Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Известно [71), как эти собственные значения выделяются. Рассмотрим случай, когда С и Е. Тогда в выражении (5.137) А,, В,, К, С, -гхг,гхт,тх1,!хг матрицы. Можно также потребовать, чтобы матрицы А,, В,, С, обеспечивали стабилизируемость Аы. Однако, если гап1с С! =г, то стабилизируемость А,, определяется только парой (А,, В,). 6.6.
СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ [з)-РОБАСТНЫХ) СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО НЕПОЛНОМУ ВЕКТОРУ СОСТОЯНИЯ Покажем, как формируется закон управления, если система находится под некоторыми внешними воздействиями. В этом случае уравнения состояния имеют вид х= Ах+Вн+Ъч, х(гс)=хм г>гш (6.511) где ч-гх! вектор возмущения; 0 = Р(г)-нхг матрица. Кроме того, задано уравнение выхода (измерения) системы х, =Сх, (6.
512) х, -!х! вектор выхода(измерения); С= С(!)-!хп матрица. О возмушении ч = ч(!) предполагается, что это либо некоторая заданная (известная) вектор-функция, либо вектор, являющийся элементом заданного множества К = 1'(!) ~: )!', т.е. Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 385 «(г) и(а), а~го. (6.513) Считаем, что ограничения накладываются непосредственно на вектор выхода у, т.е. хв = Сх е Д(г) ага > ао, (6.514) где 0(г) = (хв н в» ' Ча(хв г) = (хв хв,Мв(хв хв)) ва(а) < 0~. Здесь! х1 матрица М(г) > 0 и скалярная функция ау(а) > 0 имеют тот же смысл, что и в рассмотренном выше случае, а х, = х,(г) — некоторый 1х1 вектор, который о о может быть задан в виде известной вектор-функции, либо выбирается произвольно на некотором заданном множестве Х, =Х, (а) с В, т.е. хв (г) н Хв (г) «а > го Ограничения на управление имеют вид и= в()нУ(ха) «х, =СхнД(а), г>го, (6,516) где (7(х,г) = (в н аа:(н-и~,Е (н-и~))- р(х,а) <0~.
н'(а) н(7'(г) ~а > го. (6.517) Пусть х = х (г) -л х! вектор-функция, являющаяся решением уравнения о о Сх = х„ (6.5! 8) которое предполагается разрешимым. В достаточно общем случае (6.518) разрешимо ие однозначно. Тогда в качестве хо(а) можно использовать произвольное решение (6.518).
Введем переменные х=х-х, Й=н-н, х,=х,— х,. о - о * о (6.519) Тогда уравнения (6.511), (6.512) приводятся к виду х = Ах+ ВО+а!, хв Сх х(го) хо хо х (ао) г > го (6.520) где а)=а!(а) =-х (а)+Ах (г)+Ваа (а)+В«(а). Ограничения на векторы выхода и управления сводятся к следующим (6.521) х = х(а) н Д(а) = (х н Я": ау(х,а) =(х,Мх)-а)(а) < 0~, а >го М = С МС (в общем случае М > 0); Й = Й( ) н О(ха) = (Й н Р: (й, ЬЙ) - р н 0) при х н Д(а), а > а,, р= р(х,г) = р(хч.х (а),г); (6.522) (6.523) где Здесь но = во (г) — некоторый т х1 вектор, который либо является заданной вектор-функцией, либо выбирается произвольно на некотором заданном множестве и' = и'(а) Я, 386 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 Й =Й()=Кх,+Кх,-ц . Тогда, аналогично предыдущему, получим а(х,й,г) =(У„.ф,Ах+Вй+Ч)+ — = дц/ дг =(х,(М+2А М)х)+2(В Мх,й)+2(х,Мз))-ф И требуемый закон управления, определяемый в результате решения задачи минимизации, рассмотренной выше, имеет следующий вид !/2 ц — ц (х,г) — — Ь В Мх. (6.526) (Ь-'В'Мх, В'Мх)"' Тогда для обеспечения линейности синтезированного закона (6.526) следует по- ложить (6.525) р(х,г) =(Ь ~В Мх,В Мх). В результате чего получим й (х,г)=-Ь- В'Мх. (6.
527) Согласно (6.519) ц -ц =-Ь ~В Мх. Отсюда, с учетом выражений для х (6.5!9), М (6.522), находим, что ц -ие =-Ь 'В С МС(х-х )=-1. 'ВтСтМСх+ +Ь 'В С МСх =-Ь 'В С Мх, + 1, 'ВтСтМх',. Обозначим К =-Ь 'В С М. Тогда в -ц~ = Кх, -К хе. Если, например, положить (6.528) (6.529) „е К-хс (6.530) то требуемый закон управления, удовлетворяющий ограничениям (6.516) и являющийся линейным, имеет вид ц =Кх,. (6.531) В общем случае, согласно (6.529), и =К х,+це — К х~„ (6.532) где (ц~ — К х~) — некоторая известная т к! вектор-функция, формируемая с учетом ограничений (6.515), (6.517). При этом це(), х,() можно выбирать в соответствии с (6.515), (6.517) так, чтобы обеспечить заданные фазовые ограничения. Рассмотрим случай, когда ц ( ) имеет вид (6.531).
Тогда, как показано выше, для выполнения ограничений (6.514) должно рассматриваться следующее неравенство зцр а(х,й (х,г),г)<0 Ф >Во (6.533) ««ГО(«) где функция а(х,й,г), получаемая путем подстановки закона (6.527) в выражение (6.525), имеет вид лава 6. Синтез бых систем автоматического п авления а(х,в (х,г),г)=(х,8х)+2(х,МЧ)-д. Здесь 387 (6.534) 8=М+2А М-2МВВ 'В М.
Таким образом, задача (6.533) с учетом (6.534) принимает следующее выражение зцр ~(х,8х) + 2 (х, Мз))- д~ < О я (6.535) при (х, Мх)- и = О, г > ге, отличающееся от соответствующей задачи максимизации для системы с квадратичными ограничениями тем, что в выражении максимизируемой функции а (х, г) = а(х, в (х,г), г) имеется дополнительное слагаемое 2(х, МЧ). Поскольку максимизация осуществляется на неограниченном множестве ГД(г) (в силу вырожденности матрицы М ), то вначале необходимо определить условия, при выполнении которых задача (6.525) имеет решение.
Для определения условий существования введем следующие обозначения: Й = Кег М вЂ” ядро матрицы М; Й вЂ” подпространство в й", являющееся ортогональным дополнением ядра Й, т.е. Й Ю Й = й", 9 — знак прямой суммы надпространств. В подпространстве Й сформируем произвольный базис (р,)",, из элементов которого образуем иху матрицу ~Р1Рз Р Произвольный элемент х в А" можно однозначно представить в виде суммы х=х +х, (6.536) (х, Мх) =(х',Мх'), (х,бх) =(х',8х')+(х',(8+8~)х~)+ — (х,(8+8~)х~), здесь необходимо учитывать, что — (х,(8+8 )х )=(х,бх ), (х,(8+8 )х )=(х,8х )+(х,8х )), (х,МЧ) =(х',Мц). (6.537) Используя (6.537), приведем (6.534) к следующему выражению где х'вЙт, х'вЙ. Преобразуем задачу (6.535) с учетом представления (6.536).
С этой целью подставим (6.536) в выражение (6.534). Нетрудно показать, что, с учетом определения х', х~, после подстановки и соответствующих преобразований получим соотношения: 388 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П о(х,в (х,г),г)=о (х,г)=о (х'+х',2)=(х',бх')+ +(х~,($+8~)х )+ — (х~,($+Б~)х )+2(х',Мэ))-ф= -о-(х1 2)+(ххм (б+8т)„2)+1(„2 (8+от)х2) Тогда задача максимизации (6.535) принимает вид -[-(' ) ('("")') -'('(*")')1- при (х,Мх ))-е)=0, 2>ге. /-~ (6.538) (6.539) Из (6,539) с учетом обозначения ГД' (2) = (х' и Й: (х', М (2) х' ) = е)(2) ~ получим эквивалентное выражение задачи максимизации .",[-(' ) (' ("") ) -'(' ("")')1= = - (.-~' ) ° ('("")') -'(' ("")')1' е егО О) Е еН (6.540) Нетрудно показать, что задача максимизации произвольной непрерывной функции О(х~, х2) на некотором множестве Я, которое можно представить в виде (6.541) Действительно, для каждого фиксированного х и Я, можно определить величи- "1 ну зцр 0(х',х ) >0(х',х ) 'Фх~ иЯ2.
Е Енг 3 Тогда значение шах зцр 0(х,х )>0(х,хз) 'Фх~ иЯ,,Чх иЯ2, е еи~ е ене 1, .1 т.е, соответствует абсолютному максимуму функции 0(х',х2) на множестве Я и потому является решением задачи максимизации. С учетом (6.541) задачу (6.540) можно представить в виде ьор ~а (х',2)+(х',(б+Ят)х )+-(х,(8+от)х ) = Е ЕН =шах~о (х',2)+ зцр~(х,($+$~)х')+ — (х,(8+Я~)х ) <О 2 (6.542) при (х', Мх' ) — «1(2) = О, г > ге. Согласно (6.542) вначале решается задача Я Я1 ХЯ2 где Я,,Я2 — заданные множества, такие, что х иЯ,, х иЯ2 и Я, — ограниченное "! "2 множество, удовлетворяет условию ацр 0(х|,хз)= шах зцр 0(х1,х ). Е Ен> Е'Еи~ Е ЕНЕ Е ЕИЕ Глава 6. Синтез ых систем автоматического п авления 389 ацр (х,(Я+Я )х )+-(х,(Б+$ )х ) Т 2 1 "2 я 2 (6.543) а затем осуществляется минимизация по х' е ГД'(г) .
Поскольку 8~ 8т 2(М+А М+МА 2МВЬыВ М) (х,Мх )<О Чх еН. (6.545) Соотношение (6.545) можно представить в более удобном виде. Для этого воспользуемся введенным выше базисом в пространстве Й и сформулированной из его векторов матрицей Р размера пку ()(=л — гапХС). Очевидно, что произвольный вектор х и Й можно представить в виде х = Рх, где х е В" . (6.546) Тогда справедлива лемма. Лемма 6.10. Неравенство (6.545) эквивалентно условию Р МР<О.
Далее покажем справедливость следующей леммы. Лемма 6.11. Решения уравнения (6.547) (х,р Мрх) =0 (6.548) образуют подпространство Кегр М Р. Доказательство. Известно, что симметричную матрицу Р МР можно представить в виде Р МР =Р ЛЕ, где Р-ух)( невырожденная матрица, а Л вЂ” диаго"т"" т наяьная матрица 0 ~" 2 (8+8 )х' =2(М+МА)х', (х,($+$ )х )=2(х',Мх ), и (6.543) приводится к виду зцр 2(х,(М+МА)х )+(х,Мх ) з ~н~ Очевидно, для того чтобы задача (6.542) была разрешимой, необходимо потребовать, чтобы обеспечивалась разрешимость получения задачи (6.544).
При этом под разрешимостью задачи (6.544) понимается существование верхней грани на подпространстве Й у функции 2(х',(М+МА)х )+(х,Мх ) . Для анализа существования верхней грани воспользуемся приводимыми далее результатами. Лемма 6.9. Для разрешимости задачи (6.544) необходимо, чтобы 390 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 3.„1е1,)( — собственные значения матрицы Р МР, которые, как известно, являются "т вещественными и неположительными ( Х, < 0).
Пусть т г = рг = ~з1 зг -. Хх ] Тогда уравнение (" х х,р Мрх) =(г,р Лрх) =(Рг,ЛРг) =(г,Лх) = ~1 з, =0 ьч (хз,Мх ) =~РХ,МРх) =(г,Р Мрх) =О, (6.551) поскольку в этом случае в соответствии с (6.549) х = Рг, где хе Кегр МР. Лемма 6.12. Если выполняется условие (6.545) или (6.547), то для существования верхней грани (6.544) (разрешимости задачи максимизации) необходимо, чтобы обеспечивалось соотношение (М+МА) 1,~Й. Покажем справедливость следующего результата. Лемма 6.13. Если г,-лки симметричная матрица, то подпространство Н, являюшееся ортогональным дополнением подпространства Н = Кег Х в Я" (т.е. )1" = НЭ Н ), будет инвариантным подпространством для Е, т.е. Е Н ~ Н Из леммы 5 следует, что Й вЂ” инвариантное подпространство матрицы М .
Поэтому для произвольного вектора х = х + х получим "! "з Мх = М(х'+ х )= Мх' е Й~. (6.553) Отсюда следует, что для любой матрицы А вектор -г Хд = АХ = Хд + Хд, Хд Е Н, Хд Е Н при каждом х е й" также будет удовлетворять аналогичному соотношению, т.е. МАх = Мхд = Мхд Е Н, 'ч'х Е Ь'" . (6.554) имеет те же решения, что и уравнение Лх =О. Поскольку бег Р и О, то последнее уравнение эквивалентно следуюшему Г~Лх = Р~ЛРг = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
