Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В дальнейшем в качестве функций ограничения у,(х), ! =1,)( рассматриваются следующие функции у, (х,!) = -Е,(!)+ х„ (6.220) цю, (х,!) =-ц,(!)-х„ !Е!,п, соответствующие фазовым ограничениям вида 1х,) <~~,(!), !е(,п, ф!) — непрерывно-дифференцируемые неотрицательные функции. (6.221) дФ, дЧ~; ' дт', д», дхз д»„ 7' = Ах+ Вц'(!), и д (У,у„Т) = ) — ' Т вЂ” скалярное произведение векторов У,у, иу. зм 3 Тогда аналогично теореме 6.1 можно показать, что для обеспечения фазовых ограничений (6.217) достаточно выполнения следующего условия.
Следствие 6.8. Для объекта управления, описываемого уравнением (6.57) (или, в частном случае, (6.2! 5)), для обеспечения ограничения х(!) е Д(!) У! > ге, 6.4.2. ГеОв1етРические УслОВиЯ ОБеслечениЯ ФА30Вых ОГРАничений Рассмотрим применение теоремы 6.1 для случая, когда фазовые ограничения задаются в виде (6.217). Введем обозначения Глава б. Синтез бых систем автоматического п авлеиия где Я!) определяется согласно (6.217), достаточно выполнения неравенств 323 !Ч „г)+д'Р О д! 'Фх е ГЯ(!)П1 Я!), ! е1 т, ! > го.
(6.222) Го,п Рнс. б.а. Геометрическая смысл обеспечении фазовых ограничения Покажем, как в пространстве состояний )!" может быть интерпретировано данное неравенство. Допустим, что Чз,(х,!)=зр,(х), !н1,Х, (6.223) т.е. функции ограничения стацнонарны, отсутствует их явная зависимость от !. Тогда неравенства (6.222) приводятся к виду (зг,цз„у) < О 'Фх н ГЯПГД, ! н1,)(, ! > го. ' (6.224) Согласно определению (45), градиент51,зр, представляет собой вектор, ортогональный гнперплоскости, касательной поверхности уровня функции зр,(х) в точке касания.
Из определения ГЯ следует, что ГЯ является поверхностью уровня (нулевого уровня) функции зр,(х). Следовательно, в каждой точке х и ГЯ вектор зр,(х) будет ортогонален гиперплоскости, касательной к ГЯ в данной точке. Здесь гиперплоскости, касательные к ГЯ в точках х~, хз, являются прямыми. Но тогда (Г,зр, ортогонален к данной гиперплоскости и в каждой точке хи ГЯПГД. Из (6.224) находим, что обеспечение фазовых ограничений (6.217) согласно (6224) эквивалентно тому, что в каждой граничной точкезухнГЯПГД, !н1,7, вектор скорости х системы (6.57) или (6.215) должен быть направлен внутрь соответствуюшего полупространства Я" . Но поскольку в каждой точке х и ГЯПГД гиперплоскость Г является касательной к границе множества Д, а само множество Д ~ Гс", то получим, что х направлен либо внутрь Д, либо по касательной к его границе. В этом и состоит геометрический смысл условия (6.224), что отражено на рис.
6.8 для случая и = 2, г = 4. 324 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П ветствуюшая ему траектория х(0 хе) е Д(г) ч'г > се. При этом в й"' можно выбрать закон управления, обеспечивающий это включение. Если рассматривается сформулированная выше первая задача (6.218), то воспользоваться соотношением (6.222) можно следующим образом. Построим относительно заданного хе некоторую достаточно малую окрестность 0(хе), т.е. х, е 0(х,) ~ Д(ге).
(6.225) Аналогично тому, как было построено множество Д(г), г > ге, построим множество Д(бхе), г >ге, такое, что й(0 хе) ~ й(г), г > г~, (6.226) Д(ге, хе) = 0(хе). Тогда, применяя на множестве Д(0 хе) соотношение (6.222), можно решать задачу (6.218). Рассмотрим неравенство (6.222) применительно к линейной системе (6.215). Подставим в (6.222) вместо г" выражение из (6.215). Получим (У,у„Ах+Вц (~))+ — '<О, г>ге, дг тх е ГЯ(е)ПГЯг), (е 1,т, Отсюда находим (У,у„Ах)+ — '<-(~',у„Внг(~)), ЫхеГу,(г)ПГу(г), ' 1,)(, г>ге.
(6.227) Рассмотрим случай, когда ц'(1) ЕО, а множество Д(г) формируется на основе ограничений (6.221). Тогда (6.228) (У„у„Ах) < — — ' дЧ' д1 'ухе ГЯ (Г)ПГИГ), юе1 Х ГВГо (6.229) где А=[а,„] „",; )(=и — для функций ограничения вида (6.220), (6.221); ГД;(г), ГД, (г) — границы множеств Д'(г), Д (г), формируемых соответственно на основе функций у,'(х,г), ~у, (х,г) вида(6.220). Множество Яг) при г > ге является гиперпараллелепипедом и может быть представлено следующим образом (л = 2, рис.
6.9). Преобразуем неравенство (6.229). С учетом (6.220) получим 6.4.3. ОПРЕДЕПЕНИЕДОСТАТОЧНЫХУСЛОВИЙ НА ПАРАМЕТРЫ РЕГУЛЯТОРА. ЧАСТНЫЙ СЛУНАЙ ВкспОненцидльных ОГРАНИНЕНИЙ Неравенство (6.222) не зависит от выбора конкретного значения хе е Д(ге), т.е. если (6.222) выполняется, то, каким бы ни было начальное условие хе е Д(~е), соот- 325 'лава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 1' (6.230) ГО, Рпс. 6.9. Впв нолульных фвзовых огрвнпченпй Так как ~ и и и Ах = ~~ ~аых„~ ~аз„х„". ~а„„х„~ иы иы ны то с учетом выражений для Ч,Чс,', 5!,Чс, и (~7,Чг,',Ах)= ~а,„х„, иы (6.231) и (5!„ср,,Ах)= — ) ашх„, ге),п. иы (6.232) и ~апх„< ф(!) — аид,(!), ! > го, ! и),п, (х„! < с),(!); и=1 иис и а х„ < г),(!) — аог1,(!), ! > го, ! и 1, и, ~х„~ < с)„ (!).
(6.233) и=! Вектор х в неравенстве (6.222) рассматривается на участках границы ГЯе(!)ПГЯ(!), !и),п, т.е. если хиГД;ПГД, то х, =с),(!), )х„(<с),(!), пи),п11, ~ если х вГД, ПГД, то х, =-с)(!), (х„)<д„(!), чи),п1с( Подставляя (6.230) — (6.232) в (6.222), получим 326 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Очевидно, неравенства (6.233) преобразуются к виду л ~ ~а,„х„~ < су,(у) — а„су,(!), (6.234) гн),п, )х ) < !уч(!) сну,и!!, ! > !в, Следовательно, е Ю шах ( ~а„х„) = ~)й,„~!у„(!).
(х„(64у~ф ч ! и=! чю~ В результате (6.234) примет вид л ~~) (а,„)!у„(у) < !у,(у) - а„!у,(у), ч=! (6.235) (6.236) !е1,л, г>ус. Соотношения (6.236) в общем случае являются достаточными условиями для выбора закона регулирования, обеспечивающего ограничения (6.22!). Укажем частный случай, когда (6.236) являются и необходимыми условиями. Пусть !у,(у) = су;е, ! н 1,л, где !у, > Π— некоторые постоянные величины. Тогда х! получим ~ ~а,„~!у„е ~ !у,у!е — а„!у,е ч ! !н1,л, у>уе, , ')а,„~а'„<!у,(Х вЂ” а„), (6.237) !~1~и~ генуе Если система (6.211) стационарна, то неравенства (6.237) также будут стационарными. При этом согласно (951 ик можно рассматривать как необходимые и достаточные условия обеспечения экспоненциальных ограничений. Поскольку (6.234) должно выполняться для любых значений (х„! < !у„(!), т е!,и1!, то оно должно выполняться и для такого х, которое доставляет максимум левой части неравенства. Очевидно ( ) а,„х„(< , '(а,„х„~ = , '(а,„! ~х,~ < ) )а,„1!у„(!).
м=! м ! ч=! и=! чм м» чю~ мм Кроме того, при х„= !у„(г)зурна,„, те!,п)!, и л 1~) а,„х, / = ~~)а;„1!у„(у). Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления 327 6.4.4. АНАЛИЗ РАЗРЕШИМОСТИ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ Согласно (6.216) А = А+ВКС. Выразим элементы а,„матрицы А через элементы а,„, Ь,„, !гас, се„соответственно матриц А, В, К, С. Нетрудно показать справедливость равенства а а,„= а,„+ ~~6,~Аяесе„, гы иы !н!,л, ун1,л. (6.238) Подставив (6.238) в (6.236), получим следующую систему неравенств относительно элементов синтезируемой матрицы К И в ! а > а,„+ ) )',Ь,„(г„Ес4„9„(!) < сУ,(!) — а„+ ~, > Ь,„lсщсс„,(!), еы я=! 1=! я=! (6.239) !и!,п, Проанализируем условия разрешимости данной системы неравенств.
Из (6.236), (6.239) видно, что левая часть каждого неравенства данной системы является неотри- цательной. Следовательно, для разрешимости необходимо, чтобы и правые части неравенств также были неотрицательными. Кроме того, для различных задач, пред- ставляющих практический интерес, можно потребовать 9,(!) < О, ! В г„, ! и 1, л, (6.240) т.е. чтобы д,(!) были монотонно невозрастающими функциями. Таким образом, если выполняются неравенства (6.240), то из (6.236) следует 9,(!)-ад,(!)>О, ! 1,, г>г, аясУ,(!) < 9,(!), а„« — 'О, !и1,л, г>ге. 9, (!) 9,(!) Отсюда ! в а„+ З ) Ь,„ЬМс4„60, 4=! я=! ! и 1, л, ! > ге.
Неравенства (6.241) представляют собой необходимое условие разрешимости соотношений (6.239). Неравенства (6.239) проще обеспечивать, если матрица А имеет главную диагональ с доминирующими отрицательными элементами а„, ! и 1,ж Рассмотрим геометрическое условие разрешимости неравенств (6.239), которое для линейных систем может быть распространено на общий случай задания произвольных линейных ограничений. Действительно, пусть ограничения (6.217), задающие множество Д(!), являются линейными, те. цю,(х,!), ! и 1,т — произвольные линейные функции. Тогда Я!)— некоторый многоугольник достаточно произвольного вида. Ограничения также считаются технически реализуемыми, т.е.
соответствующий им многоугольник Я!) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 328 сжимается при т>то. Используя геометрические свойства соотношений (6.222) и известные результаты 129], согласно которым произвольная линейная форма с (У„Хг„7')+ — '~,)е!,у, на линейных ограничениях (6.217) принимает экстремальбг~ ные значения в вершинах многоугольника Д(г), аналогично рассмотренному случаю можно показать, что для разрешимости (6.222) требуется, чтобы в каждой вершине МС многоугольника Д(т) вектор скорости х системы (6.215) был направлен внутрь Ц(г) (см.
рис, 6.10). Рис. 640. Геометрическое условие разрешимости 4зазовыз ограниченна Если, например, для некоторого заданного з г(т) геометрическое условие разрешимости не выполняется в одной из вершин М (см. рис. 6.11), то обеспечить разрешиь1ость возможно путем деформации Яг) за счет изменения вершимы М. Рнс.
6.11. Деформация Яз) за счет изменения вершин 6.4.6. СИНТЕЗ ййСАУ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ Рассмотрим применение условий (6.222) нли (6.227) двя решения задачи построения МСАУ с заданными ограничениями на качество регулирования. Воспользуемся определением качества регулирования согласно 1104) и распространим его на случай многомерной системы.
Ограничения на качество регулирования примут вид лава б. Синтез бых систем автоматического п веления 329 — 9, (!) < х, ~ Ч,'(г), г и г,, сЕ1,п, (6.242) В достаточно общем случае рассматривается МСАУ, показанная на рис. 6.12. Рис. ОЛ2. Схеме сянтегнруемоа СЛУ Здесь: х=АхеВй; п=Кх,; х, =Сх; с=у-и; О=а. Отсюда получим уравнение МСАУ х = Ах+ Вя = Ах+ В(у-и) = Ах+ В(у — КСх) или х=Ах+Ву(г), х(го)=хо г>го А=А-ВКС. (6.243) Для рассматриваемого случая (6.243) соотношения (6.222) можно представить в виде (Ч,ср„Ах) < — '-(Ч,!Р„Ву(г)) Ч х е Г Д(г)1 1Г Я (г), ! > !о, ! е 1, Х. (6.244) С учетом (6.242) функции ограничения определяются согласно зависимостям: цг, (х, г) = х, -с)! (г) < О, (6.245) !р, (х,!) = -х, — д, (г) < О, се),п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
