Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тяк как при синтезированных параметрах система может оказаться неустойчивой, были введены огра- ничения на устойчивость системы. Решение задачи было получено с использованием мегода нелинейного программирования, причем ис- холными данными для решения задачи на ЭВМ были: параметры эталонного процесса; функция, опреде- шющщ невязку и зависящщ от пяржчесров регуляторщ ограничения на искомые параметры ТянТя,,ТВ, зааанная колебательность системы. В результате минимизации были получены следующие значения параметров регулятора Тя, =О 028748чО 03; Тяс =О 072578чО 07; Тяс =0153567ч015. Проведем анализ скорректированной системы Передаточную функцию системы с найденными пара- метрами регулятора можно записать в виде И'(я) = — = —; Х(х) Ьзг(я) у(я) 75(я) или, что то же самое, Методы синтеза САУ по задана)ым показателям качества.
Часть 11 118 Н'(в) =(-0,7971821616.!О зв' — 0,00348124224в' -0,25878899вв — 7,6331977вз— -104 2509790вв -657 2274284вз †!636 02800вз - 624 177638в -61 4105644)l (О 000076051178! 1вз + 0 33408761 59вв + 2554180149вг + 78 807744243вв + +1154,133273в'+ 8089,337871в' + 24295,88162з' + 29197,51156вз + 410888,19708в+ 801,6085611). Найдем реакцию системы В,г(г) на заданное входное воздействне )з = 0,1.
Извесгнымн мегодамн получим вырнкенне, определлюшее выходной сигнал; В .(г) = -0 0076609! 6734-0 00128е-ззгвнолн~ + 0 4809бе-зз занвввп + +0,33888 10 е ~'Ш~ПЕЗ'+ 0 0002 815496096е "" ЗЗВЗ'З' сов(2,167470826!) + Ю,0002682842784е ~юпм~нп(2,1674708261)-0 005362514!Обе-звпвгнзн+ +001401796355в Ьзы~ш-0004037798е~л~~~~вь0002760895е~~~~ На рнс. 2 52 пунатнрной линией показан эталонный выходной снпшл, а сплошной линией показан реальный выходной снгнал. 0 -0,00 -0,008 Рнс.
2.52. Эталонный н реальный выходные снгналы скорректнроввнной системы 2.8. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Этот метод по сушеству является одной из форм реализации метода, рассмотренного в предыдущем параграфе, т.е. метод относится к классу оптимизационных во временной области. Положим, что в зависимости (2.122) коэффициенты а„(р), н = О,гз -1 н Ь„(р), 1 = О,гп зависят от параметров регулятора. Воспользуемся обозначением -а„(р)=С„(р), н=б,п-1; Ьа(р)=СВ(р), йшп,п+гп+1; — Рв(г) = 0„(г), о=О,п-1; Р (г) = РВ(1), я = п,п+т+1. Тогда соотношение (2.124) можно записать так Е(Г, р) = х,(1)- ) С„(р)0 (р) . (2.132) г=о Задача заключается в нахождении таких коэффициентов С„(р), нмО п+пг, которые обеспечивают минимум функционала Глава 2. Методы синтеза лято в в классе одноме ных систем 119 т «+н ) х,(г)- ,)„С„(р)23„(р) ((т.
о~ .-о (2.133) т( „ — =21~2 т((р)тй(ы-О; др( о =о дй — - 21 ( г ' т (~(~ )( ( (й = О; дрг о~ =о д( — = (Я т (о(()( ( н~ = о . др. о -о Данная система уравнений относительно неизвестных параметров КУ является линейной системой алгебраических уравнений, которую можно переписать в виде а,(р(+апрг+...+а(,р„= Ь,; аг(Р(+аггрг+- + аг Р = Ьг ' (2.136) апр(+а.грг+ ..+а Р„=Ь,. Сформулированную задачу можно трактовать как задачу приближения функции х,(г) линейной комбинацией элементов Оо(г), 23((2), ..., 2)„~~(г), причем должна быть обеспечена сходимость в среднеквадратичном. Другими словами, коэффициенты С (р), С,(р), ..., С„„(р) подбираются из условия минимума среднеквадратичной ошибки. Если же рассчитаны С„(р), о = О,и+т, то далее решается задача нахождения параметров регулятора р,, рг, ..., р,.
Задача имеет наиболее простое решение, если параметры р(, рг, ..., Р„входят линейно в коэффициенты Со(р),С,(р),...,С„, (р) . Тогда путем группировки в (2.132) членов относительно неизвестных параметров р,, рг..., Р„указанное соотношение (2.132) можно записать в виде Е(г Ръ Р2 - РЭ .(0(г) РА(г) Рггг(г) " РгХг(2) (2.134) Функционал (2.129) принимает вид т ~(Р) =()Ио(Г) Рг|ь(Г) Рггтг(2) - Рт1 (2)) 21). (2.135) о Из последней зависимости следует, что задача безусловной минимизации (2.135) свелась к задаче приближения известной функции т'о(Г) комбинацией известных функций у((г), уг(г),..., у„(г) .
Если через С„< Г((Г), тг(2),...,т"„(Г) > обозначим линейную оболочку (надпространство в 2 [О, Т[ ), то сформулированная задача по сушеству будет задачей проектирования то(г) на линейную оболочку ь„< Г((г), тг(2),..., Яг) > . Другими словами, это — задача квадРатичного пРибоижениЯ фУнкции то(2) фУнкцилии Яг), [2(г) ..., ['„(2)'. В свЯзи с этим по своему содержанию метод является проекционным. Минимум квадратичного функционала можно найти, если вычислить его частные производные по параметрам р,,рг,...,р„ и получить систему уравнений, приравняв их к нулю: 120 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Решая последнюю систему, получим численные значения оптимальных параметров р,, рз, ..., р„.
Если число параметров р!, Р2, ..., Р„невелико, то система (2.13б) будет хорошо обусловленной и трудности при ее решении не возникают. Структурная схема алгоритма синтеза приведена на рис. 2.53. (Р! Рг Рг) Ряе. 2.53. Структурная екемв елгорнтмя еннтем регуляторов Рассмотрим еше один подход. Положим, что система стационарна и ее ДУ имеет вид 1 Ю х,(г)+)гг(бт,р)х,(т)гут= ) Ь„(р)у! !(!) — х! ~!(0)а„!(Р)-(х!"~!(0)г+ о г О и-! о-2 +х!" !(0))а„2(р)) -... -(х," (О) — +х," (О) +х,(0) ао(р), ( -Ц1 ' ( -г)1 (2.138) где о-! ( )е- -! гг(бт,р)= , 'а„(р), х,(!) =х,"(!), (2.139) „=о (л-о-1)1 причем х,(0), х',(О),..., х!" !(О) — ненулевые начальные условия эталонного выходного сигнала. Обозначим В„,(г) = х~" !!(О), 21„2(г) = х!" ~!(0)у+х!" 2!(О), (2.140) о-2 Ч,(г) = !"-'!(0) — '+х!"-'!(0) ' +„,„,(0), (л-1)! ' (л-2)! хрй(!)+ , 'а„(р)х! ! = ~ ~Ь„(р)у! 1; (2.137) г=о г О кроме того заданны у, (г), х, (г) .
В общем случае у, (!) — некоторый сигнал, подлежащий отработке, а х, (!) — желаемаяреакция на у,(Г). Перейдем от дифференциального уравнения (2.137) к эквивалентному уравнению вида Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 121 С учетом введенных обозначений (2.138) принимает вид л-1 [ ! ( )л-«-1 1 г,(!)+~ ~а,(р)~~ гз(т)зт+т)„Я~м~ ~Ь«(Р)у! )(!). (2.141) Обозначая )л-«-1 Р,„(!) = ) г,(т)ггт + г),(!), 1 = О, и — 1 о (л-у-1)1 — известные функции, из (2.141) следует и-1 л! г,(!)+~ а„(р)Р„(!)м,~ Ь«(Р)у(')(!).
(2.142) «=с .-о В идеальном случае при соответству)ощем выборе параметров рырг, ...,Р„ уравнение (2 142)превращается в тождество. Поскольку такая ситуация в общем случае недостижима, то, обозначая л-1 Р)(1,р)=г,(!)+ , 'а„(р)Р,„(!), «о Р (О )=~~' Ь,( )у(«)(!), «о получим невязку Е(! Р) Р(! Р) Ы~ Р) Далее, как и в предыдущем случае, задача формулируется так т !(Р) =НЕ''(1,,Р) Ь -+ ш[п.
(2.145) о Последняя задача может быть сведена к задаче аппроксимации в пространстве Ьз(О, Т), Если уравнение имеет вид л ~а„(Р)х(")(!)=у(!),а у,(!)=1я, х,(!)=Ь,я=а ([-е р), (2.144) .=о л-1 ! и-«-1 Р1(1,р)=(-1)ла", е ""+~а«(р)[г(-1)" К ал 1 е ""г(т =о о (" о 1). Рг(! Р) = 1(!) и задача становится чрезвычайно простой и ее решение сводится к задаче аппроксимации в ьз(О,Т). Пример 2.15.
Рассмотрим канал управления креном ракеты (рис. !.15), полагая: К1«=1 К Кт 62)Т =03 с; у,=1(!); х,(!) =! — е з — желаемый (зталонный) выходной сигнал, Н' = К+ К,з+-в — последовательно включенный ПИД-регулятор. К Л Задача сосюит в расчете численных значений коэффициентов К, К, и К„- ПИД-регулятора методом аппроксимации в пространстве аз[О,Т). На рнс. 2.54, 2.55 и 2.56 показаны соозвектвенно импульсная переходнаа функция, переходнав характеристика и амплитудно-частотная хнракпристика системы без регулятора (нескорректированной системы), Причинм наличия сильиоколебательных процессов под«обло рассмотрены в [171.
а Зак. 666 !22 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 В соответствии с описанными выше теоретическими положениями найпем ПФ замкну»ой системы с последовательно включенным ПИД-ре»улятором: »в»» 2 +»»4» 3+»» й»!! 4 и 3»' +П+»4»м»»!3 "»» р»»3+»«»0»1 -1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Рнс. 254. Импульспаа перехолнаа функцма нескорректнрованпой системы 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Рнс. 2.55.
Перехолнаа яарактернстнка нескорректнроаанной системы Рнс. 2.56. АЧХ нескоррсктнроаанной системы Или, что то же самое, 123 Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ныл систем И'(2) = , (2 к,к.,к), кк Дифференциальное уравнение имеет вид (1+К,К, К„), КК» К, К»К»,К, «г'гя+ ' " «(г)ь~к(3)ь ' ' '«(г)= т, К» «7 кп «7 «и «7 пт 7,Я+К »Д 7 ()+~ и! 7 т, Ьк ь, ь Последнему уравнению эквивалентно интегральное уравнение Вольтерра 2-го рада 2( !2 «7(г)ь) ,'à — т[ак(г-т) )(1-е к~')7(т ,„, 21 Нт 1 ( !)2,(2 ) Х: — [Ьь( — )2)1(т)нт пк=е Запишем формулу, определлюшую невазку: Е(К,К,К»)=1!-е "к ')+ (!р»2« К ))21Яь — КК К 03(г)ь + К «р«70»И Кп«р«7Р2Я ««пр«7'3(Я ! р ! — «„к к 23 Я=(1-е )+ — 23'(1)-к ~ — к к (3'(1)+ р 7 и ( ) 1.
1 к !. пр 7 2 т + — К »702(3) -К вЂ” Кш«,В;(1)+ — Кп К,о,'(7) 1 ( 7 Кп «»3 «7 О Я+ Кш«7(3» (г) 1 „1 7 7 = () -, -ьп ) + †' )З,"(1) - К, †' К «,()З;(1) - Э;(г))- 7 7 Г,(73 ли к «()з (г) () В)) к «пк((3 (г) (3»(г)), 7 ЛО3 (2а,ге "+2)е-'" З Ззз (п(г) = 1 - - г + ),еьт ап 37. 7 К„р»7(-1ье '7)е у',(2) = з,ззз а, ( 1(-а»1 е ' +2)е ' — 1+а,г ! г 12,7 ! -»,7 У2(1) =-З,ЗЗЗК» к, — ' — --12, г 2 Оп а, (! 72313 «,7 3 2 е,7 ( ) ЗЗЗЗ» «1~3 ! 1-2о,7+о»1 +2 1 3 3' +-2 Сиешма алгебраичеекнк уравнений, оиределлюшаа неизвестные коэффициенты К, К, и К„, имеет вид !* Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 124 пцК +а,зК+апК„=Ьз, опКя+пнК+озздч = Ьз эзКд+лзз ч ЭЗК Ьз где т ак =1 7,(з)зз(з)йз, з.у = 1,3; е т Ь, =).зз(з)зс(з)41, 1= 1,3. с Поскольку матрица системм — матрица Грана линейно независимых элементов, определитель которой отличен от нуля, решение сушествует и оно единственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
