Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(4.23) Одноиерньт стационарный обьекм .можно застабилизировать с помощью введения о<лрицательной обратной связи по производиыл< до (п — 1) порядка. Аналогично, для много.иерного стационарного обьекта введение обратной связи по состоянию и соответствующий выбор матрицы К может обеспечить любое заранее заданное расположение собственных значений матрицы (А — ВК] на комп<екслой пчоскости.
Глава 4. Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем 245 Практический интерес представляют такие характеристические многочлены, корни которых расположены слева от мнимой осн. В этом случае замкнутая система является асимптотически устойчивой. Таким образом, сказанное кратко формулируется так: если задан вещественный характеристический многочлен А(Х) = )." ьс„,)ч-' -~.5. ~-сс, г4.24) то с помощью выбора линейной обратной связи г)(г) = -КХ(г), где К вЂ” действительная постоянная матрица размером т хи, можно обеспечить равенство характеристического многочлена А — ВК с многочленом (4.24).
Необходимым и достаточны и условием разрешимости пробсемы разлгещения собственных значений с помощью линейной обратной связи является выполнение условия гап)с[В АВ А В...А" 'В[ =я. (4.25) Поскольку с помощью выбора матрицы К можно обеспечивать любое наперед заданное размещение собственных значений. то отсюда легко сделать вывод: указанной процедурой можно обеспе <ить не только устойчивость, но и качество свободных колебаний системы. Однако здесь необходимо учесть появление ряда нежелательных факторов, таких как возможность появления большого уровня управляющих воздействий; могут также иметь место большие «забросы» значений некоторых переменных при большом смешении собственных значений в левую полуплоскость [9). Уравнение стабилизированного объекта можно принять слелующим Х(г) = [А — ВК)Х(г) + ))(г) .
Структурная схема объекта показана на рис. 4.9. (4.2б) Рггс. 4Л. Структурияя схслга стябиянзироваииого ьбъскгс Можно вводить и другие обратные связи. Однако во всех случаях необходимо помнить о том, что для замыкания обратной связи необходимо знать вектор состояния Х(г). Последний же оценивается с помощью наблюдающих устройств. В связи с этим реализация рассматриваемого принципа тесно связана с задачей получения приемлемой оценки вектора состояния. Существует направление в теории автоматического управления, изучающее вопроси посгпроения наблюдающих устройств. В этом направлении рассматриваются критерии идентнфицируемости, асимптотическне наблюдающие устройства, идентификаторы Люенбергера и др.
Приведем лишь некоторые сведения об асимптотических идентификаторах состояния. Асимптотическое наблюдающее устройство определяется векторно-матричным дифференциальным уравнением Х(г) =АХ(г)-~В$3(с)+).(Х,(з) — СХ,(с)), Х,(0) =Хь, с4Т7Ъ Входными воздействиями здесь являются измеряемый выход Х,(г) =СХ(с) и вход с)(г). 246 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Если матрицы А и С невырождены, то матрица Ь может быть выбрана так, т т что будет выполняться условие при любой ограниченной начальной ошибке. В векторно-матричном уравнении (4.27) появление последнего слагаемого 1.(Х, (1) — СХ, (1)) связано с обеспечением работоспособности идентификатора при неизвестном начальном состоянии Х Идентификатор может быть реализуем на интеграторах и усилительных элементах.
Полезен н следуюший факт (93): если оценка вектора состояния Х(1) находится как решение уравнения (4.27) и объект Х(1) = АХ(1) + В1)(г); Х(1) = СХ(1); Х(О) = Х замкнут обратной связью Ю(1) = -КХ(г), то прн выполнении условий ь1В ьВ...А" В)= ь(с ь с .. 1ь ) с возможен выбор матриц К и $. таких, что замкнутая система будет устойчивой. Структурная схема стабилизированного объекта имеет вид, представленный на рис.
4.10. Рис. 4.10. Структурная схема стабилизированного объекта Прнмер 4.2. Стабилизация объекта управления (761 Пусть многомерный объект описывается уравне. пнем вила Х= Ахь Взl, где -0,0297 0 1,0 0,0438 0 -1,2155 -0,7923 0,1306 0 0 А= 0,4304 0,021 -0,0152 0 0 0 1,0 0 0 0 О 0 1,0 0 0 0 0 -0,0402 1,5671 0,3807 -0,0671 0 0 0 0 Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид А(Л) Л ьС4> ьСзЛ чСз~ ьС~Лч Со Корни характеристического уравнения Л, = -0,95, Лз — — 0,59, зз = — 0,45, Л4 — †-0,06, Лз = 0 Из анализа корней очевидно, что объект неустойчив и его необходимо стабилизировать Построим линейную обратную связь по состоянию 17 = — КХ, такую, чтобы имел место слслуюгций характеристический многочлен (некоторый гурвицев полипом стандартною вила) Глава 4.
Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем 247 6(Л) = Л +2,8Л +5,0Л +5.5Л +3 4Л+1 (4 28) Корни последнего полинома представляют желаемый спектр Ь замкнутой системы Ь =[-0,895, — 0,376+21,292, -0,576Я)0,534) Матрица К выбирается из следующего условия она должна иметь минимальную первую норму 2 ]К(1, = ш(п ,'«(Ус„( (4 29) Пользуясь алгоритмом, изложенным в [761, получим следующую матрицу К= -(. 5,864 -0,536 2,23 0,098 0,0 ) (4 30) 6,817 0,806 2,79 1,019 -5,78) С помощью введения обратной связи по состоянию корни характеристическою уравнения перемещаются следую!цим образом )ч = — 095-+ Л! = -0895, Лз =059-+ Ля = — 0376+)1209, Л! = 0 45 «) э= 0376 71209 Лч = 0 006 +Л[= 0576«)0 534 Х,'(л) Х2 (л) И!! (4) [[!2 (л) " И!л (л) Из! (л) И22 (л) " И2л (л) () из (5) (4,32) ип (.) Х„' (л) Ил!(л) Ил2(л) "' Илл(л) Рассмотрим 1-й выход объекта Х; ( л) = И'и ( з) и, ( л) + ...
И',„( л) и„( л) . (4.33) В многомерных объектах 1-й выход определяется 1-м входом (основным входом), и, кроме этого, на 1-й выход оказывают возмущающее воздействие 2-й, ..., и, наконец, н-й вход. Независимость выходных переменных от других входов, кроме соответствующих входных воздействий, т.е. и, (г) -«х, (!), ! =1,и означает, что передаточные функции перекрестных каналов должны обращаться в нуль.
Таким образом, необходимым и достаточным условием автаноинасти (независимости каналов) являегнся диаганальнасть передаточной матриг(ы обьекта, т.е. должна иметь место зависимость [113] Х!'(л) Х,'(л) о и,(.) о и,( ) И'и (л) О О И22 (л) (434) Х„(.) О О ... Или(.) и„(.) В реальных же системах перекрестные связи отличны от нуля и, следовательно, качество работы каждого канала зависит как от свойств собственно канала, так и от характера перекрестных связей. Лг = 0,0-+ Л! — — — 0,576-70,534 Матрица стабилизированной системы будет иметь вид А=А-ВК (4 31) Матрицы А, В, К- известны В [761 показано, что матрица -(. —:— — 48,35 7,089 4,1 4,67 54,294 К= 3,221 -0,828 -0,014 0,328 5,273) также решает задачу стабилизации, ио последняя матрица имеет большее значение нормы (4 29), чем матриаз (4 30) Далее положим, что объект управления является асимптотически устойчивым. Изложим некоторые положения, касающиеся развязки'каналов.
Связь между входом и выходом в объекте задана формулой 248 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П В связи с этим при постановке задачи синтеза регуляторов в многомерных системах предъявляются требования не только к процессам в каждом основном канале, но и требования, регламентирующие взаимные влияния каналов.
На практике применяются несколько путей «развязки» каналов. Один из них — создание специапьныт устройств (компенсоторов), кон!орые вкягочаются на входе лгноголгерного объекта. Передаточные функции компенсаторов (устройств динамической развязки каналов) выбираются таким образом, чтобы получить или строго диагональные передаточные матрицы, или матрицы с доминирующей в том или ином смысле диагональю.
Матрица с доминирующей диагональю позволяет ослабить взаимодействие между контурами регулирования. Условие диагональной доминантности ма кно записать так [1, 76, 113]: )Игп(!))> ~ ~(И'н(з)(; 1=1,т, (4.35) или (Ип(з))> Ч ~(Ил(з)(; г'=1,т (4.36) г=г, гп~ для всех х е О. Например, если ! =1, то условием диагональной доминантности является нера- венство (И и(з)) >(И „(з)[+[И „( ))+...(И;ы( )), (Иги ( )( > (Игм ( )(+ (Игм ( )) +... (И „, (з)/ . (4.37) или (4.38) Матрицы, удовлетворягоигие условиям (4.36) и (4.37), называются диагоггазьнодоминантны,ии лгатрщгами [1, 76]. Степень связности в многомерных объектах может быть охарактеризована и другими способами. Одним из таких способов является использование матрицы Бристоля [113].
Эта матрица определяет степень связности в статике и имеет вид )'г! )'г2 '' )'гп 82! 822 " Хгп (4.39) )"и! ~п2 " )ппь где (дх,ггди, ) все контуры разомкнуты л.«в (дх,~ди,) ьсе контуры замкнуты, кроме и,, г, г = 1,и Здесь ) ч определяется как отношения производных: числитель — производная установившегося значения выхода х, разомкнутой системы по управлению и,; знаменатель — производная установившегося значения выхода х, замкнутой системы по тому же управлению и . Если взаимное влияние каналов отсутствует, то как матричная передаточная функция разомкнутой системы, так и матричная передаточная функция замкнутой системы, связывающей вход Х(г) и выход Х,(г) системы, будут диагональными.
Этот факт чрезвычайно важен с той точки зрения, что калсдый канал мозюет корректироваться независимо от других каналов и, таким образом, могут быть использованы методы синтеза корректирую!них устройопв одномерных систем. 249 Глава 4. Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем Рассмотрим систему, показанную на рис.
4.11. Для нее можно записать следующие равенства [113]: 6(1) = У(1) — Х,(Г); Е(з) =%,„(у) Е(з); С(у) =%,(у)Х(у); Х,(у) =%,(у)$1(з). Рис.4.11. Структуриаа схема системы Отсюда следует (4.41) й'й( ) %2( ) ". 1Р'ь(з) ~~22 (З) ~22 (У) "' й2о (У) %,( )= (4.45) 1Р„',( ) йу„'2( ) ... и'„'„(з) Передаточная функция регулятора является диагональной матрицей й',",У (з) 0 ... 0 О 622У(Я) '' О % (з) = (4,46) 0 0 ... й'„"„У (з) 1В Звк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
