Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(6.178) Ч„г,=М, О=(МТ)1, (6.!79) Нетрудно убедиться, что данная функння удовлетворяет требованию, прелъявляемому к Ц.), т.е обеспечивает взаимно. однозначное соответствие между Г0 н Г0, Отсюда находим, что ег =~Е+а(х)ЧгЧ'+Ч,а (Ч„Ч') ~ . (6.176) Выбирая достаточно произвольную функцию а(), можно задавать различные допустимые г() вида(6.174). В качестве г() в ряде случаев целесообразно использовать следующее выражение Ц)=Мх, (6.177) где М-пкн невырожденная матрица (за счет этого обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между ГД и ГД, ). Тогда Глава 6. Синтез бых систем автоматического п явления 313 При этом условием для выбора той или иной матрицы М является обеспечение неравенства бет М ~0. Полученные выше соотношения (6.171), (6.172) могут непосредственно использоваться для синтеза требуемых алгоритмов управления. Возможные подходы на их основе будут рассматриваться далее.
6.3.6. О пРОекциОннОвт пОДхОДе В 3АДАче ОБеспечениЯ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ Пусть так же, как и в предыдущих параграфах, рассматривается некоторое замкнутое и ограниченное множество Д(!), определяемое непрерывно-дифференцируемой функцией ограничения Ч'(х,!) . Обозначим через х(!) — действительную траекторию объекта, описываемого уравнением (6.57).
Через х(!) в данном случае обозначим некоторую проекцию (отображение) траектории х(!) на границу ГЯ!), т.е. х(!) в Гй(!), ! >то. (6.180) Отображение (проектирование) х(!) на ГД(!) осуществляется в соответствии со следующей зависимостью: х(!) =П(х(!),!), г>то, (6.!81) согласно которой предполагается, что для как!доге ! > то фиксированному значению х(!) на ГД(!) соответствует свое значение х(!) и наоборот. Кроме того, пк! вектор-функция т)() предполагается непрерывно-дифференцируемой.
Используя соотношение (6.136), определим уравнение для проекции х(!) и ГЯ!) . Для этого продифференцируем по времени правую и левую части данного уравнения. Имеем х = Чтт) х + —, дт) д! (6.182) х=(тт,т!) х- — . Согласно уравнению (6.57) из (6.183) следует, что х =((т,т)) ~7(х,и,!)- — =(57„т)) ~7(т!(х,!),и,!) — — ~. Если обозначить 1~(х,и,!) =(ту„т!) ~7 (т!(х,!),и,!)- — ~, дц1 то последнее уравнение приводится к виду х = (0(х,и,!), х(го) = хо ! ~ го (6.!83) (6.184) (6.185) го з ° заа где тт,ц — якобиан функции т!(). Поскольку функция П() предполагается взаимно-однозначной между действительной траекторией х(!) и ее проекцией х(!) и ГД(!), то текущей скорости объекта х должна однозначно соответствовать текущая скорость проекции х .
А это возможно только в том случае, когда !г,т) — невырожденная матрица. Таким образом, поскольку матрица к „т) — невырожденная, то из (6.! 82) получим Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 314 где хо определяется из условия *(ео) = П(х(Ео) Ео). (6.186) Однако из уравнения (6.185) не следует, что если х(1) — его решение, то в этом случае обязательно х(е) я ГД(1), оеЕ > Ео.
Это связано с тем, что при формировании уравнения (6.185) не учтены условия принадлежности х(1) к ГД(1) . Для того чтобы х(е) в ГД(1), 'оее > е, очевидно, достаточно потребовать, чтобы х(1о) в ГЯ~о) и че(х(е),е) =О оЕ>ео. Указанное тождество будет выполняться тогда и только тогда, когда на проекциях траекторий х(е) функция че() не изменяется во времени, т.е. должно выполняться уравнение ф =(У,Че,х)+ — =О, ЧЕ >1 .
дчl дЕ Тогда (6.187) с учетом (6.188) примет вид (6.188) х(1о) и ГР(1о) и (Ч,Че,х)+ — =О, 1>Ео. две дЕ (6.189) Поскольку х удовлетворяет уравнению (6.185), то (6.189) приводится к виду х(ео ) в Г0(ео) и (о,у,Яфк,в,Е))+ — =О, 1>Ео. дче дЕ (6.190) Отсюда с учетом (6.184) получим «(Ео) й ГД(ео) и У,яе,(У,Е)) ~ДП(х,г),в,Е) — — д+ — =О, ЧЕ>Ео.
дЕ Ц,) дЕ (6.191) Проанализируем выражение (бЛ91) относительно существования такой вектор- функции е)(х,4~ лля козорой траектория объекта, определяемая в соответствии с (б:181), удовлетворяет тем или иным требуемым ограничениям. Вообще говоря, соотношение (6.191) можно рассматривать в качестве некоторого уравнения относительно функции е)() .
Поскольку произвольную траекторию я(1) объекта (6.57) всегда тем или иным образом можно отобразить на заданную поверхность ГДЕ), то в общем случае обязательно существует, по крайней мере, хотя бы одно взаимно-однозначное соотвятствие определенным образом выбираемого вида, между траекториями я(е) и их отображениями (проекциями) х(1) на данной поверхности ГД(1).
Поэтому уравнение (6.!91) всегда должно иметь не менее одного решения ц() . С другой стороны, если уравнение (6.191) имеет хотя бы одно решение, то оно в силу соотношений (6.181), (6.183) характеризует взаимно-однозначное соответствие между я(е) и х(1) в ГД(1) . Следовательно, если уравнение (6.191) рассматривать относительно и(), то на всем множестве решений обязательно найдется такое, которое согласно (6.! 81) соответствует действительной траектории объекта (6.57).
Более того, можно утверждать, что если (о — множество решений уравнения (6.191), то произвольное решение П() и Ео соответствует одной и той же траектории Глава 6. Синтез бых систем автоматического л авления 315 х(г) объекта (6.57), определяемой согласно зависимости (6.18!) и находящейся во взаимно-однозначном соответствии с проекцией х(1) пГД(1), своей для каждого т1( ) и фэ . Действительно, справедливость данного утверждения следует из того, что уравнение (6.191) получено в результате эквивалентных преобразований (6.188) — (6.190), вытекающих из условия (6.187) и использования соотношений (6.182) — (6.185), справедливых только при взаимно-однозначных функциях г1(х,г) .
Причем, поскольку для обьекга (6.57) начальное состояние х(го) = х(г,хо), то ему соответствует своя траектория х(го) = х(г, го) . А согласно (6! 86) вектору хо соответствуст вектор хо и ГД(го), свой для каждой функции г1() и (о. В силу (6.185) для каждых хо и г)() определяется своя траектория хо пГД(го), 'ог>го. Следовательно, одной и той же траектории х(г) взаимно-однозначно согласно (6.18!) соответствуют проекции хо и ГД(го), определенного для каждой г1() я (о. Рассмотрим, каким образом можно задавать функции г)() . Пусть з)() выбирается в виде з!(х,г) = х+а(х,г)~7„у, х и ГД(г), (б.! 92) где а() — некоторая скалярная непрерывно-дифференцируемая функция, которая заранее не определена и характеризует близость (расстояние) действительной траектории х(г) от границы ГД(г) в каждый момент времени г ~ го. Очевидно, что в каждый фиксированный момент времени г > го произвольно за- данному вектору х = з)(х,г) и 1!" соответствует согласно зависимости (6 192) вполне определенный вектор х и ГД(г) и некоторое фиксированное число а(.) (для доказательства справедливости данного утверждения достаточно, чтобы множество Яг) было выпуклым).
Следовательно, г)(х,г) вида (6.192) обеспечивает взаимноодьозначное соответствие между х(г) и х(г) и может использоваться в соотношении (6.19!). При этом !7,г) = Е+а(х,г)Ч,ц~+Ч„у (Ч„а) Ь| б а — = — 17,у+а(х,Г) — 17,у = дг дг ' ' дг (6. 193) = — 17,р+а(х,г)к,~ — ~ да (дЧ/1 дг *~ д(3 д д (последнее соотношение справедливо в силу перестановочности операций — и — ). дг дх, Подставляя (6.193) в (6.191), получим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно скалярной функции а(.), которое в общем слу- 20* чае может не иметь аналитического решения. Для решения (6.!91) относительно а() должны быть заданы начальные краевые условия для а() .
Очевидно, они определяются из уравнения хо+а(хо 'о) Ч,Ч(хо 'о) с ко 316 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П где хо = х(го) — начальное состояние объекта (6.57). Причем, величина а(хо,го) = ао, как отмечено выше, определяется однозначно. Таким образом, уравнение (6.191) решается при наличии краевого условия а(хо го) =ао (6.195) где ао соответствует хо. Справедлив следующий результат. Утверждение 6.2. Уравнение (6.!91) при заданном законе управления и = и() и выбранной вектор-функции г1(х,!) вида (6.192) имеет единственное решение а(х,!), удовлетворяющее краевому условию (6.195).
Доказательство. Действительно, в силу существования взаимно-однозначного соответствия между траекторией объекта х(!) и ее проекцией х и ГД(!) уравнение (6.191) должно иметь не менее одного решения а(х,!). Допустим, таких решений несколько: а„(х,!), ч и )У, где А! — некоторое множество индексов, каждое из кото- рых такое, что а„(хо го)=ао зг~п А!.
Поскольку заданным ао и хо при != !, согласно (6.194) соответствует вектор хо, то всем решениям а„(х,!), ч и Ж соответствует одна и та же траектория х(!) объекта (6.57). Но выше было установлено, что при выборе ц(х,!) вида (6.192) каждому вектору х для фиксированного ! >го соответствуют свои единственные значения а и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
