Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3.2 б, и). Р(0 Р Р(0 Р(0 Рис. Зд. Типичные весоественные час~очные характеристики На рис. 3.2 представлены типичные вещественные частотные характеристики. Частота о(, ограничивает так называемый интервал существенных частот. При (о > о(с ординаты функции Р(щ'1 пренебрежимо малы и при расчетах не учитываются. Отбрасываемая часть вещественной частотной характеристики на рис.
3.2 показана пунктиром. Для монотонных функциИ вида (рис. 3.2, и), где на интервале О <(о < о(, = го„, г7Р Р((о) > О, — с О, имеет место следующий результат: а% = 0%, т.е. переходная ха- с(со 15' Методы синтеза САУ по заданным показателям качества, Часть П 212 (3.27) (3.28) ши Интеграл 'г гйп(и) и называется интегральным синусом, который имеет следующее свойство (40]: г гйп(и) и 81(сс) = ] ли = —. с Из выражений (3.27), (3.29) видно, что Ь(то) = 81(сэ) = Рд, что было получено ранее (см. свойство 1). С учетом обозначения (3.29) и соотношения (3.30) формула (3.28) примет вид; ~т(т) Ра81(впг) 2 Если обозначить в„г = т и принять Рс =1, в„=1, то получим следующую фор- (3.29) (3,30) мулу: (т) - 2 о~ — ~ = 6(т) = — Я(т), вп я (3.31) где назовем 7т(т) нормированной переходной характеристикой или 7т<функпией, при этом график й(т) имеет следующий вид (см.
рис. 3.3). Для данной вещественной частотной характеристики ( Рс =1, в„=1) Ь-функция имеет следующие показатели: ото<18%, г„„<4я (это будет показано ниже). В.В. Солодовников [130] ввел более общий вид базовых вещественных частотных характеристик — единичную трапецеидальную вещественную характеристику Р(в) (рис, 3.4). рактеристика монотонна. Для характеристики общего вида (рис. 3.2, а) оценка времени переходного процесса может быть получена только снизу: >— пп вп а перерегулирование может быть приближенно оценено по формуле (160]: 1,18Р +0,277Р ы Р(0) Р(0) причем для Р,„,„= О, Р,„= Р(0) имеем оценку (3.25б).
Чтобы пояснить свойство 7, рассмотрим следующую идеализированную вещественную частотную характеристику: Рв 0<в<в„, Р(в) = О, в>в„. В этом случае переходная характеристика принимает вид: Ь(г) ] мивгйв Р ] Йо 2 Р(в) . 2 "гйпвг кс в я в Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти ющих ст ойств 213 л( с) 12 08 08 04 02 00 10, 4„15,=, го пп Рис.
З.4. Единичная траиеиеидальнаа аешестиеиная характеристика Здесь параметр только один О<Х<1 называемый коэффициентом наклона (выше была рассмотрена единичная трапеция с Х = 1). Имеем: Π— дх — еэа Х (3.32) 1,05 1 0,95 (Рп 0«1, Рис.З.З.Графика-функииидля Рп=1, Р(ех)=е, '(0, >1 1- вх (),Х Х О, со'> 1. Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти ющих с ойств 2! 5 3.4. СВЯЗЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ С ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РАЗОМКНУТОЙ При синтезе корректирующих устройств частотным методом используются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, поэтому важно найти соотношения, связывающие показатели качества (в частности, перерегулированне, время переходного процесса) замкнутой системы с логарифмическими амплитудно- частотными и фазочастотными характеристиками (ЛАЧХ, ЛФЧХ), частотой среза разомкнутой системы.
Пусть И'(з), Ф(з) — передаточные функции соответственно разомкнутой и замкнутой систем, причем Ф(з) = 1+ И'(з) (3.35) Пусть И'(/со) = (7(а) + 7)с(а) = 2(оз)езвС З, Ф(/а) = Р(со) + Я(со) = А(а)е'ос~с = , СчЗ И'(/а) 1+ И'(/со) (3.36) (3.37) Из (3.35) -(337) получим; 2(а) соз 0(со) + 72(а) Ип 6(а) (3.38) 1+ 2(а) соз 6(со) + /2(а) Ип 9(оз) Из выражения (3.38) найдем: а) вещественная частотная характеристика замкнутой системы: 2' (со) + 2(оз) соя 9(оз) 2~ (оз) + 22(со) сов 0(а) + 1 б) мнимая частотная характеристика замкнутой системы; 2(со) Ип 6(со) (3.40) г. ~ (со) + 2 г. (со) соя 0(со) + 1 Геометрическое место точек Р(а) = сопя! = Р, согласно (3.39) определяет уравнение 2 ~ (а) + 2(а) соз 0(а) 2з (а) + 22(а) соз 0(со) + 1 (3.39) где т — нормированное время, т.е. время для а„= 1. Как следует из формулы (3.27), величина перерегулирования тем больше, чем больше максимальная ордината Р .
В случае, когда система находится на колебательной границе устойчивости, величина Р,„=со и вещественная характеристика при а = ао (см. свойство 5) терпит разрыв. Из соотношений (3.26), (3.27) следует, что при использовании для оценки качества системы автоматического регулирования вещественной частотной характеристикой Р(а) быстродействие системы характеризуется интервалом положительности а„, а запас устойчивости — максимальной ординатой Р,„. Для увеличения быстродействия следует увеличивать интервал положительности а„, а для увеличения запаса устойчивости — уменьшать максимальную ординату Р,„. Эти качественные выводы широко используются при синтезе корректирующих устройств частотным методом, о котором речь пойдет ниже.
216 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 или 2(ю)соз6(а)(1-2Р,) = Х'(ю)(Р, — 1)»- Р, . (3.41) Аналогично для мнимой части: д(оз)з!п6(оз)-2Дес(со)соз9(аз) = Д, +Дс~(со) . (3.42) В соответствии с выражениями (3.41), (3.42) можно построить номограммы: (3.41) — для определения Р(ю), (3.42) — для определения Д(оз) по амплитудно-частотной 2(ю) и фазочастотной 9(аз) характеристикам разомкнутой, причем по оси абсцисс— фаза 6(оз) в градусах, по оси ординат — амплитуда 2(ю) в децибелах (номограмма приведена во многих учебниках и справочниках, в частности, см.
[116!). На рис. 3.6 представлен фрагмент данной номограммы. Цдй 30 20 10 -10 -20 0 (град) -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Рнс. Эзй Номограмма дла определенна Р(м) замкггутой системы ио ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Цифры при крнаых онределнют Р, В формуле (3.41) с(оз) =10оозы"), 6(ю) = 20!8д(аз) . Ось абсцисс данной номограммы охватывает значения 9 от 0 до — 360', ось ординат охватывает значения от — 28 дБ до о28 дБ. При Е > 28 дБ Р = 1 и при Ь < — 28 дБ Р = 0; при Р, = 0,5 имеем 2,(ю) = 0 для любых частот ю и любого угла 9(ю). Чтобы выяснить связь показателей качества замкнутой системы с частотными характеристиками разомкнутой, рассмотрим вещественную частотную характеристику, аппроксимируемую двумя трапециями.
Для удобства представим ее в масштабированном виде (рис. 3.7), где индекс 1 определяет первый вариант трапеции. Р(й) ха- рактеризуется тремя параметрами: основным коэффициентом наклона у = —, коэфюд азп фициентом формы ) = — и дополнительным коэффициентом наклона )(а = — . Из юь юе ага юь характера данной трапеции видно, что система с такой вещественной характеристикой имеет астатизм первого порядка Ро = 1, кроме того, мы далее предполагаем (как было сказано выше), что она является еще минимвльно-фазовой. Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 217 Рассмотрим второй вариант трапеции Рз(61), который отличается от.
Р((й) тем, что интервал положительности Р(го) определяется частотой среза 61,~, причем, как 1 было показано выше, Р(со )= —. Для масштабированной трапеции: Рз((о) введем ср еше один параметр (относительную частоту среза) Х,: Оуср Х,=— о)п (3.43) где частота среза о), определяется следуюшим выражением: 1 о!с =Хсо)п, Р(Х,) =-.
Рс = ! Рмс.3.7. Вещественная (нормированпаа) частотная характеристика, апп рокснмп руемая двумя трапепинми Масштабированная трапеция Рз(со) имеет следуюший вид (рис. 3.8). Из геометрических построений (рис. 3.8) получим; (Р -0,5)(1-Х) =Х+ ) мсх о'а госр — 1 соп соп Рис. 3.8. Вешественнаа (нормированная) аппроксимировапная частотная характеристика Р,(й) 14 Зак 366 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 218 Данный вид трапеции позволяет определить погрешность, вносимую заменой гоп + госр И, наконец, введем еше один вид трапеции Рз(щ), который учитывает реальный вид вещественных частотных характеристик. Для большого количества минимально- фазовых объектов вещественная частотная характеристика имеет следующий вид (рис. 3.9), где щс — полоса существенных частот.
Рта Рис. ЗЗХ Типовая вещественная частотная характеристика Из данного графика следует, что в реальных условиях необходимо учитывать и отрицательную часть вещественной частотной характеристики. Мы рассмотрим следующую трапецию Рз(й) (рис. 3.!О), где р >1 — коэффициент, определяющий интервал существенных частот сос, гос = 11го,р . Рпп 1 Рва Рис.
3.10. Аппроксинапип типовой вещесгвенной характеристики Проведем сравнение переходных характеристик для 3-х масштабированных вещественных аппроксимированных частотных характеристик: Р1(й), ..., Рз(й) . На рис. 3.11 представлены графики 6(т) для следующих параметров: Х =)(= 0,8, ;(, =1, у, =0,9091, ()=2, Р =1,1. 219 Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших ст ойств А(т) 12 08 06 02 Озее 0 2 4 6 8 10 Рис. 3.11. Переходные характеристики дла 3-х видов вещественных частотных характеристик Расширим полосу сушественных частот, сделав 13 = 4, при сохранении остальных параметров неизменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
