобным для этой цели является критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова в его алгебраической форме. Исследованы ограничения, накладываемые на синтези- руемые параметры системы; подробно рассмотрен алгоритм синтеза с применением нелинейного программирования. Рассмотренные далее методы в той или другой мере базируются на теоретических положениях, определяющих содержание изложенных четырех принципов. вз ..зоо 50 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !! В'заключение отметим, что в большинстве своем методы синтеза регуляторов не имеют строгого математического обоснования.
Построение вычислительной системы (алгоритма), предназначеннои для решения задачи синтеза регуляторов, есть лишь первый шаг в создании теории метода. За ним должно следовать выяснение условий сходимости алгоритма, определение скорости сходшиости, нахождение оценки погрешности априорной и апостериорной, выработка способов улучшения сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой. С указанной точки зрения, применяемые в инженерной практике методы в большинстве своем принадлежат к классу эвристических.
В такой ситуации приходится прибегать к любому из методов, который выглядит полезным. Мы неизбежно обрашаемся к проверкам всяких догадок, удачных идей или любых разумных способов решения рассматриваемой задачи. Другими словами, процесс синтеза регуляторов является творческим, поскольку в приведенных ниже методах описаны лишь вычислительные схемы; остальные же этапы обоснования можно рассмотреть лишь при решении конкретных задач синтеза регуляторов. 51 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем ГЛАВА 2.
МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ Для случая, когда объект линеен и стационарен, а система — скалярна, разработано большое число методов синтеза регуляторов. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Содержание этой главы имеет ярко выраженную инженерную направленность, поскольку при решении конкретных задач проектирования регуляторов можно воспользоваться одним из изложенных здесь методов; при рассмотрении основных положений уделено внимание физической стороне вопроса; поскольку методы ориентированы на применение ЭВМ, подробно излагается вычислительная технология.
Практически каждый из методов иллюстрируется примерами, взятыми из инженерной практики. Для того чтобы изложение не воспринималось в отрыве от запросов практики, в главе помещен материал, отражающий применение регуляторов в системах, предназначенных для управления конкретными процессами. Большинство из изложенных здесь методов в той или иной мере используют аппарат математического программирования как наиболее конструктивньш путь решения задач расчета параметров регуляторов с большим числом ограничений, связанных не только с задачей синтеза по заданным показателям качества, но и с необходимостью обеспечения большого числа ограничений.
Более того, постановка задачи синтеза регуляторов является естественной при использовании терминов математического программирования, при этом не исключается и случай, когда невозможно получить целевую функцию и ограничения в виде явных выражений от варьируемых параметров регулятора р,, рз, ..., р„. Вместе с тем изложение часто носит эвристический характер, оно не всегда имеет достаточно полное теоретическое обоснование, но, тем не менее, метод позволяет прл здумчивом подходе получить конструктивные результаты при решении инженерных задач. 2.1.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ Как было показано выше, задача синтеза регулятора может быть поставлена следующим образом. Задана система автоматического управления (рис. 2.1). Заданы передаточные функции эталонной системы И" (з) и объекта управления й',(з) . Рнс.
2Л. К постановке задачи синтезе регулятора 52 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Задача заключается в нахождении ПФ регулятора И'„ (з). 2.1.1. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЭТАЛОННОЙ СИСТЕМЫ В КЛАССЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Рассмотрим структурную схему замкнутой систем ы (рис. 2.1). Сформулируем задачу нахождения эталонной ПФ замкнутой системы следующим образом 1156); определить ПФ И'*(з) замкнутой сис'темы таким образом, чтобы показатель оптимальности вида О 1=У(с)""'(с)1бг о (2.1) достигал экстремума. На первом этапе построим решение задачи без выло.пнения условия физической осуществимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
