Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Таким образом, неравенство (6.396) может рассматриваться, как критерий разрешимости соотношения (6.395), и быть непосредственно использовано для синтеза Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 361 требуемого (допустимого) закона управления, которое определяется в результате решения задачи минимизации ш)п а(х, в, г) = о(х, и (х, г),г), и~прей (6.398) х и ГД(г), г > гс, где ц (х,г) — решение задачи (6.398). Особенностью использования максминного неравенства (6.396) для синтеза управ- ления является то, что формируемый при решении задачи (6.398) закон и (х,г) будет иметь структуру, полностью определяемую видом множеств У(х,г) и фг).
Для синтеза закона управления й( ) желаемой (заданной) структуры, вообще гово- ря, отличающейся от структуры в ( ), целесообразно использовать непосредственно соотношение (6.395). Получим соответствующие этому случаю условия на желаемый закон управления. Пусть и = й( ) — некоторый закон из заданной шкалы структур !э, т е. й ( ) и !э . Тогда, согласно (6 390), (6 39! ) й ( ) можно представить в виде й()=в (х,г),«е!,Ф.
(6.399) Будем считать, что принадлежность й() тому или иному элементу !эС,«и !,й', шкалы структур !э допускает параметрическое представление, т.е. произвольный элемент в~ (х,Г) е 1ЭС, «е 1, У в (х,Г) = й(х,у,7),«и!,Ф имеет вид (6.400) где у — У! х! векторный параметр, принимающий значения на некотором множест- 4 ве 64 у" ибС, «и!,Ф. (6.401) Таким образом, тот или иной желаемый закон управления будем искать в виде й() =Й(х,у,г), «и!,)т'.
(6.402) Для рассматриваемого закона управления соотношение (6.395) примет вид а(х,й(х,у~,г),г) = й(х,у",г) < 0 ЧхиГД(1) и хотя бы одного у" иб~, для которого й(х,у,г) и У(х,г), г > ге. (6.403) Введем множества У =(у~ нб„; й(х,у~,г)иУ(х,г) ч'хей(), г>г,), (6.404) полученные в результате пересчета исходных ограничений на управление (6.378) непосредственно иа ограничения для параметра у, определяющего вид структуры управления. Тогда вместо (6.403) получим следующие соотношения й(х,у",г) <0 Х'х иГЯ!) и хотя бы одного у~ ибс, !<ге, 362 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П (6.407) ш)п й'(у",г)! > гс. (6.410) ! еп! Тогда критерием разрешимости (6.395) относительно закона управления желаемой структуры, с учетом (6.407), является следующее соотношение ш)п шах б(х,у~,г) и О, г > гс, (6.411) угеп! !~ГО(!) где индекс г, н 1,!У может выбираться произвольным в зависимости от желаемой структуры синтезируемого закона управления.
обеспечивающего синтез требуемого управления. Допустим, что для некоторого 7" = 7~ н б„выполняется неравенство В(х,у",г) < 0 ЧхнГД(г), г>г,. Поскольку (6.406) справедливо для любого х н ГЯг), то (6.406) будет выполняться и для того вектора х н ГД(г), на котором б(х у~,г) принимает максимальное значение на границе ГД(!), т.е. шах Ь(х,у",г)=д'(7",г) <О, г>гс. ЗегО(!! Нетрудно видеть, что неравенства (6.406) н (6.407) эквивалентны друг другу, т.к.
из выполнения одного из них следует выполнение другого, и наоборот, если одно не выполняется, то и другое также выполняться не будет. Воспользуемся соотношением (6.407) для получения критерия разрешимости (6.405). Согласно (6.407) параметр ус = у" определяет закон управления вида (6.402), для которого обеспечивается соотношение (6.395). Пусть на множестве б„выбран произвольный параметр у" .
Для него, аналогично (6.407), можно определить функцию Ь'(у~,г), для которой проверяется выполнение неравенства б'(ус,г) <О, г а г,. (6.408) Данное соотношение можно непосредственно использовать, чтобы проверить, обеспечивает ли управление (6.402) с данным 71 требуемые фазовые ограничения. С учетом (6.408) условие (6.405) можно представить в виде 37~ н 01, для которого (6.409) Ь'(у",г)~О,г ~г,. Тогда соотношение (6.409) целесообразно использовать в качестве критерия выбора требуемых параметров у" . При этом следует иметь в виду, что (6.409) проверяется для каждого выбираемого тем или иным способом у" .
Если указать способ перебора параметров 7" нбвд для проверки выполнения (6.409), то данное соотношение рассматривается, как критерий разрешимости условия (6.395) относительно желаемого закона управления на заданной шкале структур (о . В частности, в качестве возможного способа перебора 71 н бс является перебор ух (формирование минимизирующей последовательности у" ) в соответствии с задачей минимизации Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 363 Действительно, пусть для некоторого Р, е!,М намножестве 01 найдется такой параметр Тн, для которого выполняется соотношение (6.411).
Отсюда следует справедливость (6.409), а значит, и (6.407). Значит, найдется такой закон управления й(х,у",1), для которого обеспечиваются неравенства (6.403) или (6.395). С другой стороны, если на множестве 01 неравенство (6.411) не выполняется, то это означает, что для любого Т~ е О! о (у~,г)> пип о (у~,г)>0 г~ нО для некоторых моментов времени Г > гв. Отсюда следует, что ту е 01 так б(ху~,г) >О для некоторых г >ге, те, для т1 001 каждого Т е0 в данные моменты ге!в обязательно найдутся такие векторы х е ГД(г), для которых (6.403) не выполняется (а значит, и (6.395)).
Поэтому синтез желаемого закона управления й(х,ун,г) на основе (6.395) или (6.403) осуществить нельзя. Таким образом, показана справедливость следующего утверждения. Утверждение 6.7. Для разрешимости соотношения (6.403) относительно закона управления желаемой структуры й(х,у",г) на заданной шкале структур (э необходимо и достаточно, чтобы обеспечивалось минимаксное неравенство (6.41! ). Для решения полученных неравенств: максминного (6.396), не учитывающего ограничения на структуру управления, или минимаксного (6.411), обеспечивающую желаемую структуру управления, можно, в частности, использовать известные численные процедуры решения подобного класса задач, изложенные в [39, 150). Однако данные процедуры в общем случае могут быть достаточно громоздкими (трудоемкими) лля рассматриваемой системы, поскольку непосредственно не учитывают ее свойств, позволяющих более эффективно решать поставленную задачу.
Поэтому далее предлагаются новые подходы к решению неравенств (6.396), (6.411) с учетом свойств системы (6.376). 6.6.3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ Рассмотрим решение задачи синтеза законов управления, обеспечивающих вы- полнение неравенств (6.396), (6.41!). Для этого вначале требуется сформировать функцию о(х,в,г) согласно соотношению (6.394).
Подставив в (6.394) выражения (6.393), получим о(х,и,г) = (2М(г)х, Ах+ Ви)+ (х, М(г)х)-г)(г) = = 2(М(г) х, Ах)+ 2(М(г) х, Ви) +(х, М(г) х)-ф(1) = (6.412) =2(А М(г)х,х)+2(В М(г)х,и)+(М(г)х,х)-ф(Г)= =((М(!)+2А М(г))х,х)-ь2(В М(г)х,и)-г)(г), где использовалось равенство (г,Фх) =(Ф г,х), х е 11", г е 11', Ф -! х и матрица (! - произвольное положительное целое число). 364 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Для упрощения дальнейших выкладок целесообразно ввести следующее обозначение ч=ч(х,г)=В М(у)х, (6.413) (6.416) ш(п (ч,в).
НнУ(н,!) Но поскольку (ч,в) — линейная по переменному в функция, то свои экстремальные значения она принимает, только на границе множества (У(х,у) (29). В результате окончательно задача (6.419) приводится к виду т!п(ч,в) Н при (в,Ьв)-р=О (Ь=Ь(у),р=р(!)).
(6.420) с учетом которого о(х,в,г) = ((М(г)+2А М(г))х,х)+ 2(ч,в)-!у(г) . (6.414) В том случае, когда управление синтезируется в виде (6.402), функция о(х,в,г) принимает вид й(х,у",!)=((М(г)+2АтМ(г))х,х)+2(ч,в(х,у",г))-!у(!). (6.415) В важном частном случае в(х,у",!)=К хх, где К„- и! х и матрица обратной связи, которая, например, в зависимости от индекса г,, имеет вполне определенное число изменяемых коэффициентов. После подстановки (6.416) в (6.415) или (6.412) получим В(х,Кс,г) =((М(у)+2А М(г))х,х)+2(В,М(е)х,К~х)-!у(г) = =((М(г)+2А М(г))х,х)+2(К~В М(г)х,х)-!у(г)= (6417) =((М(г)+2(А +КтВ )М(у))х,х)-су(г).
Воспользуемся выражениями о(х,в,г) и В(х, К„,у) для решения соответственно неравенств (6.396), (6.411). Вначале рассмотрим решение задачи синтеза без учета ограничений на структуру управления. Для этого докажем справедливость следую- щего результата. Лемма 6.1. Решением задачи минимизации (6.398) при используемых предполо- жениях о Ь(у), р(х,г) является закон управления следующего вида ! в=в (х,г)= — ', Ь (г)ч. рз (х,г) (6.418) (Ь ' (г) ч, ч)з Доказательство.
Из выражения а(х,в,г) согласно (6.414) следует, что (6.398) можно свести к следующей эквивалентной задаче ш(п о(х,в,г)=((М+2А М)х,х)-!у+2 т(п (ч,в), ннУ(нз) ННУ(%,!) т.е, решается задача Глава 6. Синтез г ых систем автоматического авления 365 Для решения задачи (6.420) воспользуемся методом множителей Лагранжа (19). Введем лагранжиан Ь(н,р) =(9,н)+р((н,Ьн)-р), где р — скалярный множитель Лагранжа. Используя необходимое условие экстремума (!12„Ь = 0), находим соотношение 17„Ь = ч+2рЬн = 0. (6.421) Поскольку бе! 1. и О, то из (6.421) следует н= — Ь ч. 1 (6.422) 2р Подставляя данное выражение в (6.420), определим р 1 (Ь |ч, ч) 1 (Ь ч, ч) Р!=2 У Рг= 2 ь' Заметим, что полученные величины определены !2'чав".
Действительно, т.к. ! р>О,товеличина рг определена. Крометого,из Ь>0 следует,что 1. симметричная и положительно определенная (Ь ' > 0) матрица. Поскольку Ь вЂ” невырожденная матрица, то !2хнН" вектор Ьх пробегает все пространство Я", 'т.е. Ь > 0. Тем самым показано, что выражения для р,,р, определены !2'ч н Н . Чтобы определить истинное значение множителя Лагранжа, подставим р,, рг в выражение (9, н) с учетом (6.422).
В результате получим, что минимальное значение (ч,н) достигается при р = р,, т.е. пг)п (ч,н)=(ч,н )=-р)2(ч,Ь ч)'2, где 2 н=и (х,!)= —, Ь |ч (Ь 'ч,ч)2 Что и требовалось доказать. Полученное в результате решения задачи минимизации (6.398) управление н (х,!) вида (6.418) является требуемым синтезируемым законом управления, удовлетворяющим максминному критерию (6.396). Однако, чтобы для данного закона обеспечивались фазовые ограничения (6.377), его необходимо проверить на выполнение неравенства(6.399).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
