Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При синтезе важную роль играет информация о векторе состояния объекта. Вначале будут рассмотрены алгоритмы модального управления с полностью измеряемым вектором состояния, а затем выявлены особенности, которые вносит наблюдатель при неполных измерениях. Нельзя не отметить и различия в алгоритмах синтеза скалярного и векторного управлений, о которых будет сказано ниже. Рассмотрим формальную постановку задачи модальиого управления при полноснгью измеряемом векгпоре соспгояния.
Пусть С, =(), ...,к,), з < гг — произвольный набор комплексных чисел, в котором каждое комплексное число представлено вместе со своим сопряженным. Пусть Лд —— ()ч,...,).„3.,„,,...,) н) спектр матрицы А линейной системы управления. Х(г) = АХ(г) + Ву(г), Х е )(", у в )("' (5. 1) Пусть Л = (С„) „,,,)з,) = ()ч,...к„).„,,...,Лв) — некоторый желаемый спектр, сформированный из набора гг, и (и-в) корней матрицы А. Назовем систему (5.1) .ио- далина управля«иой по отношению к желаемому спектру Л, если существует матрица коэффициентов обратной связи К Ъ'(г) = КХ(г) размерности тяп, такая, что матрица (А+ ВК) замкнутой системы Х(г ) = (А + В К) Х(г) (5.3) имеет спектр Л .
Очевидно, что если з < п, т.е. когда необходимо перевести только часть корней, оставляя остальные на месте, не требуется, чтобы объект (5.1) обладал свойством полной управляемости. Достаточно, чтобы он был модально управляем, т.е, допускал бы закон управления т'(г) = КХ(г), изменяющий заданные моды объекта (5.1). Если в = п и система (5.!) модально управляема по отношению к любому спектру Л, то она называется полностью модальноуправляемой 261 Глава 5.
Модальное уп авление 5.2. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗМЕРЯЕМОМ ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ. УПРАВЛЕНИЕ ВСЕМИ МОДАМИ 5.2.1. СКАЛЯРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ( т = 1) Рассмотрим сначала случай скалярного управления, т.е. В = Ь, где Ь вЂ” п-мерный вектор-столбец. Для решения поставленной задачи модального управления (всеми модами) необходимо перейти от исходного описания объекта управления Х(т) = АХ(!) + Ьу(т) к преобразованной системе (новому базису) Х(г) = АХ(г)+ Ьу(г), причем матрица А является солроеоэсдающей малгриней [9, 71] характеристического полинома гр„(3.) матрицы А, т.е. если гр (Х) = )ь +и ~Х +...+и;) ! оо, (5.6) (5.5) то 0 ! 0 ...
0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 цо ц| цз ... цп А= При этом Ь = [О 0 ... !]~ . Представление исходной системы в виде (5.5) называется каноническим представлением. Связь между описаниями (5.4) и (5.5) в случае полной управляемости объекта (5.4) определяется матрицей перехода 5 Х =ИХ, где матрица 5 определяется из следуюшего соотношения [9, 73] Б=[Ь,АЬ,...,А" 'Ь][Ь,АЬ,...,А" !Ь] ! =М М ', (5.8) где М, Му — соответственно матрицы управляемости в новом и старом базисах. Напомним, что по условию полной управляемости дет М м О. Рассмотрим пример, Пример 5.1.
Пусть матрицы А н Ь обьевта управления (5 4) имеют внл А=[ 1, Ь=~ ~ Ранг матрицы управляемости Ясно, что полная модальная управляемость и управляемость системы (5.1) тесно связаны друг с другом, о чем свидетельствуют алгоритмы, которые будут рассмотре'ны ниже. И, более того, эти два понятия эквивалентны, о чем говорит следуюшая теорема [9]. Теорема 5.1. Пара матриц (А, В) управляема тогда и только тогда, когда она полностью модально управляема. Данная теорема говорит о том, что при полной управляемости можно получить любой наперед заданный желаемый спектр замкнутой системы, и наоборот, если можно выбором матрицы обратной связи К обеспечить любой желаемый спектр, то система (5.1) полностью управляема.
Рассмотрим отдельные алгоритмы модального управления. 263 Глава 5. Модальное п авление Теперь необходимо найти связь между коэффициентами регулятора К в преобразованном базисе с коэффициентами К исходного. Используя соотношения (5.4), (5.5),(5.7) иучитывая,что А=Я 'Аб, Ь=Я 'Ь, получим Х(!) =(АоЬК~Я)Х(!) =(А+ЬК )Х(!), откуда К = К~Я. (5.15) Итак, процедура сишпеза медального регулятора в случае полностью управляемой системы со скалярным входом у(!) следуюшая: 1) вычисляем матрицу перехода Я, связываюшую исходную систему (5.4) с ее каноническим представлением (5.5) (формула (5.8))1 2) находим коэффициенты модального регулятора К в преобразованном базисе -т (формула (5.11)); 3) определяем коэффициенты обратной связи К для исходной системы (формула (5.15)).
Приьгер 5.2. Пусть уравнение состояния объекта управлеяня 2-го порядка со скалярным управлением имеет вил Х(г) =[ (Х(г)+[ (у(г) Необходимо синтезировать для заданной системы ьюдальный регулятор, который бы обеспечивал замкнутой системе «келаемый спектр А =(-3,-1) Решение: 1 Проверяем управляемость системы А=[ (,Ь=Ц= М, =( гапй М = 2 = л, следовательно исходная система полностью управляема и для нее можно синтезировать требуемый регулятор 2 Характеристический полипом матрицы А га„(Л) = бе!(А — Л1) = «.' -9Л -10 = Л' + а Л ь ое, «, =10, «.з — — — 1 3 Сопровождаюгцая матрица полинома оя (Л) при этом ь=Ц~м,=[ 4 Находим матрицу преобразования Б согласно формуле (5 8) 1 2 35 35 Н Н 35 35 5 Определяем желаемый характеристический полинам га 1«) =(Л вЂ” «,)(Л вЂ” Лт)=(хез)(Л+1) =Л +4Л+З=Ля+ п,Л+ав 6 Вычисляем коэффициенты регуляторадля преобразованнойсистемы К ='(К, КзД К =и -и =-10-3=-13, 6 0— К, = а, — и, = -9- 4 = -13 7 Находим коэффициенты модаяьного регулятора в исходном базисе Глава 5.
Модельное п авление 265 КЬ, =О,К АЬ, =О,КА Ь, =О,...,-КА" Ь, =е„ К,Ь, =О, К,АЬз =О, К,А'Ь, =О,...,-К,А" Ь, =ез, К|Ьз =0 К|АЬз =0 К|А Ьз =0- К|А Ьз =О. (5.25) Используя векторные равенства (5.25), легко показать, что пара (А+ВК|, Ь,) управляема, т.е. векторы Ьь (А+ВК,]Ьь..., !Ач-ВК>]"'Ь> — линейно независимы. Переходим ко второй части аягоритми I. 2. Применяя к объекту управления Х(г) = (А+ ВК,)Х(|)+ Ь|у,(г) (5.26) процедуру синтеза, рассмотренную ранее для скалярного управления, и вводя обратную связь для (5.26) в виде Ь,у,(г) = ВС(г)Х(г) = Ь,я,'Х(г), где матрица С имеет вид ( йш С = и х л ) Если»> = и, то объект (5.4) полностью управляем с помощью управления у,(|), и тогда переходят ко второй части алгории>х>а 1.
Если >> < л, то будем последовательно присоединять к полученному набору (5. ! 8) столбцы матрицы Вз = [ Ь>,АЬ>,...,А"' 'Ьз~ до тех пор, пока вектор А"-Ьз не будет выражаться как линейная комбинация векторов ЬпАЬп...,А" 'Ь„Ь,,АЬ„...,А'> Ь,,те. гапй[В>;В>)=ч, +чз, (5.20) гап!г[В>;В>;А 'Ь,~=»>+ч,. (5.2 !) Если ч> +ч> < л, продолжается процедура присоединения к полученному набору [В>,В>] векторов Ьз, АЬ>,...,А"' Ьз и т.д. Предположим, что для некоторого чз имеем ч> +», +к> = л, т.е.
получена совокупность л линейно независимых векторов матрицы управляемости (5.17) и, слсдовательно, матрица Т= Ь, АЬ, Ач |Ь|,Ь,...,АЬ,...,А"' ~Ь>,Ь>,...,АЬ>,...,А"' Ь>,Т~М, (522) невы рождена, ( |!е! Т и О, 61ш Т = и х п ). Сформируем матрицу Р размерности и хи следующим образом Р = [0,0,...,0,е>,0....,0,е>,0,,0], (5.23) где ез — ч> -й столбец, ез — (т> + к,) — столбец этой матрицы, общее число которых равно ч> +чз + чз — — л, а через е, (1=2,3) обозначен |-й столбец единичной матрицы размерности в>хт.
Теперь искомая матрица К, может быть найдена из выражения К вЂ” — РТ | (5.24) Для того чтобы показать, что полученная матрица (5.24) определяет управляемую пару (А+ВК,; Ь], перепишем матрицу Р = — К|Т в виде Р= — К|[Ь>,...,АЬ>,...,Ап Ь>,Ь>,...,АЬ>,...,А"> Ь>,Ь>,...,АЬ>,...,А" Ьз~= = [0,0,...,0,е,,О,...,О,е>,0,...,0~. Это матричное равенство соответствует следующему набору векторных равенств: 266 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П о(1 о)2 - 81л О О ... О О О ... О и и! = [д!! д!2 ...
дм ], получим т Х(1) = (А+ ВК) + ВС)Х(1) . Таким образом, полная матрица коэффициентов обратной связи К, т.е. Ъ" (1) = КХ(г), (5.28) (5.29) будет иметь вид: К =К, +С. (5.30) Приведенный алгоритм ! представляется наиболее простым как с точки зрения компактности его изложения, так и с точки зрения удобства для практических вычислений [9]. Однако при таком подходе исключается значительная часть решений, которая может быть получена при проектировании систем управления. Ниже будет рассмотрен алгорплглг 2, который решает более общую задачу модапьного управления.
Но сначала рассмотрим пример. Пример 5.3 (л = 3, и = 2) Пусть матрицы А и В имеют следуюший вид А=О 1 О,В=О 1 Спектр матрицы А Л*=(О;1,2). Необходимо, если это возможно, синтезировать модальный регулятор так, чтобы спектр матрицы замкнутой системы А+ ВК был равен Л =(-1, -2. -3) Решение. 1 Проверяем управляемость системы 1 1 2 0 0 0 М =(ЬпАЬиА ЬнЬз,АЬз,А Ьз)= 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 гмгх М = 3, т е система полностью управляема и, значит, модвльно управляема 2 Счнтаеь!, что будем управлять с помощью первого столбца Ь, матрицы В, поэтому из матрицы М „выбираем 3 линейно независимых вектора, начиная с Ь| Отсюда получаем ю = 2, т, = 1 Формируем матрицу Т Т=О 0 !,~Т'=0 0 1 3.
Формируем матрицу Р (размер 2хз) [о о о~ 5 Матрица объекта с частично замкнутой обратной связью где пунктирная черта отсекает часть координат единичных векторов, длина которых превышает размерность вектора управления (м = 2) 4 Определяем матрицу К, Глава 5. Модельное п ааление 267 1 О А()=АеВК,= О 1 — 1 1 О 1 Спектр матрицы А() такой же, как у А, те Л„о, =(О,).2). 6 Приходим к объекту со скалярным управлением Х(г) = (А+ ВК>) Х(г)+ Ь|у>(г) = А( !Х(г)+ Ь|у>(г) 7 Проверяем управляемость полученной системы 1 1 2 М(г) =(ЬоА()Ьо(А())'Ь,~= О О -1, О 1 2 гап!г МГ'! =3~ пара (Аго,Ь,~ управляема 8 Синтезируем матрицу коэффициентов обратной связи С а) Характеристический полинам матрицы АГ'! грмо,(7) =Л' — 3).
+2Л =Л +а Л +а,Л б) Сопровомцгаюгдач матрица полинома 9«,о(Л) Апг= О О 1,Ь= О в) Желаемый характеристический полинам Е (Л) =(Ль!)(Ль2)(ЛьЗ)=Л +6Лз+1!Леб г) Матрица управляемости для пары (А~ !,Ь~ О О 1 М =(Ь,А!нЬ,(Ап!) Ь~= О 1 3 1 3 7 д) Находим матрицу $ М,(М, ) е) Вычисляем коэффициенты регулятора 8, лля преобразованной системы. 8~ (йн 8!2 8!3) -т йн =ао ао =О 6= 6 ам -— а, — ц, =2 — 11= — 9, йн — -ат-а =-3-6=-9 м ж) Матрица (строка) коэффициентов регулятора в исходном базисе О 1 О аз=а!8=(-6 -9 -9) О 1 1 =(-9 24 -27) 1 1 2~ 9 Формируем матрицу коэффициентов обратной связи С '-~*'Н' " "1 1О Искомая матрица коэффициентов обратной связи. 11. Проверяем корни у матрицы замкнутой системы. 268 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
