Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 52
Текст из файла (страница 52)
! 7); М(у,1) — некоторое многообразие, соответствующее у е ГД(1) и определяемое согласно зависимости М(у,1) = (хе К: Чэ(х,г) = у), (6.65) при этом область значений В„(1) функции 1р(х,г) такова, что Д(1) ~ В„(1) пРи 1 > гщ (6.66) Доказательство. Доказательство данной теоремы во многом аналогично тому, как доказывается теорема 6.!. Действительно, пусть х(1) — некоторая траектория 'объекта (6.57), такая, что 1Р(х(1с),гс) = 1Р(х,,гс) е й(гс) . Допустим, что соотношение (6.64) выполняется, и при этом в силу (6.66), обеспечивается условие Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 294 с=с >се, для которого ср(х(с ), с ) = у(с ) = у е ГД( с), (6.67) и для сколь угодно близких к с значений с >с ср(х(с), с) = у(с) н Яс) . (6.68) Согласно указанным свойствам М(у,с) условие (6.67) обязательно выполнится.
С учетом определения множества Д(с) (6.63) условия (6.67), (6.68) означают, что ср(у,с ) = 0 и цс(у(с),с) > О при с > с, т.е. в момент с=с функция ср(у(с),с) является возрастаюшей на траектории х(с). Поэтому ф(у,с )>О (6.69) нетрудно получить, что ф= цс цс,цс„ср 7'(сс,и,с)+ — )+— дср дцс дс ! дс Но тогда в силу (6.69), (6.70) 17 цс, цс, ср. 7'(х, и, с) + — ) + — > 0 дц~ дц дс ) дс при с=с, х(с )еМ(у,с ), (6.70) что противоречит неравенству (6.64), которое должно выполняться Ух е М(у,с ), а значит и для х = х(с ) . Отсюда следует, что сделанное выше предположение о возмож- ности нарушения соотношения (6.62) не справедливо.
Тем самым теорема доказана. 6.2.3. ФОРМИРОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ В ВИДЕ МАКСМИННЫХ И МИНИМАКСНЫХ НЕРАВЕНСТВ Неравенство (6.64) можно представить в другом виде. Действительно, из определения цс( ), ср() следует, что ттцс, дср/дс, дцс С дс зависят непосредственно только от у = цс(х,с) и от с. Поэтому выполнение неравенства (6.64) возможно тогда и только ° 1~,~.~,~ сс..., с1.(~„.— ).— о дц1 дцс сс(хс) " ' " ' " дс дс для каждого у е ГД(с) и каждого хе М(у,с),с >сш (6.71) где и (х,с) определяется в результате решения задачи минимизации пзсп (т„цс,Я„ср.7(х,и,с)) =(цс цс,цс„ср 7(х,и (х,с),с)).
Месс(хз) Очевидно, если (6.71) не выполняется, то тогда и при любом другом допустимом и е(С(х,с) неравенство(6.64) выполняться не будет. Поскольку (6.7!) справедливо для всех х е М(у,с), то оно будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняется соотношение тогда, когда за счет выбора управления и = и (х,с) е(С(х,с) обеспечивается выпол- нение неравенства вида Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления 295 )«„х.«,«у«,, ))+(«,у,— )+ — ю др) дч м(у, ) и(ху) " " " ду ду для каждого у и ГД(у) и каждого х и М(у,у),1 >!щ (6.73) Таким образом, получим, что неравенство (6.64) эквивалентно неравенству (6.73).
Это можно сформулировать как следствие к теореме 6.2. Следствие 6.1. Для обеспечения соотношения (6,62) для объекта (6,57) при ограниченных (6.58) достаточно, чтобы выполнялось неравенство (6.73), эквивалентное неравенству (6.64). Неравенство (6.73), не учитывает возможных ограничений на структуру закона управления. Если необходимо это учесть, то соотношение (6.64) приводится к виду, отличному от (6.73).
Действительно, допустим, что желательно, чтобы синтезируемый закон управления был реализован в виде (6.22), т.е. и=их(х,у) и(х,у), где параметр 7 и б и его значения определяют ту или иную структуру закона управления. Тогда, подставляя его в выражение (6.64), получим Ч щ Ч,хр 7(х,иу(х,у),у)у — ) ь — <О с др1 дч ду ) ду для каждого у и ГД(у) и каждого х и М(у,у),у > ущ (6.74) Очевидно, для выполнения (6.74) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (, .
у«..ч.,ь«) (,.— ) — ) др) др х«м(уу) " " " ду ду для каждого у в ГД(у) у>уа (6.75) Тем самым доказано следующее положение. Следствие 6.2. Для обеспечения соотношения (6.62) для объекта (6.57) за счет выбора допустимого закона управления согласно (6.58) желаемой (заданной) структуры (6.22) достаточно, чтобы выполнялось неравенство (6.75), эквивалентное в этом случае неравенству (6.64). В важном частном случае, наиболее часто встречающемся на практике, справедливо условие (7(х,у) =()(у) Чх В (у),у>у,, (6.76) где 0 (у) — область определения функции хр(х,у), т.е. множество допустимых значений управления У не зависит от текущего значения вектора состояния. Тогда без учета ограничений на структуру закона управления можно показать справедливость следующего утверждения.
Следствие 6.3. Чтобы для объекта (6.57) выполнялось соотношение (6.62) с учетом ограничений (6.58), (6.76) достаточно выполнения неравенства ° («,х.«,«у«))+(«„х,— )+ — о) др) дц ««ь(ху)*«м(уу) " " " ду ду для каждого у и ГД(у),у>ущ (6.77) являющегося эквивалентным неравенству (6.64). При этом будет справедливо следующее тождество 296 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть Н ппп шах (уу!р,У,<р у(х,и,!))=— ця!у(хз) %ем(уз) — шах ппп (т„!р,т„ср 7(х,и,!)) %ем(у э) Ве!у(ю) Ъ'у и ГД(!), ! >г,. (6. 78) Доказательство. Покажем эквивалентность неравенств (6.64) и (6.77). Действительно, пусть для некоторого н = и и (у(!) З ур, з7 „ср ! (х, и ( х, у), !)»- — ) + — < 0 с д!р ) дЧ дг) д! ту н ГД(!) и уух н М(у,!),! >уа.
(6. 79) Очевидно, данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда шах (У„ур,У„<р 7(х,в (х,!),!))+~У„у,— )+ — <О хем(уз) д! д! УуеГД(!),г=у,. (6.80) Если, например, (6.80) для некоторого и = йн(7(!) не выполняется, то для й не будет выполняться и (6.79). В свою очередь, для того чтобы существовало хотя бы одно управление и, удовлетворяющее (6.80), необходимо и достаточно, чтобы (ч,ду,д у(,, >)+(ч,~,— ) ° — о) др1 др циу(аэ) %ем(уэ) д! ! д! Уу Г~ (!), ! у,, т.е. должно выполняться неравенство (6.77). Таким образом, показана эквивалентность неравенств (6.77) и (6.64) в том смысле, что обеспечение неравенства (6.77) является необходимым и достаточным условием разрешимости неравенства (6.64).
'Покажем справедливость тождества (6.78). Прежде всего, заметим, что поскольку неравенства (6.77) эквивалентны неравенствам (6.64), и неравенства (6.73) также эк- вивалентны неравенствам (6.64), то отсюда следует, что (6.77) и (6.73) — эквивалент- ны между собой, каждое из этих неравенств разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо другое.
Для удобства дальнейших выкладок введем обозначение (у.,»=(ч,~у,д уь,,,»)+(ч,~,— ~ —. д!р ) дур ду, (6. 81) Рассмотрим неравенство а(у,х,и,!) < ош (6.82) шах шш а(у,х,и,!) <ос хам(уэ)нм/(гя) Чу н ГО(!), ! > у,, (6.83) где предполагается, что величина ая может принимать произвольное вещественное значение.
Очевидно, неравенство (6.82) имеет тот же смысл, что и неравенство (6.64). Аналогично тому, как были получены неравенства (6.73) и (6.77), находим, что (6.82) обеспечивается тогда и только тогда, когда разрешимо каждое из следующих нера- венств Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 297 ппп щах п(у,х,п,1) <пе юы/(х 1) хеи(х 1) Уу Г0(1), 1 > 1е (6.84) При этом, так же как (6.73) и (6.77), неравенства (6.83) и (6.84) будут эквивалентны между собой при любом значении а,. Допустим, что в общем случае щах ппп о(у,х,п,1) и ппп шах п(у,х,ц,1). (6.85) альм(хх) алых(хх) Ры!(%/)ьен(хх) Пусть щах ппп а(у,х,ц,х) =ах(у,1), %ем(хх) цмх(ь!) т(п шах о(у,х,ц,х) =о (у,1).
«еО ( к х ) ° ~ м(х х) Тогда согласно (6.85) (6.86) (6.87) о'(у,1); оа(у,1). Неравенства (6.83) и (6.84) примут вид о'(у,г)<ае Уу нГЙ1),1>1е (6. 88) (6.91) или, что то же самое, о'(у,1) =а*(у,1). (6.92) Из (6.91), (6.92) получим справедливость соотношения (6.78). Что и требовалось доказать, 6.2.4. СМЕШАННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПРИ СТРУКТУРНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА УПРАВЛЕНИЕ Выше было получено неравенство (6.75), учитывающее ограничение на структуру алгоритма управления.
Приведем его к более удобному виду. Аналогично тому, как введена была функция о(у,х,и,(), введем обозначение Зу.*, ) =(х,х~,~ х(,"(*.П. )) (~,х,— )— (6.93) х дг д1 Тогда справедливо следствие. Следствие 6.4. Для выполнения неравенства (6.64) на классе законов управления заданной, согласно (6.76), структуры необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство о*(у,1) <о-, УунГ0(1), 1>1,. (6.89) Предположим, для определенности, что а'(у,г) < о*(у,х). Тогда всегда можно указать такое значение се = пе, что а'(у,1) ое о~(у,1). (6.90) Но (6.90) противоречит тому, что неравенства (6.83) и (6.84) или (6.88).
(6.89) эквивалентны между собой для любых значений ое е 11, в том числе н для се = и,*, 1 Поэтому и неравенство (6.90) невозможно, а значит, несправедливо предположение (6.85). Отсюда следует, что обязательно должно выполняться равенство Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 298 пцп щах !пах о" (у,х,е)<0 'Еео уегц(!) «еМ(у,!) при е >ее, (6.94' и необходимо, чтобы (6.96) (6.99) пцп щах о',(у,е) <О, уеС уег0(!) Е >Ео (6.101) что эквивалентно (6.94). С учетом обозначенил (6.98) неравенство (6.97) примет вид щщ о~ (у, е) < О, е > ео уеС прн у и ГД(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
