Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 43
Текст из файла (страница 43)
366 Х,(з) =%,(з)%к(з)% (з)Е(з). (4.40) Тогда, подставляя Е(у) = т'(у) — Х,(з) в последнюю зависимость, получим Х,(у) =%,(у)%,(у)% (з)(У(х) — Х,(у)) = =%,(з)%„(я)%ку(з) х'(з)-%,(з) ЪУк(х)%, (я)Х,(з). Из (4.41) следует Хв(у) 4%о(з) %к (з) %ау (з) Хв(з) %о(з) %к (з) %ау (з) Ъ (у) . Или, что то же самое, ~1+%о(з) %к(з) %ку (з)~Хв(з) %о(х) %к(х) %ку(з) У(з) ' Из последней формулы находим основную зависимость Хв (З) = ( 14%а (~)%к (У)%ку (з)) %а (з)%к (У)%ку (з)Ъ' (У) . (4 43) Условием воспроизведения сигнала т'(1) без ошибки (идеальная система), оче- видно, является ('1+%.( )%,( )% ( )~'%.( )%,( )%„( )=1, (4.44) где! — единичная матрица.
Это тот идеальный случай, к которому стремятся приблизиться конструкторы систем управления. Теперь, с учетом (4,44) и предыдущих рассуждений, рассмотрим выбор переда- точной функции компенсатора. Пусть передаточная функция объекта управления имеет вид 250 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Ясно, что если передаточная функция последовательного соединения «компенсатор-объект» будет диагональной, то это будет означать, что каналы «развязаны», передаточные функции как разомкнутой, так и замкнутой систем будут иметь диагональный вид.
Задача состоит в том, что надо подобрать передаточную функцию компенсатора таким образом, чтобы было выполнено условие И ц (5) И'12 (5) ... И~ь, (5) И;,() И„",() ... И,'я() И я!(5) )] ят (5) . И як (5) и'„',( ) И„',( ) ... И'„"„( ) (4.47) Иг,о,(5) О ... 0 0 И'22 (5) ... 0 0 О Ио(5) В последней формуле тУР(5) — передаточная функция объекта с «развязанными» каналами. Перепишем (4.47) в виде ът), (5) ЪУ„(5) = гйа8 тт',(5) = тяп (5) . (4.48) Зависимость (4.48) сразу же позволяет найти передаточную функцию компенса- тора 'тУ,(5) = тъг, (5) Йай ъчг,(5) . (4.49) Критический анализ изложенного подхода проведем на конкретном примере [! ! 3]. Пример 4.3.
Пусть передаточная функпия объекта имеет вид (113] 0,7 — 0 0 1+ 95 2,0 0,4 — — О 1+ 85 1+ 65 2,0 2,3 2,1 тч',(5) = (4 50) 1+105 1+85 1+75 Динамический компенсатар будем строить таким обрюоьь чтобы последовательное соединение компенсатора и объекта имело диагональную матричную передаточную функцию 0 0 (4 51) В соответствии с формулой (4 49) найдем обратную передаточную функнию объекта 1,43 (1+ 95) 0 0 -7,14 (1+ 95) (1+ бя) 1ч-85 782(!+95)(!+бг)(1+75) -1,56(1+95)(1+75) — 274(1+65)(1+75) 0,48(1+ 75) (1 + 85) 1+ 105 14-85 Далее по формуле (4 49) находим передаточную функпию ком пенсатора ту ()= (4 52) 0,7 ! + 95 39.'( ) =~ о 0,4 — 0 1+ 65 2,1 0 1+ 75 Глава 4. Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем 251 1 О о — 7,14(! + 9з)(1е бз) 1 0 1+ Ва 7,82(1+ 9з)(1+ ба)(1+ 7х) -1,5б(!е 9а)(1+ 7з) -2,74(!+ба)(1+ 7з) 1 %„(5) = (4 53) (1+ Вз) 1+!Ох 1+ Вз Структурная схема с динамическим компенсатором показана на рнс 4 12 Рис.
4.12. Структурная схема системы с динамическим компеисатором 10* Передаточная функция замкнутой системы имеет вид тт(у) =(1+%',(у) тт','(у)йад%,(у)%ху(у)~ х х т(7,(в)%', (у) д(айй',(у)%,„(в) = (4.54) = '(1 ь Йай%', ( з) % ( д) ) д(ай М', ( у) тт',у ( в) . Из последнего выражения видно, что %,'(з)%,(у) =1 и, таким образом, динамика объекта компенсирована обратной передаточной функцией, передаточная матрица прямой цепи является диагональной %„(з) =Йад%',(у)% (в) . (4.55) Передаточная матрица замкнутой системы также будет диагональной и, следовательно, синтез рееуяяторов можно проводить по каждому каналу самостоятельно, пользуясь теорией одномерных систем. Подобный случай нами уже был рассмотрен и посвящен синтезу регуляторов одномерных систем (см. 82.2). Все недостатки подхода, которые рассматривались в 92.2, имеют место и в настоящем случае.
Напомним их: 1. Подход требует точного знания передаточной матрицы объекта, что не всегда возможно; Если точная и приближенные модели объекта значительно отличаются друг от друга, компенсации динамики объекта не произойдет (нули и полюса объекта не будут компенсированы обратной передаточной функцией) и качество управления будет плохим; замкнутая система может стать даже неустойчивой. 2. Для реализации передаточной функции компенсатора необходимо иметь дифференцирующие звенья, которые точно физически не реализуются; 3.
Если объект имеет звено запаздывания, то для реализации компенсатора необходимо иметь звенья опережения, которые так же, как и дифференцирующие звенья, точно не реализуются; 4. Если система работает в условиях помех, то дифференцирующие звенья будут усиливать их влияние; Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 252 5.
Если передаточная функция объекта управления содержит нули в правой полуплоскости комплексной плоскости, то в компенсаторе эти нули оказываются неустойчивыми полюсами и их неточная компенсация приводит к тому, что в передаточной матрице замкнутой системы появляются неустойчивые полюса, что приводит к неустойчивости системы. Часто для упрощения конструкции компенсатора применяют компенсацию в статическом режиме. В этом случае компенсатор будет включать лишь безынерционные элементы (усилнтели). В самом деле, формула (4.49) будет иметь вид »аг,(0) = тч','(0)г)!ай%',(0) .
Пример 4.4 (76) Рассмотрим пример аля статического режима работы системы Имеем (4.56) 07 0 О» 07 0 О» ЗУ,(0)=!2,0 0,4 О 1,4!аазр.(0)= О 0,4 (2,3 2,3 2,!! 0 0 21) Тогда, рассчитав передаточную функцию тт', '(0), получим Р 1,43 0 0 зр (о)=>~-гла 2,» о ( 6,26 -2,74 0,48) 6 26 -2 74 О 48 0 0 2 ! 6 26 -2 74 1 С помощью компенсатора %„(0) оказываются скомпенсированными все перекрестные связи в статическом режиме. В переходном же режиме имеет место период заметного влияния динамических связей. Построим структурную схему с динамическим компенсатором [76]. С учетом того, что ~~к (3) ~ау (3) И'11(3) Иг1~17 (4) 0 0 ИД(.)ИДУ(.) Игг(а)Игюг(з) О И31(а)ип (3) Изг(з)Р)22 (~) Изэ(з)ИЗЗ (а) ()(а) = %7„(а)ЪУ (3)Е(з), т.е. и;,(.) 1ю(з) о о И'г'1(3)и'1! (4) Иггг(з)и'г~г (3) 0 и 31(з)3)! (4) И Зг(а))( 22 (3) И 33(3) 33 (3) и,(.) = получаем (71(з) = И'11(3) И'! (3)81(а); (72(3) = И'1(3) Ий'( а) 81(з) + "'гг( 3) "'гг (3) ег(3) ' (7»(а) = Из! (3) И!! (4) 81(3) + Игзг (3) Игг (3) в 2(3) +"'зз(3) И зз (3) 83(з).
Теперь легко найти псрелаточную матрицу компенсатора И'!', (3) 0 0 И'21(4) И'г, (3) 0 Игз'! (3) И'3'г(3) И'3"3( ) а также принимая во внимание зависимость И",,» (3) 0 0 о и'г'гу (3) о 0 0 Изз (3) 253 Глава 4. Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем Теперь легко изобразить струкгурную схему (рис. 4.13). Рис.
4.! 3. Структурная схема трехмерной системы с компеисатором Структурная схема системы со статическим 'компенсатором следует из схемы рис.4.13 при 3=0. В [76) предложен метод, позволяющий осуществить полную динамическую развязку всех скалярных компонент вектора выхода, при этом не используется компенсация передаточнь!х полюсов и нулей объекта управления.
В соответствии с (76) к объекту со стороны его входа подключается специальное звено, названное зпеноч динамической развязки (естественно, при г — в оз и х — > О это звено может быть использовано и как развязка каналов в статическом режиме). Указанное звено состоит из двух блоков: стабилизации и диагонализации передаточной матрицы стабилизированного объекта, формирующего новые развязанные каналы регулирования. С алгоритмом диагонализации можно познакомиться в (76), Пример 44 1761 Матричная передаточная функппя объекта управления нл1еет вид ! ту,(з) = 5 л! (зв1)(ллз) ялз Матричная передаточная функпня диагонапизатора запишется так -гз -2г -2 -! ! О ЪУ (г) 2зз лаяла з 2 г л8зл15 ! Передаточная функпия последовательного соелинепия «диагоназизатор-объекта имеет диагональную передаточную функцию -2з -8г-12 О (з+1)(з'ч8з+15) Ьу„» (5) = -гв -4з-6 (3 + 1)(5 + 3)(з л 7) Пример 4.6 176) Рассмотрим систему. описываемую уравнением вида Х4АХлвц, Х,=СХ, где Х =(к!,хз,хз,хл), Ц =(ипкз), Х =(х1,хз) 254 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть Ц -0,16 0,177 -0,984 0,104 -! 8,191 -1,162 0,82 0 -0,158 -0,04 -0,279 0 0 1,0 0,18 О 0 002 — 14,131 — 0,554 В= -0,432 -0,966 ~О О О 1) 0 0 Найдем многоьгерную передаточную матрицу объекта 0,382' — 1,152 -18,18 -14,2122 -6,562-6,4 2~+1622+36522+3412+053 2~+1,6г~ь36522+34Ь+053 тть(2) = -2082 — 232-О 45 0022' а1,082'+ 1062 -О 09 2~+1,62 +3,652 +3,4!г+0,53 г" +1,622+3,6522+3,412+0,53 Передаточная функция блока диаюнализации, найденная по методу [76], имеет вид -0 0322 - 1,5822 -1,562 ч 0,13 О 2322 — О 692-10 95 гг ь 0 122 8,5622+3,952+3,86 гг аз,4!22 а0,9!г — 3,0522 — 3,382 — 0,66 ту„(г) = з 40,122 гг+3,4122+0,9!г Введем обозначения тогда справедлива зависимость !1(2) = гт'„(г)% (г)Е(г), или, в развернутом виде 2( ) Ин(г) "гг(з) О И222 (2) 2( ) или, что то же самое, ( 1(" [7,(')) ( '(') 7 ( ) "(')"'» ( )1 ('в,( )1 и,()~ [и;,(,)И;г(,) И;,(,)И;,(,)! [~,(,)~ Для каждой из компонент вектора управления можно записать 17~(г) =Игг(2)Ин (2)ег(2)+Игг(г)И22 (2)вг(г) (/2(5) = гугг (2)[РЙ (2)ег (г)+ И 22 (г)И 22 (г)в2(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
