Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Аналогично изложенному следует поступать и в тех случаях, когда требуется синтезировать систему, обладающую астатизмом более высокого порядка. (2.89) Пример 23 1821. В системе, струкгурнва схема авторов представлена на рис. 2.24, обозначим Рис. 2.24. Структурная схема системы автоматического унравпенив (е) и у(у)и у(у)~о(у) где И'у(з) = Кз — ПФ усилупела, Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П И' (з) = — — ПФ исполнительного механизма; Кз е )Рч(з)= з з 1 «4 — ПФ объекта управления. Тчз ь2ТАюл'| 1 Заданы параметры сисщмы [82[ Кз=2,' Кз 50, К4=!О; Т4 — О,бя; 2Т4(4=08. Рассмотрим систему, в структурную схему которой не включено корректирующее устройство.
Передаточная функция замкнуюй системы имеет вид ( ) К К К4 (Тчз +2Тз>за+1)з+КзКзКч Исследуем устойчивость нс скорректированной системы с помощью второй формулировки критерия Михайлова [82]. Имеем а(в) + )б(е) И'(Ув) = с(в) + уг((е) ' где с(е)=-2Тчсчв +КзКзК4 ° Н(е) = е(-Тзв 2 + 1) При с(е)=0 из= з з '=2 25'1 следовательно, е,а=525 Г2 и е,=25зГ2. 2ТД, Если же л(е)=О,то вз =0 и в, =1,25. В соответствии с кригериен Михайлова система устойчива, если с(0) > 0 н Ы'(0) > 0 н уравнения с(в) = 0 и Ы(е) = 0 имеют все лействзпельные и перемежающиеся корни, т.е. если мекду кекдыми двумя соседними корнями Ы(в)=0 лежит корень уравнения с(е)=0 или межлу двумя соседними корнями с(в) = 0 лежит корень уравнения Ы(в) = 0 .
Критерий перемежаемости корней формулирусюя так. для устойчивости системы корни должны перемежаться и быть вещественными, а сумма корней должна быть равна поралку уравнения л. В рассматрмваемой системе условие чередования корней уравнений с(в)е 0 и с((в) = 0 отсутствует, следовщгльно, система неустойчива Поскольку е к) '*'ОЬ' /Г„. ° Фаи'зщ О Я)' В(з) бе 1000 И(з) = з(го+ "Н+з ) 11() ( ( +1 з+1 з+Ц 4+Ц з+ ь. 3 \). — ~ сс+с1зьсзг'+з Воспользовавшись методом стандартных козффицнентов, в качестве ззщюнной ПФ выберем ПФ вида б 6 за(5 3 4+2 З~зь)5 ас 3+~ 3 Положим,что Т =106,тогда ее= — '=1 и Т 1 Р(з) зс+бзз+15зчч20зз+15зз+бз+! Р(з) Уравнение синтеза в развернутой форме имеет вид: (поз+ а за + аз)(се+ си+ с аз з+ аз) = бе(ге+ гр+ гзг з) = рс(с+Аз+г(зз'+г(зз'+з(яз'ьг(зг'+з' Отсюда получим систему линейных алгебраических уравнений для расчета неизвестных козффициенпе: Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 81 бого = йо) сосо + Ьогг = агг' а,,+,с. Ь,со=~;1 асса+а!с!+со=из ао + ос, + с, = »(»; а!+с» =о(з. Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу О = (со,сг,сг,го,гого), го систему (2.90) для определения неизвестных коэффициентов можно переписать так. (2 90) »о с, сг "о гг или, что то же самое, 3125 25 -3125 ' го = 1! со в — г! = б 2 16 2 3125 5 25 5 25 — гг+- со+ — с, =!5; со+- с,+ — со=20; 2 4 16 4 16 5 25 5 с,+- сг =15; сг+ =6 4 16 4 Найдем решение последней системы и построим Ь(г) и А(м), Формула, определяющая ПФ регулятора, имеет вид г го+ ггг+ ги Со+С,геогг~ег .де 1,4 о,а о,б 0,4 0,2 О 2 4 б 8 10 12 14 1б Рне 225.
Графики эталонной н реальной переходньш функций скорректированной системы зок. эйв а, о о о ь, о аг ао 0 0 0 Ьо 1 а, ао О 0 0 0 ! аг 0 0 О 0 0 1 0 0 0 О 0 О Ь О 0 г»=64'10, со =3.2031 г, =6,36.10 ', с, = 7,5, гг О, сг=4,75. На рис. 225 приведены графики Ь(г) и Ь,(г) .
г(, дз и» -ао Ыз-а! ого 82 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 0,5 ! 1,5 , З 2,5 0,5 Рис. 2.26. Графики эталонной и реальной АЧХ скорректированной системы Формулы для определенна Ьр(г) и 6,(г) имеют вид: Ь (г) =1+ 5 98 1О зг'е ' -7 !0 э!'е ' -О 166!'е ' -О 5гзе ' -ге ' -е ', 6,(г)=1-8,3 е з гз.е ' — 4,16 ез 14 е ' — 0,166 гз е ' — 0,5.15 е ' — г е -е~. Структурная схема системы с нвйаениым регулятором имеет вид (рис.
2.27). Рис. 2.27. Структурная схема скорректированной системы Пример 2.4. Рассмотрим систему, задача синтеза регулатора которой по корневым годографам рассмотрена в [139). Напомним, что траектории, описываемые на комплексной плоскости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из параметров от 0 до ю, называет корневмми годографами [!39). При построении теории корневых годографов основополагжошие результаты получены К.Ф. Теодорчиком и развиты Г.А.
Бенлриковым и С.П. Стрелковым (1948 — 1949 гг.), Г.В. Римским. Если известен корневой годограф, то очевиден подход к решению залечи синтеза регулятора: выбирается такое значение варьируемого параметра, которое обеспечивает выполнение требований к качеству синтезируемой системы. ПФ объекта управления имеет вид и'е(5) = К 5(0,15 + 1)(0,055 + 1) Регулятор, включенный последовательно, должен обеспечить выполнение следующих условий: Т, <0,7, 20% < о <30%. Выбор параметров и сии юза корректирующих усгройств по корневым годографам включает слелуюшис этапы 1 Поскольку основополагаюшее положение метода состоит в том, по динамика замкнутой системы определяется парой комплексно-сопряженных полюсов зьз пе — эме то отсюда следует вывод, эталонной ПФ замкнутой системы является колебательное звено с ПФ вида.
Нг( ) Ко Теззэ +2ТД и ь) Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 83 В рассматриваемом случае установлены зависимости, связывмощие ая н ыь с Тр и и, они записымютгл твк: 3 ав —, п=е т,' Поскольку в соответствии с постановкой задачи Тр и о известны, то по приведенным формулам легко рассчитать попика я,',, оии равны [139] я,' = — бк)11,2 2 На комплексную плоскость наносятся полюса я,'з и полюса неизменяемой части системы я!=0; яз = — !О; яз =-20. 3 дла выбора значения передаточного коэффициента К разомкнутой системы сроится корневой годо~раф при изменении К (способ построения корневого годографа разработан очень детально, см [139]).
Чцгбы траекгорня корней скорректированной системы при изменении К проходила вблизи полюса я,', ислальт)ется динамическая компенсация ближайших к мнимой оси полюсов ПФ объекта управления. В этом случае обеспечивается определяющее влияние полюсов я,'з на динамику замкнуюй системы Из сказанного легко заключить, что метод принципиально предполагает использование положений принципа динамической компенсшши, ч ю порожаает известные трудности.
В рассматриваемой щааче можно скомпенсировать ближайший к мнимой осн полюс ят неизменяемой части, ПФ компенсатора имеет вид И'„~(я)=(0,!я+1) . Вводится дополнительный полюс я4, так, чтобы полюс я,' находился на траектории корней скорректированной системы [139]. В рассматриваемом случае, звено регулятора ПФ которого имеет полюс я„, запишется так: )рз( ) 0,042я+1 4. Вычисляетсл значение К. В рассматриваемом случае К =12 . 5. Составляется ПФ последовательно включенного регулятора; она имеет вид Гр!( )йгз( ) 0,1я+1 0,042я+1 Структурная схема системы представлена на рис.
2.28. Рис. 2.28. Структурная скема САУ Поскольку ПФ замкнутой САУ определяется зависимостью 12 5650 я(0 05я+ 1)(0 042я+!)+12 (я+ 34 5)(яз+9я+164) то Ьр(г)=1-0,!57е мя'+1,14е жып(12г-2,31) . График Ля(с) представлен на рис. 2.29. Из рис 229 следует, что Т =0,635, а о=2754. я Построим решение рассматриваемой задачи с помощью уравнений синтеза Имеем: н а(я) В(я) 12 — передаточная функция обьекта управления; А(я) я(0,!я+1)(0,05я+1) ()= — ~ + г!я + гв С(я) яз+сзяз+ся+с, Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Эталонный хорактеристнческий многочлен получим, воспользовавшись аппаратом стандартных коэффициентов ))ЙУ 1,ф до о,в ов О44 о,гг Рис.2.29.
График переходного процесса 10,6 Поскольку Тр —— 07, то и,= — '=!5,!4 и характеристический многочлен замкнутой системы при- Т нимаетвид(см 82!) 73!2) г +4'54 +5'42 +4'Зз ьг 22 44'52+5 о ' где 475 = 90,857, 44'4 = 3439,59; 472 --69446,997; 472 = 788719 446' 57~ = 4777386 485' 474 = 120572!3 51. Теперь легко записать уравнение синтеза К!223 +ггг+ го)+ й!Т22+1)(Т22+!)(2 + сэз + си+ со) з Э 2 +в52 +К42 +4!22 +4!22 +5!52 "го.
4 5 4 5 2 Система алгебраических уравнений для расчета неизвестных коэффициентов ПФ регулятора запишег- СЯ тае гоК = Во Т5Т2 г,Косо о Т,Т, гзКесотэ.~.с5+с,Т, 2' Т,Т, с,ТТ,+с Т,+с Т,+с, = 525 Т,Т Т!Т, 5 Т,Т Отсюда находим го = 5023*83851 со = 14859 24' г!=752,3075; с, =14!3,877; гэ = 25,0690; с, =60,8571. Структурная схема системы управления представлена иа рис. 2.30. На рис. 2.31 приведены графики эталонного переходного процесса и реального переходного процесса на выходе системы с регулятором, рагсчишцным по методу уравнений синтеза.
85 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Рнс. 2ЗО. Сгруктурнаа схема САУ 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 О,! 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 Рнс. 2.31. Грвфнкп зталонного А,(г) н реального Ь (г) переходных процессов На рнс 2.32 представлены графики АЧХ зталонной системы н системы, регулятор которой рассчитан методом уравнений синтеза. 0,99 0,8 0,7 0,6 0,4 О,З 0,2 О,! 30 5 20 25 0 5 Рнс. 2.32. Графнкн эталонной н реальной АЧХ скорректнроаанной системы Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
