Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Таким образом, при выборе структуры регулятора вида (5.51) все правые собственные вектора, включая В», остаются неизменными, мода Х» сдвигается к значению»Л.„, если столбец Г» для (5.51) определяется из условия (5.56). Пример 5.5. Рассмотрим пример, когда не имеет место полная управпяемость, но существует модаяьная управляемость. Итак. дано (и = 3, т = 2) 0,8571 8,8571 9,000 1 1 А = — 0 8571 -4 8571 -3 000, В = -О 3 -О 26311 0,5714 2,5714 1,000 0,2 0,0526~ Спектр матрицы А Ля =10,-1,-2) Необходимо сдвинуть корень Л~= О к Л, = — 3 Составляем матрицу управяяемости М„=~ЬпАЬнА ЬпЬ»,АЬ»,А Ь»1= 000 1 0,0;0;-0,2631,-2 -0,2631 ),4 -0,2631 0 0 0 0,0526 0,0526) 0,0526)) Ранг М, = 1, т е система не является попностью управляемой Находим правые собственные вектора матрицы А и составляем матрицу И Глава 5.
Модальное и авление 273 Кг 1 1 К= — 0,3 -0,2631 Кг 1 0.2 0„0526 0,6667 В соответствии с формулой (5 39) находим матрицу чевых собственных векторов ь 7 1441 8 5727 ч- ).г -5,4293 -8,1434 г- (,тг ! 7148 О 4243 ь )т 1,4287 1.=К '= 0 [-0,4286 Проверяем модальную управляемость 1 1 !тВ=[1,4287 7,!441 85727] -0,3 — 0,2631 =[1 О], [ 0,2 0,0526] т е система модально управляемц т к «1 В и 0 Подставим найденные матричные данные в формулу (5 56) (-3)-(О)=[1 О]Р,=[1 О]~ «~]=Р«, 'ьгзг] Откуда Л« = -3, а Ргг может быть любым, например ггг=О„тогда столбец Рг имеет вид =['] Полученный столбец рг позволяет найти матрицу модального регулятора К = РА» =] ([1,4287 7,1441 8,5727] = 1о] ' -4,2861 -21,4323 -25,7181] 0 0 0 что определяет в!атриду замкнутой системы -3,4290 -12,5752 -16,7181 А = А ь ВК = 0,4287 1,5725 4,7154 -0,2850 -1,7150 -4,1436 которая имеет следующий спектр Л„.
= (-3,-1,-2] и Л„. совпадает с желаемым спектром Л Замечание 5.2. Если необходимо сдвинуть две и более моды, процедуру, рассмотренную выше, необходимо проводить итеративно, сдвигая каждый раз по одной моде, т.е. А-+А, =Ач-ВК, -вА, =А, +ВКз-ь...-ьА =А 1+ВК и обшая матрица модального регулятора К определяется выражением: К= У К,, г=1 где ! < р < и — чнсяо сдвигаемых мод. (5.57) 5.4. ОПТИМАЛЬНОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЙ МОДОЙ ПРИ ПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Если в строке 8.лВ имеется более одного ненулевого элемента, при сдвиге моды )л =Х„возникает неоднозначность в выборе столбца и„.
Эту неоднозначность можно использовать для вывода оптимального модального управления с точки зре- ния минимизации энергетических затрат по переводу моды ).л в ).„. В качестве це- левой функции используем следующую квадратичную функцию 19 Зал 366 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть Н 274 ,/= ,'„~ ааК,, ~=! э ! где ак > 0 — весовые коэффициенты матрицы усиления К модального регулятора. Необходимо минимизировать функцию,/ по Ка (!=1,,и,/=1,,и) при соблюдении линейного ограничения: х„-х„= ьтвр .
(5.59) В выражении (5.58) число оптимизируемых параметров К, равно ткл . Но, с зругой стороны, матрица К определяется из соотношения (5.51): к — г„ьт (5.60) Так как левый собственный вектор 1~ь матрицы А определяется самой матрицей, тогда число оптимизируемых параметров в выражении (5.60) остается равным йгп Ез, т.е. и. В соответствии с этим, подставив формулу (5.60) в (5.58), получим а и а .У=",! ~'!з, (РаЬ„,) ='! ЯакЬ6 Р,„'. ,=!,=! ~=! !=! Ограничение (5.59) представим в следующем развернутом виде: )!» )!ь = Хй гц (5.62) где О„= ь„в. (5.63) После этих преобразований задача оптимизации состоит в следующем.
Необходимо найти столбец (ш+1) коэффициентов Рч (! =1,т), минимизирующий функцию (5.61) при линейных ограничениях (5.62). Эту задачу решим методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа: т и ( т ~=~~' ~пд~ьЕа+Ч'~)!ь )!ь х~' Юга ~=! э=! ~=! (5.64) где !у — множитель Лагранжа для ограничения (5.62). Условие минимума (5.61) прн ограничении (5.62) — стационарность функции Е по оптимизируемым параметрам Ра, т.е. дŠ— =О,!=1,и. (5.65) дГ~ Формула (5.65) и ограничение (5.62) дают следующую систему (л!+1) линейных уравнений относительно Р,„(! =1,т). и !у: ~а„)ч 2Р~ — !уЯь = О, ! =1,т, (5.66) э=! )!ь =ХЬУь ю=! Учитывая простоту этих уравнений, их решение можно получить аналитически. Пусть в т-й строке Яь~ для некоторого ! =1 (!<)<и) элемент Ды мО, Выразим из (5.66) для !'=1 множитель !у: Глава 5.Медальное п авление 2~а(, Е» г!» з=! Ч= Подставляя вместо ч» правую часть (5.68) в уравнение (5.66), получим; (5.68) 2~а! Е» 2, 'ачЕ»,г,„— г»„й, =О, й! (5.69) где »=1,т и ! и(.
Из (5.69) найдем оптимальные значения параметров в т -столбце г»: Е а! ЕД„, з=! 2 г!» =р»г!» Х, г ак Е»,й! !=! (5.70) где 1=1,т и ! ~(, а л Х 2 а, Е»й., з=! аа= „ г ~акЕ„,й! з=! (5.71) Подставляя в уравнение (5.67) вместо г!» правую часть (5.70), получим: )» -)» = ХйР»~а (5.72) Откуда; ).» — )» а щ ХйА» (5.73) Таким образом, алгоритм нахождения оптимального столбца г» и соответственно оптимальной матрицы К* при переводе моды Х» матрицы А к моде Х„следуюший: 1 шаг. По заданным матрицам А и В определяем левый собственный вектор 1~» матрицы А и условие модальной управляемости по моде Х»: Ь»В =(2» е О. т т 2 шаг. Выбираем произвольный ненулевой элемент строки Д»! е О. Заметим, что еслитакой элемент единственный, то задача оптимизации отсутствует, т.к.
г» определяется однозначно. 3 шаг. Из соотношений (5.71) находятся элементы 13,», ! = 1,н!, ! е(, 13!» — — 1. 4 шаг. Из формулы (5.73) находим г!» . га* причдм (1!» =1. Из выражения (5.70) видим, что (т — !) коэффициент Р"„линейно зависит от коэффициента г!„, который мы определим из линейного ограничения (5.67). Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !! 27б 5 шаг. Из выражения (5.70) находим г",„, 1=1,т, (и(. б шаг. По формуле(5.60) определяем К . Пример 5.6. Пусть матрицы А и В объекта управления имеюг вид Кроме того, заааны весовые коэффишзенты матрицы К и=[', '„",~ Спектр матрицы А Лл =(0,1;2) Необходимо перевести корень Л, =2 в Л, = — 2 и при этом мини- лзизировать функцию (5 61) решение. 1 Находим матрицу левых собственных векпзров 1-з-+ 0,5 О -0,5 В=нт- О 1 О ).т- О,ч О 0,5 з и проверяем условие Лз — напальной управляемости 1.'зВ-.!.з', =[0,5 1)иО, те объект модально управляем.
причеи оптимизация по примеру (5 61) возможна, т к строка Оз имеет несколько (в данном случае 2) ненулевых элемента 2 Выбираем элемент Озз -О 5,те 1=1 3 Рзз=1, з з' г) (1 0,5 +2 0 +0,3 0,5 ) т г 'ч'зз (! 0,5 +0,5 0 +8 О 5г) 0,5 ~пгзьзз з=з 4 Определяем гз, "з з 5 0704 Рзз'!7зз+Ргз Дзг 1'05+02889 1 5 Находим оставшиеся элементы столбца Гз игл =Раз гзз=О 2889 ( 5 0704) = 14648 6 Определяем матрицу оптимальных коэффициентов модального регулятора К =Рз 1-тл = ('(О 5 0 О 5)=( ° ° т 5,07041 ' ''[-: (-2,5352 0 -2,53521 -1,4648~ ' (-0,7324 0 -0,7324) Проверим, что модьльное управление проведено правильно Матрица -2,2676 0 -2,2676 А'= А+ВК = -2,5352 ! -2,5352 0,2676 0 0,2676 имеет спектр Л .
=(0,1,-2), те матрица К ' найдена верно Определим значение функции,/ для най- А денной матрицы К г 3 .) =,'з ,') азК„=(3,!831 .з зы Заметим, что если для выданных весовых коэффициентов 8пь! и матрицы Оз~ выбрать другой неоптимальный столбец Вю также переводлший з(з — л з(з', то значение целевой функции .l будет больше На- пример, если ! -4) ~, то ./ =! 4,2 >.Г '(-2~ ' Глава 5. Модальное п авленне 277 б.б.
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Рассмотренные выше алгоритмы модального управления получены из условия, что доступны для измерения все коэффициенты вектора состояния, что нг практике случается редко. Поэтому важно получить алгоритмы модального управления для объектов, где не все компоненты вектора Х доступны непосредственному измерению.
Ясно, что в этих случаях необходимо синтезировать устройство для получения оценок Х вектора состояния, т.е. построить наблюдатель. Модальное управление с наблюдателем полного порядка. Рассматривается задача модального управления для объекта управления с уравнением состояния Х(г) = АХ(е)+ВУ(1),Х г",У ??"' (5.74) и уравнением выхода Х,(г) = СХ(г), Х, е )?', ~ < л, (5.75) требуется построить модальный регулятор У(г) = КХ(1), (5. 76) который обеспечит заданное расположение корней замкнутой системе (5.74), (5.75). Оценку Х(г) вектора состояния получим на выходе наблюдателя полного порядка, динамика которого описывается уравнением [57] Х(г) = (А — К„С)Х(г) + К„Х,(г) + ВУ(г), (5.77) где ʄ— матрица(пх! ) коэффициентов наблюдателя.
Обозначим выбранный харак- тернстический полипом наблюдателя полного порядка 4»„(Х): <р„(Х) = оег(А — К„С вЂ” ? $) . (5.78) Так как вектор Х(г) недоступен для измерения, то попробуем заменить в цепи об- ратной связи вектор Х(1) на его оценку Х(г) . Многочлен ср„() ) можно выбрать по своему усмотрению и тем самым получить произвольную динамику стремления оценки Х(г) к Х(1) при г -» со. При такой замене основной интерес представляют два вопроса: 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
