Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Расчет приводит к следуюшему операторному уравнению с матричным оператором. ! 28777,879 66322,474 99312,298 К 3018,113 66322,474 194887,5!3 326260,178 К = 8648,335 . 99312,298 326?60,178 580468,349 (Кч3 '(14336,5863 Отсюда находим искомую одностолбцовую матрицу ИПФ, ПХ и АЧХ скорректированной системы представлены иа рис. 2.57, 2.58 и 2.59. Рис.
2.57. ИПФ скорректированной системы Рис. 2.58. Переходили характеристика скорректмроаанной системы Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 125 Рис. З.бр. АЧХ скаррсктираианнея системы 2.9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ЛЯГЕРРА 2.9.1. Постановка задачи (2. ! 47) Перед рассмотрением настоящего параграфа непбкпдимп изучить спптвстстау!пщие ппяожеиия пераого тома учебника Пусть Ф(г) =(грг(г),грз(г),...,грг(г),...) — ортонормированный базис. Полагаем, что задана эталонная ПФ замкнутой системы И';(д) и ПФ объекта И; (з), причем 7.
! (И" ,(д)) = 7гз (т) е г" ,[О се) и гы 1Иг (я)) = /г (т) е ье н !О ге) . Представим 7г, (т) и /ге (т) в виде разложения по ОНГи Ю 7г,(т)=я~с„'гр„(т) и !!е(т)= , 'с„'<р„(т). (2. ! 46) и=! г ! тральными характеристиками соответственно эталонной системы и объекта управле- ния в выбранном базисе Ф(г) . Положим, что построены алгоритмы, позволяющие рассчитать спектральную хай, РактеРистикУ Сч =!те!ч,сз",...,сгч,...у! РегУлЯтоРа, если известны С'и С' пРи условии, что lг (т) н Е (О еп), а все элементы гр (г), 1=1 2...
преобразуемы по Лап- ласу н возможна физическая реализация в аналоговой илн цифровой форме элемен- тов, имеющих ИПФ гр, (т), 1 = 1,2...,1,.... Если построена ИПФ регулятора в виде Ю lг (т) = ~с„игр,(т), ч ! то ПФ регулятора может быть представлена так: И', (я)= ) с„Ф„(у). Методы синтеза САУ по ззщанным показателям качества.
Часть !! 126 Поскольку известна структура регулятора в форме (2.147), то структурную схему регулятора можно изобразить в следуюшем вцде (рис. 2.60). Рнс. 240. Структурная схема системы Далее рассмотрим алгоритм синтеза системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.60, используя в качестве базиса функции Лягерра. 2.9.2. ФУНКЦИИ ПЯГЕРРА Ортонормнрованные на полуоси [О,нз) функции Лягерра определяются формулой — лз! (-Яз) 7, (1) — 1яе 2 ~, „.с (лз - У)! (Уй) 12 — масштабный множитель, который выбирается таким образом, чтобы ускорить сходимость ряда; лз = О, 1, 2,.... Переписав (2.148) в виде 1е 7. (1)=,, 'с „1"е ', (2.149) с 0 .(-1 )" где с „= !я 2, получим зависимости, определяюшие первые 10 функций (нз — у)!(у!) Ля герра: 1С (1) м Ч'Я Е з С,(1)= 78 2 (! — 8 1); с~ ( г г 3 (1) д.е 2 1 2.1с.1+ зг 1г 2 Е~(1)= И е 2 .~1 — 3 lс 1+-)с 1 --8 ° 1 11 32 2 13 з), 2 6 А"! гн(1)=зя е г 1-4 1с 1+3 1с 1 --я 1 + — )1 2 2 2 3 3 1 4 4 3 24 зс 1з(1)=Я е 2 ~1-5.4 1+5 8 1 --22 1 + — )с 1 — — 12 1 5 з з 5 с с 1 3 24 120 Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классеодноме ных систем 4( /б(/)=, /е.е ' .~1-б lс./+ — lс ./ — — 8 / + — lс /в 15 г г 1О з з 5 2 3 8 — — /с .с + — /с с у 5 5 ! б б 20 720 4( Е7(с)= /я е г ~1 — 7 /с /+ — /с / — — /с / + — /с .с ( 21 г г 35 з з 35 4 4 2 ' 6 24 — — 8 с+ — /с /- — /с /); 5 5 7 б б 1 7 7 40 720 5040 4( /в(/) = Д е г 1 — 8 ° /с./+14 ° /с .с — — 8 / + — /с г г 28 з з 35 4 3 12 — — /с /+ — 8 с- — /с с+ 5 7 б б ! 7 7 1 в в,), /с /у 15 180 630 40320 4( / (С)= /К е ' 1 — 9 /с /+18 /сг,г 14 /сз,з+»/14,4 4 — — /с / + — /с С вЂ” — /с / + — /с 215 5 7 б б 1 7 7 1 в в 1 /с с ).
20 60 140 4480 362880 Перепишем (2.! 50) в матричной форме: Ф=(/.Е, где Ф = (/о (с), /4 (с), /з (/),...) , т 4( с(( ((( ((( х(( 127 (2.150) (2.151) О 0 0 0 1 -2 1 -3 1 — 0 24 5 1 0 0 0 0 (2.153) 1 -5 24 120 5 1 8 20 35 7 1 — 0 720 7 1 1 -б 2 3 21 35 1 -7 12 15 21 21 !80 630 7 1 60 !40 4 20 1 0 0 0 ! -1 0 0 1 — 0 2 3 1 2 б 2 3 3 5 5 3 15 1О 2 б -8 М 3 1 -9 18 -!4 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 24 40 720 5040 35 7 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 40320 1 1 4480 362880 128 Методы синтеза САу' по заданным показателям качества.
Часть Ц Графики Ц (1), Е, (1), ..., Ц (1) при 2 = 1 и /с = 10'представлены на рис. 2.61 и 2.62. -О, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рне. 261. Грвфикн первых 1Он функций Лнгеррв прн к =1 3, 2, О, -О, -1,5 0 0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ! Рис. 2.62. Грвфнкн первых 10-н функций Лягеррв при х =10 2.9.3. ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ 1. Рассмотрим случай, когда объект задан его передаточной функцией.
Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 129 В (126, 127) рассмотрены задачи численного обращения одномерного и многомерного преобразования Лапласа. Положим, что (127) Иь (э) = — — ПФ объекта управления. М(э) = //(э) (2.154) Представим ь с (И (в)) =/с (/) = «~~се'/ (/), (2.! 55) с 0 где В ф и с,' =//с (/)/с(/)с//=," с,„~/ /с,(/) е эс//= ~с,„р„, о и=е и=ь (2.156) причем и',(") ( ) = (-1) ~ с'й, (с) е вс// . о Сравнивая (2.157) и (2.158), находим (2.158) р, =(-1) И'(") (2.159) з Дифференцируя (2.154) по э, получим зависимости )с/с,(/)е "с//=(-1) —,—, /=О, 1, 2, .... , бс И(в) йс д/( )' (2.160) Все равенства этой системы справедливы при Ке э > О.
Отсюда можно записать новую систему, полагая э = /с/2 (/с > О, /с и и ); )с/се(/)е эс/с — ( 1) ь -рс -2 ! ас ~М(в)1 й, ~м(,)~ *--, (/=О, 1, 2, ...). Если И', (в) имеет вид формулы (2.154), то моменты р, можно найти следуюшим образом. К выражению яв'(э) = И',(э).У(э) применим формулу Ньютона — Лейбница для п -ой производной от произведения двух функций; Ъ и р„=)/"/с,(с) е 'с/с (2.157) о — моменты ИПФ объекта управления.
Из формулы (2.156) следует, что для расчета элементов спектральной характеристики объекта управления в базисе функций Лягерра необходимо построить аягоритмрасчетамоментов рв, рн рм ..., рс, .... Изображение И', (в) является регулярной функцией комплексного аргумента э в полуплоскости Ке э сО, в которой дифференцирование Иь(в) можно выполнять под знаком интеграла Лапласа. Поэтому из формулы, определяюшей интеграл Лапласа, имеем 13О Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П М"(з)=И:.(5)ДГ"(з)+!И (з)А!' '(5)+...+ +,"И',( )(з)А2(' )(з)+...+И.(')( )Аг( ), (2.161) где а '! с, = (1-т)!т! Из последней формулы можно получить зависимость, позволяющую вычислить моменты скаль угодно высокого порядка: М('( )-и'( )У(О( ) () ~1~0(з)1~ (з)+'"+с4 Ио (з) ! (5)+'"+!Ио (з)!' (5)! (2.162) Отсюда следует Ф З! ! д1 (-1) Н, =(-1) ~! 24 Яе 24(г=~ — и' ( )1 о 3 '2 — — ~~!НА 1+" +с! Н [1, +" +1Н, 1[311* 71 НСР! ! Г. т о о (2.163) где 7, =М(')(з) 41 [3; =А!()(5) з, (1=0, 1, 2, ...). 2 2 Полагая, что матрица моментов т М =(Но Н1 Нз " Н! " ) вычислена, а матрица ортогонализации П, соответствующая функциям Лягерра, известна, получим матрично-операторное соотношение для расчета матрицы-столбца С ' = (Со', С1, Сз',..., С! ',...) зто соотношение имеет вид (2.164) Сц=ь! М.
(2.165) Или в развернутом виде Но Н1 Нз Нз (2.!66) 4! 5 4 1 4! 5! Н Существенное влияние на сходимость ряда (2.155) оказывает масштабный множитель 74, методика выбора которого изложена в работах [18, 127). -2!4 — 24 1 2! 42 2! -424 — А 6 2 21 !О -5)4 — /4 2! ! з — — !4 3! 4 з 3! 1О з — — /4 3! за СО с 4 1 с" 2 сз 4, С4 зв Сз Глава 2. Методы синтеза лито ов в классе одиоме иых систем Пример 2д6. Положим, по изобршкение И', (я) имеет вид [127] 0,44 1О зя'+0,8417 10 'я'+0,12434з'+ 0,19 10 оя'+0,513 10 'з'+0,6766 10 гя'+ +8 05385 я'+ 3,63!я+ 2 0502 ля+164511!го+11312 яг+3 63!я+1 Построим оригинал Ь,(г) в виде проекции иа линейную оболочку /о (/о,..., /о), где Ь =1 Лля это- го воспользуемся алгоритмом, описанным выше.
Сначала необходимо рассчитать матрицу моментов М, для чего следует найти численные значения моментов (13„: о=О, 1,...,7) и (у„: о=О 1,...,7]. Соозвештвуюшие формулы имеют вид[127] Ро=(азя +ам'+поз +ар'+аоз +азз'+агз +ар+ос)/я=Ь/2; Рз =(8арз+уагг~обаоззобаязоь4аозз+Зарг+га зоаз)/я=б/2; Р, =(5базз +42азя~+ЗОар~+20азз'+12аоя~+бар+гаг)/я=6/2; Р,=(ЗЗба,з +2!Оагз~+120аог~ьбОан +24а,а+ба )Ы=/г/2; Ро =(1680а,яяо840аьз~+360аоз~+!20аяз+24ая)/я=8/2, Рз =(6720аззз+ 2520а,яг+ 720а,я+120аз)/я = 8/2; Ро-"(20 160азя +5040а,я+720ао)/я=Ь/2; Рз = (40 320азз+ 5040аз)/з = Ь/2; моменты (у„) [где о = О, 1,...,7) рассчитывают по формулам у, =(Ьзяз+Ь з~+Ьн~оьгз~оьр+Ьо)/я=Ь/2; уз =(56зяо+абоязоэбнг+2ЬНобз)/ =Ь/г; уг --(гобоя~о!264згьбьзз ьгьг)/я=8/г; уз = (ЬОЬзз г+24Ьоз+ЬЬ )/я =8/2, уз = (120ьзз + 24Ь4) /з = Ь /2; у =1206;! 7,=0, 1'7 =О.
Формулы, определяюшие элементы одностолбцовой матрицы М, можно записать твк: уо. Но Ро Ро г НоРг Нр. Р Ро Нз = —.— 2- — (ЗНзрг+ ЗНгР )1 уз нор ' Ро Ро Но = — — Д вЂ” (4н зря+ 6НЯ)г+4Н зР з); 74 Нор Ро Ро Нз=~' Н '- — (5Нзр +10НУз+!ОН|э+бр])з): Ро Ро Но = — — (бн зря + 2 1Н 53 з + 3 5Н зР 4+ 35Н Р 4+ 2!Н Р з+ 7Н Р г) Уо Норв Ро Ро Матрица-столбец моментов имеет вид !32 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 0,685088 1,3808949 3,6295890 10,322243 22,393210 -60,779604 -1648,02!98 -19422,6728 Воспользовав шнсь матрнчно-операторнмм соотнашеннем 1 св кч ! -1 1 -2 1 -3 с, гч 1/21 3/2! -1/3' 6/2! -4/3! !/4! 10/2! -10/3! 5/4! -1/9 15/2! -20/У 15/45 -6/Л 1/6! 21/2! -35/3' 35/4! -21/и 7/6! -1/7! ст Нз сз С4 1 -5 1 — б ! -7 Сз Сь Ць цт Ст рассчитаем матрицу-столбец козффнцнентов Фурье С" =(0,6850883 -0,6958065 -0,2619067 0,266514 0,101832 ь -ь -0,103429 -0,040019 0,0408939) .
т Отсюда слелУС5 /44(/) = Рг, ! / !х(/) = 2„с„'/ч(/) 4 О В табл. 2.11 прнведены дискретные значения функции /4,(/) н к,(/) . 2. Рассматриваемый случай предполагает, что передаточная функция объекта неизвестна, однако известно следующее: ° обьектлинеен и стационарен; ° /со(т) н С'(О,со) В этом случае необходимо провести детерминированную или статистическую идентификацию обьекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
