Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пусть Глава 6. Синтез бых систем автоматического авления 375 Лемма 6.5. Матрица Р М 'Р— симметричная и положительно определенная в )1",т.е. РтМ ~Р, если М >О. Можно записать (М ~'и, о) > О 'ФЬ е Н '110~ . (6.467) Тогда справедлива лемма. Лемма 6.6. Для положительной определенности матрицы Р М 'Р достаточно, чтобы выполнялось условие НсН+.
(6.468) Данная лемма дает более общие условия положительной определенности матрицы Р М 'Р, которые, однако, являются только достаточными. Далее потребуется также использовать следующий результат. Лемма 6.7. Характеристическое уравнение (6.469) где Р— симметричная вещественная матрица, Р > О, Р = Е, имеет неположительт ные корни тогда и только тогда, когда вещественная матрица Е неположительно определена, т.е. когда Р < О. Приведенные выше леммы позволяют сформулировать результат о разрешимости неравенства (6.463).
С этой целью проведем некоторые преобразования. Рассмотрим неравенство (6.463). Для х н КегВ М с учетом 6.4 получим х=М Р2, хезг Тогда (Бх,х)=(БМ 'Рх,М 'Ря)=(Р М 'ЯМ 'Рх,х),~ (х,Мх)=(М 'Рх,М М 'Рх)=(х, Р М 'Рх). ( (6.470) Поскольку Н вЂ” подпространство )г", то последнее неравенство рассматривается не на всем пространстве Я", а только на некоторой его части (подпространстве Н). Поэтому вобщем случае возможно, что М ' >0 (т.е. Мз~О), но при этом М имеет также свойства, при которых (6.467) выполняется, а значит и в этом случае Р М 'Р . Выясним более общие условия, при которых выполняется неравенство (6.467), и при этом, возможно, М Ф 0. Известно, что у произвольной симметричной матрицы М ' Э 0 собственные векторы т,т,...,т" образуют базис (т'~ы в пространстве )1" [24].
Пусть 1х„1е 1,п — собственные значения М ', соответствующие данным векторам (т.е. М т' = 1х,т', где р, е О,УН е 1,п в силу невырожденности М ). Выделим положительные р„'>О,ивН', и отрицательные р, <О,зеФ, собственные значения (здесь Ф' и Ф вЂ” непересекающиеся подмножества индексов, причем Ф'ОЮ =11,2,...,п)), которым соответствуют собственные векторы т,",чей' и т',з е Ф . Согласно 197) каждое из множеств ~т" ~„,н, и (т' ~„н. представляет собой совокупность линейно-независимых векторов, на основе которой может быть образовано соответствующее подпространство в Я" Н' и Н, т.е. Н'+Н =11".
376 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !! С учетом (6.470) неравенство (6.463) примет вид шах~(Р М 'ЯМ 'Ря, а) — ф~ <0~ при (я, Р М 'Ря)-4=0, з>гв. (6.471) Анализ разрешимости задачи (6.471) основан на следующей теореме 178). Теорема 6.6. Для разрешимости неравенства (6.471), эквивалентного соотношению (6.463), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее матричное неравенство Р ] ХА +А1З(-(Х+р'Х)]Р< 0, (6.472) ц <2-,7н!,г.
(6.474) э Обозначим р=2р. Составим для матрицы (6.473) характеристический много- член. Имеем ~ ~[ДŠ— (Р М Р) Р М (Б+Б )М Р]= ДŠ— (Р М Р) Р М (М+А М+МЖ)М 'Р]= м — (Р м 'Р) Р м '1м 'мм '+м 'А +Ам ')Р]. = 2дег = 2 без (6.475) Введем обозначение Х = М ', с учетом которого получим Х= — М ' =-М 'ММ ' й (действительно, это следует.из тождества О- =— Е= — 1М.М ')=М вЂ” М '+ — М М ' =ММ+ММ ). ~й й~ ~ ~й ~~й Используя новую переменную (6.476) выражение (6.475) приведем к виду где М=М >О, ц При этом неравенство (6.472) является достаточным условием разрешимости поставленной задачи синтеза для системы (6.376) при ограничениях (6.377), (6.378).
Доказательство. Рассматривается неравенство (6.471) аналогично неравенству (6.434), разрешимость которого устанавливается на основе теоремы 6.1. Поэтому результаты данной теоремы можно непосредственно применить к неравенству (6.471). Тогда с учетом леммы 6.5 непосредственно получим, что для выполнения (6.471) необходимо и достаточно, чтобы собственные значения р,у' а 1,г матрицы (Р М 'Р) (Р М 'БМ 'Р+Р М '$ М 'Р)= (6.473) =(Р М 'Р) Р М '(8+В~)М 'Р, удовлетворяли неравенствам Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 377 [кк+к'к — (Р яа) Р (-к+на +кк)Р1= [ка — (Р ка) (-к'Р ка+Р (-к ° кк +Ак)Р]] [ка — (Р ка) Р [кк +Ак — (к+к'к)]Р].
(6.477) Рассмотрим характеристическое уравнение ~[ка-(Р ка) Р [кк +кк — (а+к' ° )]а[=О. (6.478) С учетом (6.474), (6.476) получим, что корни уравнения (6.478) должны удовлетворять неравенствам 1 ]'9'] Н =Н -Н =-Н вЂ” — <О,/в1,г г ' (6.479) + А)к) — ()ч) + Н')к()~ Р— симметричная, то Поскольку Р МР > О, а 24 Зак. 366 согласно (6.479) и лемме 5.7 следует, что матрица Р [ХА +А)ч)-(Х+Н Х)1Р— неположительно определенная, т.е. справедливо неравенство (6.472). Тем самым показана справедливость утверждения о необходимости (6.472) для разрешимости (6.463), а поскольку выполнение (6.463) дает лишь достаточные условия для разрешимости поставленной задачи синтеза лля системы (6.376), то это означает, что и (6.472) также дает только достаточные условия разрешимости.
Тем самым теорема доказана. Теорема 6.6 рассмотрена для случая, когда М > 0. Если же М Э О, то насколько являются справедливыми результаты данной теоремы? Можно ли и в этом случае и каким именно образом пользоваться матричным неравенством (6.472)? Поскольку теорема 6.6 основывалась на использовании соотношения (6.463) леммы 5.3, то нетрудно убедиться, что неравенство (6.463) будет выполнятся независимо от положительной определенности М, т.е. она справедлива и при М > 0. Другим используемым при доказательстве результатом было условие Р М 'Р > О, которое, согласно лемме 5.6, будет выполнятся и при М )г О, если только обеспечивается (6.468).
Кроме того, справедливость теоремы 5.3 основывалась на лемме 5.7. Из анализа доказательства данной теоремы видно, что согласно лемме 5.7 следует неравенство (6.472). При этом специально не требовалась положительная определенность М. Поэтому неравенство (6.472) справедливо в обшем случае, в том числе и тогда, когда М >О, т,е. неравенство (6.472) при обеспечении разрешимости задачи синтеза должно выполняться для любых симметричных иевырожденных матриц М .
Но если М )к О, то совместно с (6.472) должно рассматриваться условие (6.468), определяюшее выбор возможных матриц М . Таким образом, неравенство (6.472) является критерием разрешимости задачи синтеза без учета ограничений на структуру алгоритма управления. Рассмотрим, при каких условиях разрешимо второе неравенство (6.462), учитывающее структурные ограничения. Воспользуемся выражением (6.429) для 84(г) . Тогда 378 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 ($1х,х)=[[М+2(А +КтВ )М[х,х)= =[Мх,х)+[(А +К~~В )Мх,х)+[М(А+ВКС)х,х)= = ((М Ае+ А1М)х,х)ь[Мх,х), (6.480) где Ас - — А+ВК„ Согласно [27), если А1 — устойчивая матрица, то всегда можно выбрать такую матрицу М1 > О, что -т й1 = М4А4 + Аг М1 < 0.
Тогда, выбирая м=бм», где [) > О, можно обеспечить неравенство В=ВВ1«0 за счет соответствующего значения б»0. Тем самым обеспечивается выполнение второго неравенства (6.462). Таким образом, одним из возможных условий разрешимости (6.462) является сгяабилизируемость системы (6.376) (т.е. обеспечение устойчивости матрицы А~) на множестве матриц обратной связи К1 заданной структуры. Заметим, что анализ разрешимости (6.462) возможен и в более общем случае при учете структурных ограничений. Рассмотрим важный частный случай, когда М и г) — соответственно не зависящие от времени матрица и вектор. Тогда Х=О, р'=0, где Π— пхп нулевая матрица (случай стационарных фазовых ограничений).
В этом случая условие разрешимости (6.472) примет вид [341 %~=Р УР<0, где У=ХА +АХ. (6.481) Образуем множество б = (х н Я": (х, Чх) < О) . (6.482) Справедлив следующий результат. Лемма 6.8. Для выполнения неравенства (6.481) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение КегВ = Н ~б. (6.483) Очевидно, когда Ч < О, то О = Я", и (6.483) обеспечивается, поскольку И ~ Я" = О. Из теории устойчивости известен результат А.М. Ляпунова [15), согласно которому ХА +АХ=У<0 и Х>0, то матрица А должна быть устойчивой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
