Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Очевидно, что Д с О„'-(Д) и О„'Я) — открытое множество в Н. Тогда под замкнутой е-окрестностью Д будем понимать множество д,=О!(д)=~6 Н: РцР,и)Б4 (6.1 1) с граничными элементами )е, образующими границу ГД, . Для Д, справедливо также следующее представление: ы' = ! ге = ч(Ь, б); Ь 5 а, ее е ГД~ . (6.12) Необходимо также отметить возможность использования в качестве меры рц(.) не функций, а некоторых функционалов.
На рис. 6.1 показано формирование а-окрестностей для пространства )! . 2 0 ГО Г0, Ггз Рис. 6.1. а -окрестности множества Д В дальнейшем для границы ГД, будем использовать наименование а-окрестности множества Я . 6.1.2. МОДели РАссмАтРиВАемых ОБъектОВ УпРАВлениЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Будем считать, что объекты управления, рассматриваемые в арифметическом пространстве )!", являются динамическими и в общем случае могут быть как линейными, так и нелинейными, а также как стационарными, так и нестационарными.
В общем случае можно считать, что уравнения состояния объекта управления представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, которые приводятся к нормальной форме или к форме Коши [98, 128) и имеют вид Глава 6. Синтез г бых систем автоматического п авления 283 х = у" (х,ц,и,33,1), х(1в) = хв, ! > 1,, (6.!3) где х — пх ! вектор состояния объекта; в — т х 1 вектор управления; и — г х 1 вектор возмущений; 33 — !( х ! вектор параметров объекта; а — и к! вектор индексов, компоненты которого могут принимать произвольные вещественные значения из )3; у""(.) 1 — некоторая их! вектор-функция, обеспечивающая существование и единственность решения задачи Коши (98), с областью определения О, с йх"""' ' .
Пусть Тогда под .! ~() понимается следующее выражение /~() = ~)!~'(х,в,и,6,1), ...,у~" (х,в,и,(3,1)~ (6.!4) где каждая компонента а„ 1 е 1,и принимает значения из некоторого заданного множества А, с )3', !в 1, и, т.е. а, е А„!в!,п. (6.15) При этом ав А. (6.1 6) Предполагается, что в зависимости от значения а, компонента г",() принимает то нли иное соответствующее выражение. Обозначим через г", — множество возмож- ных выражений функции Г',"'() в зависимости от значения параметра а,, т.е.
Р, =(У;"'(): а, е А~. В дальнейшем множество г, будем называть внешней шкагой структур для (6.! 7) функции );"'(). Очевидно, для задания множества возможных структур функции 1'() можно воспользоваться метрикой или введенной выше' мерой близости в пространстве функций. Необходимо также отметить, что задание структур может осуществляться в задачах формирования (проектирования) САУ (объектов управления), когда возможен неоднозначный выбор структуры одного и того же объекта, и это необходимо учесть.
А задание структур целесообразно осуществлять в задачах управления при неопределенности по структуре объекта. 6Л.З. ВЕЛИЧИНЫ В УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА, ОПИСАНИЕ, ДОПУЩЕНИЯ И ОГРАНИЧЕНИЯ Рассмотрим те ограничения и предположения, которые используются о векторах х,ц,и,(3 в уравнении состояния объекта (6.13). Вектор состояния х должен принимать ограниченные по норме значения в )1" .
Обычно предполагается, что для этого х удовлетворяет следующим ограничениям. Пусть в )гк'~ определены функции ограничения 1!! (х,!), у' е 1, у, непрерывно-дифференцируемые по всем своим аргументам. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 284 Тогда формируется замкнутое множество Д(г) вида Я1) = (х и и'": ~~,(х, г) < О, у и 1, у1, (6.18) которое определено для каждого г > га на всем интервале функционирования объекта (6.13). И также определены на этом интервале множества !пуф!), ГД(г), ГЯ,(г), / а 1,у . В дальнейшем множества Яг) обычно будем считать ограниченными.
Пусть в !!" задана некоторая непрерывно-дифференцируемая и х! вектор- функция Гр(х), т.е. Гр: л" -+ !1х и р(х) = х (6. 19) Тогда под ограничениями (или фазовыми ограничениями) на вектор состояния х в пространстве Л" будем понимать соотношение Гр(х) и Д(г) 'й > 1с. (6.20) Заметим, что в качестве ф ) могут использоваться не только вектор-функции, но также и операторы определенного вида, являющиеся диффеоморфными отображениями. Рассмотрим характер ограничений, накладываемых на вектор управления.
Пусть в пространстве й задано некоторое замкнутое, в общем случае, неограниченное множество У(г) допустимых значений вектора управления. Тогда ограничение на значения вектора и имеет вид и и У(Г), 1 > 1,. (6.21) Часто требуется учитывать ограничения не только на значения, но и непосредственно на вид (на структуру) формируемого алгоритма (закона) управления. С этой целью можно воспользоваться так называемыми шкалами сложности [14, 124, 134], формируемыми по признакам сложности, характеризующими уровень сложности структур синтезируемых законов управления. Считаем, что в достаточно общем случае закон управления можно представить в виде и = и" (х,г), (6.22) С=(С„)~, ~ Як (6.23) — заданное множество значений параметра у, а С„, ч а1, р — его подмножества.
Тогда шкала сложности по структуре управления имеет вид 1Л (6.24) где р„, ч и 1, р — элементы шкалы сложности, представляющие подмножества вида !э„=(п"(): упС„~, чи 1,и. (6.25) где ц"( ) — некоторая гик! вектор-функция заданного вектора, который определяется выбором параметра у. 0 параметре у предполагается, что это некоторый я х! векторный параметр, значения которого характеризуют сложность структуры соответствующего закона управления.
При этом сложность можно понимать, как в смысле сложности технической реализации согласно (14, 124, 134), так и в более широком смысле — как некоторый признак или свойство, позволяющий упорядочить структуры законов управления по тем или иным математическим характеристикам. Пусть 'лава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 235 ПРи этом (о можно РассматРивать, как внеаеаюео шкалУ, а (ох, хи!,Р— как нутренлие, элементы которых допускают параметризацию.
Возможно также, что (о - шкала сложности !'"рода [134[, т.е. когла !о! с(оз с с(о (6.26) ели — 2"' рода, если (ый(„, =О Чт, мт,п!р. (6.27) Тогда ограничения на структуру закона управления имеют вид ц = ц" () и (о = [ц" (): у е б~. Рассмотрим ограничения на вектор возмущения зт.
В достаточно общем виде :лучаи ограничения на вектор тт можно представить, как ограничения на множество допустимых значений зт, т.е. зтеИ'(е) с Я', е >еа, где И'(е) — заданное в Я' замкнутое ограниченное множество. Задать И'(е) можно, например, одним из следующих способов. Пусть (6.31) Тогда для данного случая И =!к(е)=[ =тт(о,е): еэ и[,е>е.
(6.34) Рассмотрим ограничения на вектор параметров [! в уравнении состояния (6.13). В достаточно общем случае можно считать, что допустимые значения е(х! параметра [! должны удовлетворять соотношению ж (Е) =[и'е (Е) аз(Е) ... м~(Е)] некоторая заданная в Я" вектор-функция. Тогда: 1. Ие(е) = ~~т и Я": ~ж, — ю, ~ и «, (е), е > ее ~, (6.29) где «,(е), е' и 1,г — скалярные неотрицательные функции. 2. Ие(Е)=(эти)Е": [ж-тт'(Е),Ч(Е) [,ж-»а(Е)))<«(Е), Е>Е,~, (6.30) где Ч(Е) > Π— гхг матрица; «(Е) — скалярная неотрицательная функция; 3.
И' = ~» е Н; ))зт — и (! где «> Π— скалярная величина; [[ !)„— одна из возможных норм в векторном нора мированном лространствеН. Кроме указанных способов задания множества И'(е) (6.29) — (6.31) может использоваться также следующий подход. Предполагается, что возмущения, действующие на объект управления, могут быть представлены в параметрической форме, т.е.
И = Ю(О,Е), (6.32) где зт() — некоторая гх! вектор-функция заданного вида, являющаяся кусочно- непрерывной и необходимое число раз дифференцируемой на интервале функционирования объекта; о — ! х! векторный параметр, значения которого могут изменяться в пределах некоторого заданного И множества ); т.е. Е оп !'. (6.33) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 286 ])е В, (6.35) где  — некоторое заданное в )! множество. При этом [3 предполагается фиксированным на всем интервале функционирования объекта, а соотношение (6.35) характеризует возможную параметрическую неопределенность задания данного объекта. ! ое ~0 (!О) 2. э! = г' >ге такое, что Д'(1)[]Я„' ~!с при ге[!',г~ ], где гз < о и в частности, можно потребовать, чтобы Д (1) с Я при Г е [ Г',Г~ ~. (6.36) Тогда, вводя обозначение 6.1.4. ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ Для класса динамических объектов, описываемых уравнениями типа (6.13), актуально решение следующих залач: ° перевод объекта из одного начального заданного множества бе с л" в другое конечное заданное множество Яя с )г" .
При этом допустимы ограничения на время перевода. Это, так называемые, задачи терминального управления [34, 151]; ° обеспечение программного режима движения объекта управления на этапе проектирования системы автоматического управления (САУ) объектом. Это— задачи программного управления и задачи стабилизации [! 22]; ° обеспечение допустимого (заланного) качества переходных процессов в системе управления объектом [89, 104]; ° обеспечение принадлежности динамических характеристик САУ объектом заданному множеству в пространстве состояний.
Это, в основном, задачи управления фазовыми потоками (пучками траекторий или потоками траекторий), определяемыми фазовыми ограничениями в пространстве состояний [90, 123]. Характерной особенностью данных задач является то, что они формулируются в терминах пространства состояний объекта или системы управления (СУ) и, соответственно, требования к их выполнению (разрешимости) сводятся к тем или иным эквивалентным требованиям, которым должен удовлетворять вектор состояний САУ. А это, в свою очередь, означает, что для перечисленных классов задач цель управления может быть формализована и представлена в виде тех или иных ограничений на вектор состояния, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
