Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Матрица К выбрана в предположении, что известно состояние Х(1), а потом вектор состояния заменим его оценкой Х(г). Получится ли прежний регулятор? Другими словами, будет ли система с обратной связью по-прежнему иметь желаемый характеристический полипом ф () )? 2). Какой эффект вносит в систему наблюдатель? Оказывается, что выбранные характеристические числа системы с обратной связью по состоянию и характеристические числа (собственные значения) наблюдателя войдут в замкнутую систему без изменения. Споаведлнва следующая теорема. Теорема 5.3.
Пусть дана полностью управляемая и наблюдаемая система (5.74), (5.75). Пусть матрица К выбрана так, что спектр матрицы А+ВК совпалаег с желаемым А, т.е. характеристический полином фд,вк().) = 9» ().), и пусть выбрана матрица коэффициентов наблюдателя К„, такая, что характеристический полипом маз- рицы А — К„С совпадает с желаемым полиномом 4»„().) .
Тогда характеристический полипом замкнутой системы (5.74), (5.77) (с учетом (5.75) и (5,76)) 2л-порядка Х(1) = АХ(г)-» ВКХ(г), (5.79) (5.80) Х(г) = (А -К„С)Х(1)+ ВКХ(г)+ К„СХ(1), 278 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П который обозначим через ре().), совпадает с произведением выбранных многочленов ч,(з.) =9*() ) 9'„(з.). (5.81) Доказательство.
Представим уравнения (5.79), (5.80) в виде системы 2л-порядка Х(г) К„С А — К„С+ ВК Х(г) Х(г) (5.82) Сделаем следующую невырожденную замену коо ~"'4= ~."'",1=~' -'1 рдинат Х(1) (5.83) где Е(1) = Х(г) — Х(г), ! — единичная матрица размерности нхн, В новых перемен- ных: Е(г) Е(г) К„С А — К„С+ ВК Е(г) А+ВК ВК Х(г) оо Х(!) (5.84) Так как матрица преобразования Р невырожденная, то матрицы А и А, свяса о занные выражением < Х(г) = АХ(г) ь ВУ(г), Х,(г) = СХ(г), (5.87) а другая уравнениями < Х(г) = А Х(г)+С У(г), С(1) = В Х(г). (5.88) Такие системы называют двойственными, или сопряженными друг другу. Очевидно, что условие гапк(В;АВ;..4А" 'В]=п является условием полной управляемости системы (5.87) н одновременно условием полной наблюдаемости системы (5.88), а равенство гальс[С;А С;..4(А )" 'С ~=и Аю РАер-~ (5.85) подобны и, следовательно, имеют одинаковый характеристический полипом, т, е.' Р г (з ) = Р (з.) = ро ().) = 9 (з )ч„(ь) .
(5.86) Что и требовалось доказать. Формула (5.86) имеет важное значение, т.к, позволяет задачу модального управления с наблюдателем разделить на две независимые подзадачи; 1) построение модального регулятора; 2) построение наблюдателя полного порядка. Решение 1-й подзадачи было рассмотрено выше, где можно использовать алгоритмы 1 или 2 или провести оптимальный выбор коэффициентов К модального регулятора. Что же касается 2-й подзадачи, то здесь для нахождения матрицы К„можно воспользоваться принципом дуальности для управляемости и наблюдаемости, установленным Р.
Калманом (311. Пусть даны две системы, из которых одна описывается уравнениями Глава 5. Медальное п авление 279 — условием полной наблюдаемости системы (5.87) и одновременно условием полной управляемости системы (5.88). Воспользуемся этим принципом дуальности, чтобы задачу нахождения коэффициентов К„наблюдателя свести к задаче модального управления. Для этого во вспомогательной задаче (5.88) необходимо найти такую матрицу коэффициентов обратной связи К„ чтобы матрица Ч(г) = -Кту(г) (5.89) ('-'' А -С~К~) имела характеристический полипом уь, с,к, (Х) =фа к с(х), совпадающий с желаемым р'„(Х).
А это и есть задача модального управления. И к ней можно применить все рассмотренные выше алгоритмы синтеза. Таким образом, задача синтеза алгоритмов модального управления с наблюдателем полного порядка сведена к двум независимым подзадачам модального управления: 1) нахождение матрицы коэффициентов К управления с обратной связью У(г) = КХ(г) системы (5.87), обеспечивающие желаемый полинам замкнутой системы ср (Х); 2) определение матрицы коэффициентов К„управления с обратной связью Ч(г) = — К~Х(г) системы (5.88), обеспечивающей желаемый полином замкнутой системы ~р„(Х). 280 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П ГЛАВА 6. СИНТЕЗ ГРУБЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Прн управлении многомерными динамическими объектами часто встречаются задачи, когда цель управления может быть сведена к некоторым ограничениям на вектор состояния объекта. К таким задачам, в частности, могут быть отнесены: ° обеспечение программного режима движения объекта управления на этапе проектирования системы автоматического управления объектом (задача про' граммного управления и стабилизации); ° перевод объекта из одного начального заданного множества в другое конечное заданное множество (задача терминального управления); ° обеспечение допустимого (заданного) качества переходных процессов в системе управления объектом; ° обеспечение принадлежности динамических характеристик системы автоматического управления объектом заданному множеству в пространстве состояний (задача управления фазовыми потоками (пучками траекторий), определяемыми ограничениями в пространстве состояний).
Характерной особенностью подобных задач является то, что они формулируются в терминах пространства состояний объекта. А это, в свою очередь, означает, что для перечисляемых задач цель управления может быть сформулирована н представлена в виде фазовых ограничений (т.е.
в виде ограничений на координаты вектора состояния). Предлагаемый метод фазовых ограничений позволяет для многомерных динамических объектов синтезировать управление, обеспечиваюшее выполнение заданной цели, которая может быть представлена в виде ограничений на вектор состояния объекта. 6.1. КОНЦЕПЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ В этой главе рассмотрены некоторые свойства и определения пространства состояний. Вводится понятие меры близости и окрестности множества. Исследуются способы задания окрестностей множества, а также их свойства в зависимости от определения меры близости. Приводятся модели систем управления и подходы к заданию возможных неопределенностей. Показывается формирование обшей цели управления для различных задач синтеза и формулируется концепция функционально-множественной принадлежности.
6.1.1. ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ ИЛИ МЕРЫ БЛИЗОСТИ Пусть рассматривается некоторое векторное нормированное метрическое пространство Н с введенными на нем нормой ~Нц и метрикой рц (), обладающими всеми необходимыми свойствами [60, 145). В этом пространстве Н предполагается заданным некоторое замкнутое множество Я, т.е.
Дс Н. Причем Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 281 ГД~Я и ГД~Д. (6.1) Введем понятие окрестности множества в пространстве Н. С этой целью введем в рассмотрение некоторый функционал, называемый мерой близости или фуцкцаек) близосгли в Н. Определение 6.1. Функционал рц()з',Ь'), определенный для любых Ь',л~ н Н (Р„= Н хН), будем называть мерой близости или функцией близости между эле- ментами Ь', Ь, если для него выполняются условия: 1, рц(л',ц'')>О Мл'','и'и Н при Ь' нйз; (6.2) 2. рц(ц~,йз)=0 при л~ =лз. (6.3) Нетрудно видеть, что мера близости рц() обладает более широкими свойствами, чем метрика рц(.), и поэтому ей соответствует более широкий класс функций, удов- летворяюших свойствам (6.2), (6,3). В частности, всегда в качестве йц() можно вьюрать функцию рц(), т.е.
рц() = Рц(). (6.4) На основе 1зц(.) можно ввести е -окрестность произвольного элемента Ь н Н вида О'(й) =(й Н: Рц(Ц,Ы (6.5) представляюшую собой некоторое открытое множество в Н, все элементы которого удалены от Ь в смысле меры близости рц() не более чем на некоторую величину с. Через 0„'()г) обозначим замкнутую в-окрестность Ь н Н в смысле меры )гц() . Тогда ГО (Ь)~0 ()г), где Гок(й) = (Ь и Н: Н (Ым) = 61. (6.6) Используя введенную меру близости йц(.), можно задавать в -окрестности произвольных замкнутых множеств в пространстве Н. С этой целью внача»е введем в рассмотрение меру близости элемента Ь от замкнутого множества Д, которую обозначим )зц(6 0) Определение 6.2.
Функционал йц(Ь,Д), определенный для произвольного замкнутого множества Д ~ Н и любого элемента Ь а Н, будем называть мерой близости между элементом Ь и множеством Д, если для него выполняются условия: 1.)зц(IЬД) >О ай» Н при ЬИД; (6.7) 2. рц(Ь,Д) =0 ялнД. (6.8) Свойства (6.7), (6.8) позволяют задавать достаточно широкий класс функций, используемых в качестве рц (.) . В частности, можно положить Рц()ь0)=ш1» р (й,й) (6.9) ьеО Нетрудно видеть, что данная мера удовлетворяет условиям (6.7), (6.8), которые соответственно следует в силу соотношений (6.2), (6.3).
Действительно, если Ь и Д, то, согласно(62), рц(ЬЬ) >0 »ЬаД, и потому п»п рц(6,6)>0. Ь~О Если же ЬиД,то в силу(6.3) 282 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И пйп рц(" ее) = рц(" ") =(). асО В качестве рц(.) в соотношении (6.9) согласно (6.4) можно выбрать, например, одну из метрик. Вид функции рц(),очевидно, при этом будет определяться не только свойствами функции рц (), но также и свойствами замкнутого множества Д. Используя меру близости рц (л, Я), введем понятие е-окрестности множества Д в пространстве Н. Определение 6.3. е-окрестностью множества Д в пространстве Н в соответствии с мерой близости рц() называется множество О„'-(Д) вида О„'- Я) = ( )с а Н; р ц ()е, Д) < а~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
