Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найдем матричный оператор эталонной разомкнутой системы, полагая, что извес-' тен матричный оператор эталонной замкнутой системы 1рис. 2.100). Имеем Аэ А»(1 еАэ) 'э 11 (2.268) 1 А» 1 1 4 Рнс. 2ЛОО. Структурная схема эталонной нестаннонарной сястены Умножим левую и правую части последнего выражения справа на матрицу 1+ А' ;-1, и,приняв,что (1+А') ~1+А')=1 (1-единичнаяматрица),получим Аэ(1+Аз) Отсюда находим Аэ + АэАэ Аэ или, что то же самое, Аэ а э АэАэ (1 Аэ)Аэ Теперь легко записать выражение для эталонного матричного оператора разомкнутой системы ез (1 Аэ) Аэ (2.269) Теперь структурная схема эталонной системы принимает вид, представленный на рис.
2.10!. Г 1 () Рнс. 2.101. Структурная схема эталонной системы На рис. 2.102 представлена структурная схема нестационарной системы, включаюпгая объект и регулятор. равенства матричного оператора замкнутой системы эталонному матричному оператору. Приведем основные этапы синтеза системы методом матричных операторов: ° определение эталонного матричного операпюра А' замкнутой системы; ° определение эталонного матричного оператора А' разомкнутой системы и р Глава2.Методысинтеза е лято оввклассеодноме ныхсистем 179 Рис. 2.102.
К иостановке задачи коррекции Пользуясь структурными преобразованиямц получим зависимость(рис. 2.102) А А =П вЂ” Аэ) Аэ (2.270) Отсюда находим (см. формулу (2.259)) А =(Ао) (1 А ) А =(Ао) Ар. (2.271) Из последней формулы легко заключить, что матричный оператор корректируюиГегаустрайства состоит из двух частей; первая часть включает А' и апредечяется зависимостью (2.269); вторая же часть имеет оператор, обратный оператору объекта. Поскольку для А' справедлива формула (2.269), то структурная схема скорректированной системы может быть представлена в виде, изображенном на рис, 2.103. Г э Регулятор ,',' Объект ! ! ! ! ! ! Рнс.
2.103. Структурная схема скорректированной сэктемы Изложенный метод синтеза регуляторов реализует принцип динамической компенсации в спектральной области [83]. Следуя [84), сделаем некоторые пояснения. Реализация принципа динамической компенсации с целью решения задачи синтеза корректирующего устройства для сложных систем (см. пример в 02.7) может оказаться очень трудной; схему решения задачи можно значительно упростить, если воспользоваться алгоритмом декомпозиции [84).
Содержание алгоритма декомпозиции иллюстрируется примером, представленным на рис. 2.104. После определения алгоритма декомпозиции последовательно рассчитываются операторы звеньев, получаемых в результате объединения звеньев с известными операторами и содержащих корректирующее звено, в том числе (на заключительном этапе) оператор этого звена. При этом необходимо решать все или некоторые из следующих задач [84]; ° звенья 1 и 2 соединены параллельно; известны их операторы; требуется найти оператор соединения в целом; ° звенья 1 и 2 соединены последовательно; известны их операторы; требуется найти оператор соединения в целом; ° звено с известным оператором включено в циклическое соединение; требуется найти оператор этого соединения; 180 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П ° звенья 1 и 2 соединены параллельно; известны операторы звена 1 и соедине- ния в целом; требуется найти оператор звена 2; ° звенья ! и 2 соединены последовательно: звено 1, за ним звено 2; известны операторы звена 1 и соединения в целом; требуется найти оператор звена 2; ° в той же схеме соединения известен оператор звена 2; требуется найти опера- тор звена 1; ° звено 1 охвачено положительной обратной связью; известен оператор этого циклического соединения, требуется найти оператор звена.
Задана щы~ а ~ФДбт. А Свертывание д декомпозиция юД9 т Патпб Я- ю~4 ~т~ К ~ з' -юПтю5 ~ 4 3 5 -«П5т- Рис. 2.104. К определению алгоритма декомпозиини: ! ! — воен~я с известными матричными Онераторал~и; К вЂ” корректирующий филыкр, ! 'К! — звенья, содержащие корректирующий фильтр Все эти случаи представлены на рис. 2.! 05, где диагональными чертами помечены звенья, характеристики которых подлежат определению. 182 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 2.12.3.
ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Предварительно необходимо отметить, что применение оптимизационного принципа синтеза регуляторов, предполагающего достижение приближенного равенства (напрнмер, в ьз [О, Т[ ) реального выходного сигнала хр [г, р,, рз,..., р„) к эталонному процессу с использованием формулы (1.52), трудно реализуемо, поскольку в общем случае обратный оператор замкнутой системы неизвестен (см. 81.4). Поэтому при решении задачи синтеза регуляторов в классе нестационарных систем целесообразно пользоваться оптимизационным принципом, предполагающим достижение приближенного равенства правых и левых частей операторного уравнения, описывающего динамику скорректированной системы (см, формулу (1.53) в з!.4). Если дифференциальное уравнение регулятора записать в виде ч м Га„'~[г)и( ) = ) Ь„"т [1)а( ), (2.272) «со где / а,'~(г)= ) с,' <р,[г), «ы Ь,"" (Г) = ~~> с„' «р„(1), 1= О,пб (2.273) 1= О,пгп «ы то параметрами, подлежащими расчету, являются а"' с~', 1= О,пб г =1,1; (2.274) ьп с„', Г=О,М~, 'У=1,6 Решение перечисленных задач с использованием аппарата матричных операторов затруднений не вызывает.
Как указано в (84], а процессе последовательного определения матричных операторов неизвестных звеньев могут возникнуть случаи, когда корректирующий фильтр содержится одновременно в двух звеньях. В этих случаях процедура расчета усложняется и приводит к необходимости решения дополнительных задач. Это иллюстрируется примером, приведенным на рис. 2.106. На первом этапе декомпозиции можно получить последовательное соединение с двумя неизвестными звеньями. Используя преобразования 2 — 4, матричный оператор звена 6 можно выразить через оператор звена 3. Далее надо обратиться к задаче 1.
Теперь она уже может быть решена, т.к. остается одно неизвестное — матричный оператор звена 3. Решив эту задачу, переходим к задаче 5, которая дает решение задачи в целом — определяется матричный оператор регулятора. 0 степени эффективности принципа динамической компенсации применительно к классу нестационарных систем можно отметить следующее; КУ является всегда сложным, поскольку должно включать две части; компенсирующую, описываемую оператором, обратным оператору объекта, и эталонную (описывается оператором разомкнутой эталонной системы).
Техническая реализация звена с оператором, обратным оператору объекта, очень сложна. При его реализации необходимо учитывать не только формальное описание, но и физику процессов, протекающих в объекте. Оператор (А,) ~ в общем случае включает в себя матричные операторы дифференцирующих звеньев и операторы умножения. Глава 2.
Методы синтеза е лято овв классе одноме ныхсистем 183 Таким образом, число неизвестных параметров определяется зависимостью г=!х(л, +1)+!х(т, +1). Неизвестные параметры будем обозначать через р,, ! = 1,г . Если А, — оператор объекта, А, (рп рз,..., р„) — оператор последовательно включенного регулятора, то выходной сигнал системы при подаче на вход уэ (!) определяется зависимостью хл(ДРыР,,...,Р„) = ( 1-1 (2.275) = А. А (Р , Р ," , Р, )(! + И, ( Рэ, Рз, ", Р4 ~ У, (г) Тогда неизвестные параметры регулятора Р,, рз, ..., Р„могут быть определены путем минимизации квадратичного функционала, т.е. г г 7(Р,,Рз,...,р„) =)(хл(Г,Р,,Р,,...,Р,)-хэ(г)) к!г = о г 2 э (Г) ~Ао кг (Р~ Рз "' Рг)(~ + оАкг (Р1 Рз "' Рг)) ~ Уэ (Г) к!Г + о «э(слклэ,",Л,) (2.277) (2.278) =) К (бт,рп...,Р„)У(т)о(т, о где Кк (г, т, Рп..., Р„) = ~ — „~ а„(т, Рп..., Р„) (! — т)" "-' (-1)' А" „,( -1)1й" Кг (К т, Рц,,., Р„) = ~ — ~ Ь„(т, Р,,.,., Р„) (! — т) (-1) к(~ г к=о (" )1 о(т причем рп рз, ..., р, — неизвестные параметры регулятора Поскольку эталонные входной сигнал у, (г) и выходной процесс х, (!) известны, то можно записать соотношение, определяющее невязку: — э ппп лолэ .
л, Последнюю зависимость можно рассматривать как общий подход к решению поставленной задачи. Приведем конкретные соотношения. Положим, что с помощью известных методов [84) получено уравнение замкнутой системы с учетом уравнения регулятора в виде к-! х (д р„..., р„) + '~ а, (д р„..., р„) х (б р„..., р„) = =1 =~~> Ь,(ДРп...,Р„)У( )(г). о-о Этому уравнению эквивалентно интегральное уравнение г х(г,Рп..,,Р„)+) К (бт, Рп,,,,Р„)х(т,Рп..,,Р„)г!т = о 184 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества Часть И ! Е(г,р„...,р,) =х,(г)+ )К (г,т,р,,...,р„)к(т)ато ! -~ К (г,т,р!,...,Р,)у,(т)гй. (2.279) ! и-! Е(г, рп..,, р„) = г, Я+() «а,(г,р,,..., р,)г,(т)г7т+ у, Я— о =о и-! и-!- й-« а, (г, р,,..., Р„) х( ) (О) «=о г В последней формуле неизвестные коэффициенты р!, Рг, ..., Р„не находятся под знаком производной, что упрощает алгоритм расчета Вместе с тем требуется знание и-ой производной от эталонного выходного сигнала г,(!) =х, (г), причем выходной процесс х, (!) может быть отличен от переходной характеристики и включать соответствующие производные при г = 0.
2.12.4. МЕТОД МОМЕНТОВ В соответствии с формулой (! .55) (см. 9!.4) при наличии зависимости (2.279) неизвестные параметры определяет следующая система алгебраических уравнений г )е(г Р! Рг" Р«)7г(!)'гг=0 о Если! = и, то имеет место система алгебраических уравнений; если же 1> и, она может быть решена методом наименьших квадратов. Задача может быть решена методами математического программированн!я алгоритл! имеетвид (2.281) Т !!«.« .-.«)=г, *,И'1«,О.*,«н-- «)*.!О«)! И«'- г=! о о 2 — (К,,(г,т, р!,..., Р,)у,(т)дт7' (г)г1! о ! г = ~~ргч(р„..., р„) — рож (р„...,р„)) = пнп, г=! Р, (2.282) о Для нахождения неизвестных параметров рп рг, ..., Р„можно воспользоваться методами нелинейного программированиж алгоритм имеет вид: ! 7(Р!,Рг,„,,Р„) =) Ег(! Р!,Рг,...;Р„)г(! = ш!и (2.280) !«! о при ограничениях, определяемых содержанием рассматриваемой задачи.
Многие положения, изложенные в 82.7, справедливы и для рассматриваемого случая. Для получения соотношения, определяющего невязку, может быть использована зависимость вида 185 Глава 2. Методы синтеза е лято овв классе одноме ныхсистем где г ! н,*'(Р)= *,И 1х.СК,!о...,Р,!,С )з1лСЧа, !=!5: о о г ! ус~'(р)= ))К (с,с,р>,...,р„)у,(т)сй 7л(с)асс, /с=!,1, оо при ограничениях, диктуемых содержанием конкретной задачи. 2.12.6. МЕТОД МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ Все положения, изложенные в 92.11, справедливы и для рассматриваемого случая; отличие заключается лишь в том, что в алгоритм дополнительно вводится маТричный оператор умножения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
