Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(2.309) О (1+1) 11(и — 1 — ч-1)! Г(л — О+1) Перейдем к нелинейным зависимостям. Для случая, когда Р(х(т)) — кусочно- линейная функция, ее можно представить так: Р(х(т)) = Р;О (т)1(т)+ 1 ~Р„(т)- Р1(т))1(т), (2.310) г=! где т, — моменты переключения кусочно-линейной нелинейности; Р„(т), Р, (т)— аналитические выражения нелинейной характеристики звена до и после момента переключения нелинейности т,; х — число переключений, которое зависит от вида характеристики Р (х) и процесса на входе звена х(т) . Тогда Глава 2.
Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем 197 Рассмотрим вариант, когда Г(х(т)) — аналитическая н представнма рядом (2.303). Запишем нелинейную функцию как функцию времени. Для этого воспользуемся матрицей умножения для полнномиального базиса. Найдем эту матрицу. Пусть х(1) =х(1)!'(1) и х(1) =(С') 0(1), !'(1) =(С ) 0(1). Тогда для х(1) справедливо г(1) =(С") О(1)бз~(1)С~ =(С') ьх(1)СУ, где шс,в геоэ " геок-~ аз не ез13 52(1) = сз1-~л а»1-ы " геыы-~ причем (2.315) со с~ 1 со 9о+с, 9, +...+сьч91, у у» ,е 9, +~91+-.+.,ы9, г 9е 9, ...
91, 91 Эз ... 0 а(1)СУ со9г ~ у 0 ... 0 9,1 Но аналогичный по структуре вектор Е(1) можно получить иначе С,'1 с, 10 се 9е + с, 91 +... + с1, 91, у у у се! 91 + с, 91 +... + с, з 9, 1 1 су с~ о о Оо 91 = А,(!')О(1), се 91 1 Х 0 0 ... с~У Оси следовательно, х(1) =(С') Э(1) =(С') А (!)О(1) и С' = Ат(!)С'. А (!') определяет структуру искомой матрицы умножения для степенного базиса. Теперь можно записать выражения для коэффициентов разлоМений старших сте- пеней функции хЯ: х~(1) = (С") Ау(х)Э(1) =(С' ) 0(1), х'(1) = (С» ) Ау(х)О(1) =(С») Ау(х)Ау(х)0(1) = = (С" ) (А (х)) е1(1) = (С" ) О(1), х (1) (С ) (Ау (х)) О(1) (С ) 0(1) сз =ге =99 =9; О 1=0 ! — 1.
~с ы ! / В (2.315) аргумент опущен для краткости. Учитывая (2.315) и отбрасывая элементы матрицы ьк(1) с индексами, большими чем !-1, имеем 198 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Полученные равенства (2.316) позволяют представить нелинейную функцию в виде г Г(х(т)) = ", '~" у'„с, т' . 2=2 =О Принимая во внимание (2.317) и (2.303), найдем требуемые выражения для Р, '(А Р): (2.317) Р'„(АР) =~Яс„— — ~(Г-т)" '~Г(х(т))Ут= ч у сч (2.318) ! ч=о и п-1 ЬЧ г ( 1)ч „чч2 с„~ ~ Ч~ — -С„' !Уос,'— чте ~=от02=2(и !)! (2+ г) или ы Ри(г, )=Ч~„О„У~(г), ч=о где (2.320) где Рч — компоненты вспомогательного вектоРа; паРаметРы Рч и фУнкции Г„(г) определяются следуюшим образом: о=О,п-1, -а, ч Ь~ -т (2.321) Рч = о = и,п+т, -с„„„ч = п+ т+ !,и+ т+ и+1; ач(Г), зг=О,П-1, ()„„(г), о = п, и+т, у -,— -1((), о=лет+1,п+т+и+1. у Л(г) = (2.322) Анализируя выражение для функционала, записанного в форме (2.320), можно сделать вывод, что рассматриваемая задача сведена к задаче аппроксимации функции х,(г) линейной комбинацией функций д~(г),7~2(г),...,у'„(г), 8 =и+т+и+1.
-12-1 у~(г) =~ ', ~ — С„',!Ос' Таким образом, все аналитические выражения, определяющие невязку (2.296), найдены. Используя полученные выше зависимости для невязки, функционал (2.296) можно записать в виде т ч-1 ~ч ч ,,2 !(Р)=) (х,(г)+ ~ 'а„(Р)о„(г)-'~~~Ь,(Р)Дч(2)+ ~ ~с,(Р)у2 (г)! аб (гу = 2). (2 319) оч ч=о ч=о ' ч=о Функционал (2.319) относительно вспомогательного вектора Р может быть записан так: Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем !99 Такой подход позволяет свести задачу определения неизвестных параметров вспомогательного вектора к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Действительно, учитывая, что а/(Р) — = -2 ~ ~ хз (1 ) - ~ р„,/'„(!) Я (1) пг!, г' = О, /г, дР, о „о требуемую систему алгебраических уравнений запишем в виде зч)Р = К, (2.323) где тчг = (но, г', / = О,/г~ — матрица, элементы которой определяются формулами и й =(хм 1= О,/г~ — вектор столбец правой части: т г, — (/' ,х,) — ) /, (г)х,(!)дгг. о Решая систему (2.323), получим численные значения оптимальных параметров Ра Р! - Рч+и« Пример 2.26. Структурная схема статической нелинейной системы имеет вид представленный на рис. 2.116.
Нелинейный элемент типа «насыщениев находится в цепи местной обратной связи: 0,5 при ха0,5, Е(х) = .т при )х) < 0,5, (2 324) -0,5 при х<0,5. Известны параметры звеньев системы, относящихся к функциональна-необходимым элементам Т, =0,15с, Аз =!Ос '. Требуется определить параметры регулятора: Аз,яз,/44, КОтОрыЕ обеспечивают в системе алериодический переходный процесс — решщию на !(4) при нулевых начальных условиях, причем время переходного процесса должно составлять Тр О 5с, при статической ошибке не превышающей 5%. Прежде всею запишем дифференциальное уравнение, описывающее движения САУ. Это уравнение имеетвид Тх(г)+(1+/гз з)х(г)+/44/гзх(4)+/44И4Р(х(г)) гз/зуЯ+ з' зуЯ или, с учетом известных параметров и нормировки, х(Г) + (6,66+ 66,66/гз) т(Г) + 66,66/гзхЯ + 66,662„Р(х(Г)) = (2 325) = 66.66/гзуЯ+ 66 ббязуЯ. Выберем желаемый переходный процесс.
По условию задачи он должен быть апериодическнм, амплитуда процесса при г -+ рс равна единице Этим условиям удовлетворяет процесс вида /Ь(г) =(1-е ") . Показатель экспоненты п, определим исходя ю зааанного времени перехолного процесса и статической ошибки 1 с-«аз>095 откуда и, >6. Выбираем и, =6. В системе во время переходного процесса будет имев место один момент переключения нелинейности при Ь,(г) = О 5 .Момент переключения найдем из уравнения 1-е Рз =0,5, откуда г, = О 116 с . Следовательно, нелинейная функцив р" (х(г)) для ЬЬ(г) согласно (2 3! О) представима в виде 200 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И р(г) =(1-е )! (г)-(1-е ~)1(г-г,)+0,5(!(г — г!)3 Теперь запишем квадратичнмй функционал 0,5!' )(Р) = ) '(Ь,(т)+~а.а„(т) — ~60„(т)тесу~(т)) г)т, с .=с =е (2 326) где ас(т) =О 999923тз-),498680т~+1,789349т-),750703т~+ +1399029тт -О 878324тт+ О 400624тз -0115882т с+ О 015705т", а, (т) = 2,999769т' -5 994723 т'+ 8 946747 т' -10,504223тз + +9,793208ть — 7,026594т' + 3,6055 180' — 1,!58823тз + 1,7276500'", ))с(т) =0,5тт; б!(т)=т; ут(т)=9,253338 10 -2,557094.10 те+0,250000тз Представим Ь,!г) в полиномиальнай форме: Ь,(г) =5,999539т — !7,984!71т'+35,786988т -52,5211!5т'+ +58 759253тз — 49186158ть+28 844947тт — 1О 4294)Н'+ +1,727650тз.
Далее, решая задачу аппроксимации функции Ь,(т) элементами а„(т), )5„(т) и у~~(т), получим Рнс. 2.116. Струкзурнвя схема нелинейной системы 05 0 0 05 ! !5 Рис.2.117. 3твлониан пх ь,(г) и пхскорректнрованиой сАУ ь (г) lгз = рз = О 606847 lгз = рз = 0,907425 04 = рт = 0 003054. Анализ полученного решения показал, что в данном случае обеспечивается !0%-я грубость по варьируемым параметрам. На рис.
2 117 показаны эталонная переходная характеристика и переходная характеристика скорректированной системы, а на рис 2 ! !8- абсолютная погрешность а(г) =Ь,(г) — Ь (г) Легко заключить, что погрешность не превышает 0,25%. Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 201 0 00245033 .000нтят/ 0 !5 2 05 1 Рне. 2.118. Ошибка приближения эталонного процесса Прммер 2.27. Структурная схема нелинейной САУ приведена на рис.
2 119 Заданы значения параметров системы. Т,. =0,5 с, Т, = 0,165с, /г =0, /гма, = 240 Нелинейный элемента системе реализует квадратичную зависимость г (х) = х'(г) Необходимо определить значения параметров нелинейной системы ао 0,, 0, таким образом, чтобы удовлетворялись следующие требования. ° при скачкообразном внешнем воздействии у(г) =1(/) время переходного процесса в системе должно составлЯть Тр !с, а пеРеРегУлнРование и 5 23%; ° обеспечивалась грубость системы по параметрам не менее десяти процентов Структурная схема системы, представленная на рис 21!9, относится к схемам с нелинейным элемеитоь1 в цепи местной ОС Дифференциальное уравнение системы относительно выходной координаты запишется гак ТТ„'кЯ+(Т еТ„)хЯ+(1+и!3)кЯ+аах(/)+ааз — ( у(хЯ= г/ = 02,у(/)+/г,/г у(/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
