Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ч„„О ... 0),ун!,(л-1). (6.333) Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авлеиия 347 Подставляя (6.337), (6.338) в (6.332), получим следующую систему неравенств относительно искомых множителей Яа„д, <р!д;+ , 'Р„д! + )",Р„9!, ,).Р. ,'~ а„9, -РЕчз+ ~Р, 9з+ ~.Р.
9з, (6,339) и-! (и-и ХР,~ Ха. Еи9, '~РЕ9." Е+РЕ9.'-! +РЕ9.' !), и=! г=! и-! ! и-и , 'Р„~ ч ~а„Е9,' ~рЕд„'. и! ~! Система неравенств (6.339) используется для непосредственного формирования допустимых фазовых ограничений, соответствующих фиксированной матрице А. Чтобы функция д(Е) была монотонно невозрастающей с учетом разложения (6.331), можно положить Р,(Е) и Р, е ! '! ! а!,н, 0<) <-3.',Р„>0. (6.340) Поскольку то система (6.339) может быть преобразована следующим образом и-! (и-и (и- ! Би„,(БВ д',) ~и, х+(Би,](х'+х)]иа,( З, и=! ~=! и ! (6.341) На основе решения данной системы определяются требуемые множители.
Система является линейной относительно рш, Р„о, т и 1,(и — 1), и ее можно решать многими известными методами 1701. Более того, поскольку Х < -Х', то Х+)!.' <0 и потому и-Е Евах 1РЕо)! ч" ~(Р о)(и +)~) Чое = РЕо)! 9ое о яйо-х' ~ и=! (6.342) 'Ее! и 1,и. Поэтому, если для некоторого 0 < )!. < -1!.' величины рю > О, Р„о > О, т а 1, (н — 1) являются решениями неравенств (6.191), то они также будут решениями следующей системы и-! (и-и ,)' Р о~~ "еи9о < РЕо2 '9ое 1=! ~=! (6,343) ! а1,и.
Отсюда следует, что можно решать более простую систему неравенств (6.343), а полученные решения затем проверять на удовлетворение ими исходных неравенств. При этом нетрудно видеть, что саму систему (6.343) достаточно просто решить. По!2* Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 348 скольку р о > 0 и бо > 0 у и 1(и-1) выбираются независимо друг от друга, то, задавая рш достаточно большим по величине, а б„о — достаточно малым, всегда можно обеспечить разрешимость (6.343). 6.4.12. КРИТЕРИЙ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ В соответствии с приведенным выше утверждением 6.4, для существования практически приемлемых функций ограничения Ч(г), обеспечивающих заданные фазовые ограничения вида (6.221), достаточно, чтобы существовала такая матрица К, которая бы обеспечивала выполнение неравенства (6.305). Рассмотрим вопрос о выборе матрицы К, для которой неравенство (6.305) разрешимо. Введем следующее определение.
Будем говорить, система (6.211) стабилизируема относительно ограничений (6.221), если существует хотя бы одна такая матрица К, для которой у матрицы А собственное значение Л' =Л'(К) удовлетворяет неравенству (6.305), т.е. Л' =Л'(К)<0. Тогда в качестве критерия стабилизируемости, с учетом введенного определения, можно рассматривать уравнение Л" = Л'(К) = 0 . (6.344) Таким образом, если обеспечивается соотношение (6.344), то система (6.211) является стабилнзируемой и для нее всегда можно выбрать такую матрицу К, что Л'(К) < 0 . Пусть а(Л) = деКЛŠ— А) = ао + а Л+ ... + а„~ Л" ' + Л" = 0 .
(6.345) Поскольку Л' является собственным значением матрицы А, то для проверки стабилизируемости системы (6.211) можно воспользоваться соотношением (6.345) при Л' =0 а(0) = серег(-А) = О. (6.346) Однако непосредственное решение (6.346) относительно К в общем случае связано с существенными трудностями.
При этом заранее не известно, является ли уравнение (6.346) разрешимым для рассматриваемой системы или нет. Рассмотрим другой геометрический полход к проверке выполнения критерия стабилизируемости, основанный на использовании кругов Гершгорина. Известно, что если в ограничениях (6.221) функции Ч, (г),(п 1, л, являются экспонентами с показателем Л, то достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица К, приводятся к соотношениям (6.237). Используя для этого случая обозначение Ч(Г) = Чое, где Чо =(о( Ыз - 1.]т в соответствии с (6.30!) неравенства (6.237) приведем к виду АЧое < ЛЧое или АЧо ~ЛЧо. (6.347) Это означает, что все круги Гершгорина б,(А), )п 1,п, для рассматриваемой системы расположены левее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку (Л, /.
0) на комплексной плоскости. Если положить Л = Л',Чо = Чо, то неравенство (6.345) приводится к виду Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авлення 349 Ачо =к Чо что эквивалентно следующему расположению кругов Гершгорина на комплексной плоскости, представленному на рис. 6.20. Рис. б.ЗВ. Круги Гершгорниа на компоиентак поаожнтсаьного собственного вектора йв + р, = 0,1 е 1, г!, 1 п ав+ — ! !1а, 1!Н„=О,! е1,л, г=! гдепредполагается,что ХшХ =О,а с(„мд„„,тв),л,р, мр;,ге),ж (6.348) Здесь: Р,' = — ~1й!„1до„,! е 1,л (Оо„,ъ в1,п — компоненты вектоРа до ); Чо! г=! Юй О,'(А), ! е 1,и — круги Гершгорина, соответствующие величинам Х' и ~уо . Согласно рис.6.20 все круги ~0(А), гв),л, имеют общую точку касания ()с', ! .0), лежащую на вещественной оси. При этом данная точка может находиться как в левой, так и в правой полуплоскости комплексной плоскости.
Отсюда нетрудно получить геометрический эквивалент сформулированного выше критерия стабилизируемости системы (6.211) относительно ограничений вида (6.221). Действительно, система (6.211) является стабнлизируемой, если каждый круг Гершгорина б;"(А), !'в 1,г!, построенный с помощью собственного вектора Оо, касается справа мнимой оси комплексной плоскости в начале координат (соответствует Х' =0). Очевидно, для того, чтобы проверить, выполняется ли данный критерий стабилнзируемости или нет, необходимо проверить разрешимость следующей системы урав- нений Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 350 Таким образом, геометрическое условие стабилизируемости эквивалентно разрешимости системы алгебраических уравнений (6.348). При этом система (6.348) решается одновременно относительно матрицы К, а также относительно собственного вектора с)о . Заметим, что если для проверки стабнлизируемости системы (6.211) использовать уравнение (6.346), то помимо вырожденности матрицы А, обеспечивающей (6.346), необходимо также потребовать, чтобы значение А=О имело лсаксималъно возможную собственную часть среди всех корней характеристического уравнения (6.345), кроме )с = 1.' = О . 6.4.13.
ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ УПРАВЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНЫМ СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ВХОДНОЙ-ВЫХОДНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим вопрос о том, каким образом может быть синтезирована матрица К, обеспечивающая фазовые ограничения (6.221) с помощью введенного в предыдущем параграфе критерия стабилизируемости и его геометрического и алгебраического аналогов. Воспользуемся тем обстоятельством, что для любых значений лехи матрицы К соответствующая ей входная-выходная матрица А обязательно имеет вещественное собственное )с' с максимальной вещественной частью. Притом, как было показано в предыдущем параграфе, если до — соответствующий ),' собственный вектор (всегда положительный), то на комплексной плоскости С круги Гершгорина 0;(А), ~ и 1, н, располагаются согласно рис.
6.21. Выше отмечалось, что собственное значение )с' = 3,'(К) непрерывно зависит от матрицы К. Поэтому, непрерывно изменяя величину матрицы К, можно добиться того, чтобы значение )' непрерывно изменялось (увеличивалось или уменьшалось). Это соответствует тому, что на вещественной оси комплексной плоскости С точка )с' непрерывно перемешается вправо или влево (см. рис. 6.21).
Вез Ко) Рнс. 6.2Ь Унраваснне собственным значением Л' Здесь: ); < ).; < ).'о — значения собственного числа )', соответствующие матрицам К„КНКо;)."о',Х,)."з' — скорости изменения величины ).' в точках )о,Л",,)сз в зависимости от матрицы К; С'(Ао),С'(А,),0"(Аз) — области Гершгорина при Ко К~ Кз. Глава 6. Синтез г бых систем автоматического п авления 351 Следовательно, собственным значением Л' можно управлять с помощью матрицы К, непрерывно перемещая его вдоль вещественной оси комплексной плоскости С. Тогда, если система (6.211) стабилизируема в смысле (6.344), то произвольную начальную величину Ле = Л'(Ке) за счет непрерывного изменения матрицы К всегда можно перевести в левую полуплоскость комплексной плоскости С по непрерывной траектории вдоль вещественной оси.
Обеспечив значение Л' = Л'(К) < О, далее можно продолжить поиск требуемой матрицы К, обеспечивающей ограничения (6.221), либо, в случае неразрешимости последних для заданной 9(г), попытаться отыскать ~у(г), наиболее близкую в том или ином смысле к 9(г), для которой (6.221) выполняются. Таким образом, для решения рассматриваемой задачи предлагается вначале перевести собственное значение Л' в левую полуплоскость комплексной плоскости С, а затем скорректировать выбор матрицы К и, если необходимо, функции д(г) .
Рассмотрим подход к решению задачи перевода Л" в левую полуплоскость плоскости С . Вначале необходимо найти начальное значение Ле, из которого осуществляется требуемый перевод. Выберем произвольную матрицу К = Ке и для нее опрелелим Ае =А+ВКеС и Ае Тогла Ле =Л'(Ке) — соответствующее собственное значение матрицы Ае, Значение Ле можно найти из решения характеристического уравнения (6.345) при А = Ае .
Однако при этом не обязательно вычислять другие собственные значе- ния. Аналогично 1611 можно утверждать, что если Ле — вещественный корень характеристического уравнения (6.345) с максимальной вещественной частью, то справедливы соотношения а1 1(Ц ) > О, /с и 0,(л -1), (6.349) где а~ '(Л) — Л-я производная многочлена а(Л) .
Таким образом, величину Ле можно определить как минимально возможное вещественное значение, удовлетворяющее неравенствам (6.349). Величине Ле соответ- ствует свой собственный вектор де = де (Ке), который можно определить в результате непосредственного решения следующего линейного алгебраического уравнения Ао'Чо =Лочо илн (ЛоŠ— Ао)чо =(). Определив указанным образом начальные значения Ле,де, можно решать тре- буемую задачу управления собственным значением Л" . Для одновременного нахождения начальных значений Ле,де, в отличие от предыдущей процедуры, рассмотрим численный подход, обеспечивающий сходимость к требуемым Ле, де' . С этой целью воспользуемся неравенством (6.347) Айа ~ Л9о, которое будет равенством только при Л = Л',9а = де .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
