Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Легко находим, что для системы с единичной отрицательной обратной связью справедливы соотношения (об этом уже говорилось выше, см. 93.4): !И,(/а„.„,)1=1, А(и„.„„) =О, (3.60) Ро(тс, .„,) =0,5. (3.6!) Подставив (3.61) в (3.57), получим следуюшее трансцендентное уравнение Тпт1псосг опт +соз1Тпппсося опт) 2соз~ '" сосо опт + ! = 0 из которого находим 226 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П ЛАЧХ не сложно, поэтому метод синтеза САР, использующий ЛАЧХ, широко применяется в инженерной практике. Рассмотрим один из подходов синтеза последовательных корректирующих устройств (ПКУ), использующий желаемые ЛАЧХ, разработанный В.В. Солодовниковым для следящих систем с астатизмом 1-го порядка (17, 116, 130). Сущносгь этого метода заключается в следующем.
Сначала строят асимптотическую ЛАЧХ Е„(а) неизменяемой (основной) части системы. Затем составляют желаемую ЛАЧХ Е,(сэ) разомкнутой системы. Разность Е,(гс)- Е„(со) = Е (а) определяет ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства (ПКУ). Построение желаемой ЛАЧХ Е„(еэ) осуществляют, исходя из графиков и соотношений, полученных нами ранее (см.
Я3.2 — 3.5, и требований, предьявляемых к синтезируемой системе. Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части; низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Низкочастотная часть определяет статическую точность системы — точность в установившемся режиме. Среднечастотная часть является наиболее важной, т.к. определяет устойчивость, запас устойчивости по фазе и амплитуде и, следовательно, качество переходных процессов, о чем мы подробно говорили выше. Основные параметры среднечастотной асимптоты — это ее наклон и частота среза ыч.
Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон— 20дБ/дек. Частота среза гач определяет быстродействие системы. Чем больше сзч, тем выше быстродействие, тем меньше время переходного процесса г„„. Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы (см.
З3.5, варьирование частоты еэ, = 1)а,р). Вообще говоря, лучше иметь возможно больший наклон ее асимптот, что уменьшает требуемую мощность исполнительного органа и влияние высокочастотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание (что будет использовано в примере, см. ниже). Построение желаемой асимптотической ЛАЧХ по В.В. Солодовникову (17, 130) (для следящих систем с астатизмом 1-го порядка). Предположим, что низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ Е,(ез) совпадает с ЛАЧХ Е„(гя) и имеет наклон — 20 дБ/дек (т.е, неизменяемая часть имеет астатизм 1-го порядка) и необходимый статический коэффициент усиления К; в этом случае может быть реализовано пассивное ПКУ с К <1; в противном случае ПКУ должно включать усилитель.
Исходными данными при синтезе ПКУ могут быть следующие требования. По заданной передаточной функции й'„(з) неизменяемой части разомкнутой системы требуется выбрать ПКУ, обеспечивающее получение следующих характеристик качества замкнутой системы в переходном и установившемся режимах: 1) система должна обладать астатизмом 1-го порядка; 2) коэффициенты ошибок по скорости С, и ускорению Сз не должны превы- шать С,, С,; 3) длительность переходного процесса г„„не должна превышать заданного зна- чения г„„; 227 Глава 3.
Частотный метод синтеза ко екти ющих с ойств Рис. 3.19. ЛАЧХ разамкиугов си с гамы Если среднечастотная ЛАЧХ достаточно велика, тогда для низкис частот можно записать следующую передаточную функцию разомкнутой системы: (3.65) з(Тз и 1) 1 1 причем О11 = —, О22 = —. Коэффициенты ошибок для замкнутой системы имеют вид: Т т СО=О, С, =-, С,= — — —. 1 Т вЂ” т 1 (3.66) О ' 1 К' 2 К .2' 1 Если К достаточно велико, то членом — можно пренебречь. Тогда из соотно- к ° 2 щения (3.66) получим: К> —,,(С, <С,'), 1 с, (3.67) С, <(Т-т)С,,(С, <С,), С2 1 ! =< — —— ГО1 ГО 2 При ги! «га2 частоту О11 можно найти по следующей приближенной формуле: (3.68) с, 01 1 С2 (3.691 4) перерегулирование а% в системе также должно быть ограничено некоторой величиной а*%; 5) максимальное ускорение в системе (для инерционных механических объектов) не должно превышать гг при начальном рассогласовании яа.
Построение желаемой ЛАЧХ Е„(аг), отвечающей 4-м из 5 вышеуказанных требований по правилам связи между ЛЧХ разомкнутой системы, вещественной частотной характеристикой замкнутой системы и показателями качеств замкнутой, мы уже можем осуществить на основании проведенного выше анализа. Единственным не охваченным пунктом остается пункт 2, т.е.
обеспечение заданной точности в установившемся режиме. Здесь необходимо найти частоту сопряжения Оз, низкочастотной асимптоты. Рассмотрим один из вариантов решения этой задачи. Пусть для определенности низкочастотная и среднечастотные части желаемой ЛАЧХ разомкнутой астатической системы имеют вид (рис. 3.19). Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 228 Теперь рассмотрим алгоритм построения желаемой ЛАЧХ Б (оз) . 1. Выбирают частоту среза еос, обеспечиваюшую получение требуемых динамических характеристик. Она должна удовлетворять неравенству еоср(~пп) — еоср — госр ппс(спмпп) ' (3,70) Здесь ео, (е„п) — значение частоты среза, при которой время переходного процесса не превышает заданного значения г„п, Значение ео, (е„п) определяют из графиков рис.
3.!5: по заданному значению а % определяют Р„, а затем по Р находят (ео,„Г„„), после чего определяют оз, (г„п) (ео срепп ) еоср(епп) = 1пп (3. 71) где (го, гоп) — значение ео, г,п, полученное для найденного Р,„„, Правая часть неравенства (3.70) — это максимально допустимое значение частоты среза при заданных значениях максимального ускорения сп,„регулируемой координаты и начального рассогласования ло (напомним, что рассматриваются следящие системы). еоср ппс(жмпп) находится из формулы (З.б4). Если окажется, что еоср „(сп ) < еоср(г„п), то нужно выбирать оз, < оз,о,„,(ж,„ж), конечно, заданное время переходного процесса в этом случае не сов будет получено, но максимальное ускорение и не превысит сп,„. Выбранное значение ео, наносят на график (рис.
3.20). 2. Строят среднечастотную асимптоту. Ее проводят через точку еоср с наклоном — 20дБ/дек. Меньший наклон трудно осушествить, а при большем наклоне трудно обеспечить требуемый запас устойчивости (рис. 3.20). Рпе. З.ЗВ. Построеппе желаемой ЛАЧХ 3. Среднечастотную асимптоту сопрягают с низкочастотной. По графикам (рис. 3.17), используя найденное значение Р,„, определяют необходимые запасы устойчивости по амплитуде с) и фазе у, чтобы обеспечить требуемые динамические характеристики.
Определяют частоты еоз: Ь„(озз) = с); еоз: Б (еоз) = — с). Через точку ( Б (еоз), озз ) проводят асимптоту с наклоном — 40дБ/дек или -60дБ/дек до пересе- Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 229 чения с низкочастотной асимптотой в точке ( Б„(а )), а, ). Если в точке ( Б„(а, ), а, ) имеем — „< а,, то условия пункта 2 по точности в установившемся режиме будут с! Сз выполнены.
4. Среднечастотную асимптоту сопрягают с высокочастотной частью ЛАЧХ Е„(а) неизменяемой части системы. Сопряжение осушествляют через точку ( Б (аз), аз) прямыми с наклонами -40дБгдек, -60дБ/дек, -80дБ/дек, так, чтобы высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ мало отличалась от высокочастотной асимптоты ьн(а). 5, Проводят проверку правильности выбора среднечастотной асимптоты, частот сопряжения и аснмптот сопряжения Б (а), что должно обеспечить выполнение требований по переходному процессу. Это условие определяется требованием, чтобы кривая Е„(9 (а)) не заходила в прямоугольник со сторонами 2у и 29 (см. рнс. 3.16), что будет выполнено, если избыток фазы р(а) будет больше у в диапазоне зУа: Б (соз) ч й Б ((о) > и Б (соз) р(а) > у Если при выбранном сопряжении избыток фазы р(аз) < у, р(а,) < у, то сопря- женную частоту аз смешают влево, аз вправо или уменьшают наклоны асимптот сопряжения.
При больших запасах р(го)изменения проводят в противоположнол! направлении. Замечание. При сопряжении следует стремиться к тому, чтобы Е„(а) возможно меньше отличалась от Ь„(а). Чем меньше различие между формой этих ЛАЧХ, тем проще необходимое корректируюшее устройство. После построения 2, (а) находят ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства ь у(а)= Б (а) — 2„(а) Если ПКУ получилось пассивным, то для многих характеристик ).„(а) сушествуют готовые схемы (Л, С вЂ” четырехполюсники), которые можно использовать для практических реализаций синтезируемого ПКУ (см. (116, 130)).
Рассмотрим пример. Пример 3.!. Передаточная функция неизменяемой части позиционной системы автоматического регулирования с механическим инерционным объектом имеет вид и;,()= л(0, !з ь !)(0,003з ь !) Требуется выбрать ПКУ, обеспечивающее попученне следующих показателей качества замкнутой системы !) система должна обладать аствтизмом 1-го порядка (сь — — 0 ), 2) коэффициенты ошибок по скорости и ускорению не должны превышат~ С, = О 004 с, С, = О 02с-. 3) длительность переходного процесса г„„< г„„= 0,4 с. 4) перерегуяирование оы < о аяч = 25М .
5) ьгвксимачьное ускорение регулируемой величины должно составлять 250 раис- при нвчальноч рвссогласовании яв = 0,(5 рад Решение Рассмотрим исходную систему Передаточнач функция замкнутой системы прн отсутствии ПКУ ( И'„,(з) = ! ) имеет вид )У„(з) 300 ! ч- И'„(з) 0,00034' ч- О,!Озз' е з + 300 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть!1 230 полюса замкггутой системы з, =-342,13; з„=-о,бз354,06 из чего можно заключить, что исходная система имеет высокую колебательность. На рнс 3 21 — 3 23 показаны ее временные н частотные ха. рактсрнстнкн. Заметим, что вещественная частотная характеристика Р„(ы) (рнс 3 22) имеет скачок на частоте ыр = 54,06 с ' Перерегучнроаанне составляет о% = 95,2% . время переходного процесса г„„= 4 89 с, что значнгельно превышает требуемые показатели Поэтому требуется синтезировать ПКУ Стропы аснмптотнческую ЛАЧХ неизменяемой части Е„(ы) (рнс 3 24) 2" Ь„(г) 18 12 08 Об 04 02 г,с 0 1 2 3 4 5 б Рнс. 3 21. Переходной процесс для нескорреатнровапнойснетемы: г„, = 4 89с, о%= 95 2% Ран) 20 15 10 -10 -15 -20 -25 -30 20 40 50 Рнс.
3.22. Вещественная частотная характервствка Р„(ы) неекорректнрованной системы Построим желаемую аснмптотнческую ЛАЧХ Прежде всего найдем частоту среза м, Из графиков (рнс. 3.15) имеем: для а %=25% получим Р =1,18, что соответсщенно дает (м,рг„„) =1О. Откуда дяя г„„=0,4с находим Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 231 Получена левая граница возможных значений м,р Правая граница определяется из вырюхения (3 63) м (и )=~ — '" = ~ — =40,82с )~0)5 Ме 50 го' го' го' ол,ргл .гоо -200 -250 го' Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
