Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Далее будем предполагать, что функция 7""() известна с точностью, определяемой соотношением (6.620), где А(г) — известное для каждого г > го множество. В функции 7'"() выделим линейные части по состоянию и управлению, т.е. представим Г () в виде следующего разложения )'а() = Аах+ В" и+ Ла(х,п,жд)х, (6.624) где А = А (7),В" =В'(г) — некоторые Ьхп, Ьхт матрицы; Р'( ° ) — Бхп матричная функция. В общем случае представление У' ( ° ) в виде (6.624) не единственно. В рассмотрение принимаются только те разложения, для которых каждая компонента матричной фУнкции»~( ° ) на гРанице Гкк(г) множества Д(1) пРи всех 1 >го пРинимает ограниченные по модулю экстремальные (минимальные и максимальные) значения при допустимых значениях векторов и, зт . Допустимые значения и определяются согласно соотношениям (6.621), (6.622), а под допустимыми значениями вектора управления и понимаются произвольные ограниченные по величине значения и в И, если какие-либо другие ограничения на вектор управления отсутствуют.
27 Зак. 366 402 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 Практически достаточно произвольную функцию !» ( ) можно с учетом указанных требований представить в виде (6.624). Однако способы такого представления и предпочтительность того или иного разложения не рассматривается. Пусть управление н ищется в виде а=1» х, +1с '(х,)х„ (6.625) где к» ай» (!)-тх! матрица, К» =й» (х„!)-лсх! матрица, элементы которой 4~„а !1„"„(х„г), т.е. являются некоторыми функциями вектора выхода, которые могут быть как произвольными функциями (на вид матрицы-функции к ' (х„!) ограничения не накладываются), так и функциями вполне определенной структуры (на вид 1с"~ наложены ограничения). Например полиномиальными, репейными и т.п.
функциями. В частности, можно считать 1с»'(.) =О, -лсх! нулевая матрица. Тогда управление н согласно (6.625) ищется в классе линейных законов. Воспользуемся соотношениями (6.624), (6.625), с учетом которых управление (6.619) преобразуется к виду х = А х+ В ~Ы»вСх+ К»' (Сх) Сх~+ +Р' (х,К Сх+1с '(Сх)Сх,ст,!)ха =((А'+В'1с»сС)+В 1с" (Сх)С+ +Р'(х,$с"~,1с"~,ст,г)1х = а(А" +Р" (х,К"",к",ст,г))х=А х, (6.626) где Аа Аа + Ва(с»ОС Р аВ'йшС+Р ( ° ), (6.627) а вид матриц А', Р' ( ° ) следует непосредственно из (6.626), причем А (*) является матрицей-функцией. С учетом (6.625),(6.626) поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: Требуется синтезировать такие матрицы к с = 1с»с (!) ксо = 1с»' (х„г), для которых решения уравнения (6.626) удовлетворяло бы фазовым ограничениям (6.623) на множестве возмущений (6.621) или (6.622) и структурно-параметрической неопределенности матрицы А» в силу (6.620).
Пусть множество Д(!), определяющее ограничения на вектор состояния х системы (6.626), формируется аналогично тому, как зто показано выше, т.е., если су,(х,!), ! а 1,л — непрерывно дифференцируемые по всем своим переменным скалярные функции ограничения, то Д(Г) = (ха зс: с1/, (х,с) < 0,1» 1,п). Введем ограничения вида су,*(х,!)=+х, -с1, (!) <О, Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 403 соответствующие следующим фазовым ограничениям (6.623) 1х ~ < с/, (1), ! е 1; п, (6.629) где с/,. (1),! е 1, п — непрерывно дифференцируемые для всех 1 положительные скалярные функции. Для того чтобы решение системы (6.626) удовлетворяло ограничениям (6.623) вида (6.628), достаточно, чтобы для каждого 1 > 1е выполнялись неравенства (Ч,!р„А" х)+ — ' < 0 дг х е ГЯ (1)Г~ГД(1),/ е 1,п где Гфг) — граница множества Д(1), состоящая из участков ГЯ (1) = (х е Я": су, (»,1) = 0~,1 е 1, п . (6.631) Неравенства (6.630) с учетом фазовых ограничений (6.629) аналогично (6.619) приводятся к выражениям п ~ а!.„х„< с)! -алс/!,/е 1,п, ч 1 х1 = с/!,~1хч1 < с/м в е 1, п 1 /, 1 > 1с (6.632) -Х -а < .а а „х„< ф — ад 9!, / е 1, п, ч 1 м~1 х! с/! 1хм~<с/м Уе! пЪ/1>1е (6.633) где а"„= а,'„(х, )сп~, )с" 1, е,г) / т е 1, п - элементы матрицы А ( ) .
Причем а/„= а"„+ /'"„(х, (с "~, )с", е,г), (6.634) где а"„,~'"„( ° ) — элементы соответственно матриц А!'-((с"е,г),Г'(х,)с'~,$с ',е,г). Если, например, Р ( ° ) -=О„„, то А" =- А(к"~,1), и аналогично (6.619) можно показать, что неравенства (6.632), (6.633) эквивалентны следующим неравенствам и Яа „) д„< с)1 - а, у/, 1 Е 1, п, 1 и 1е, (6.635) ч=! шем нулевое значение. Пусть г" ( ° ) и О„„, тогда неравенства (6.632), (6.633) приводятся к виду 2е которые решаются непосредственно относительно матрицы 1с "~ (1) . Структурно- параметрическая неопределенность для рассматриваемой линейной системы соответствует отсутствию точной информации об элементах матриц А",В'.
Причем под структурной неопределенностью линейной системы понимается возможность изменения хотя бы одного из элементов а"„,аь„матриц А,В на интервале, содержа- Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть11 л ,)„(а1н+~~"„)хн <Ч, -(аи+)Ч1,х, = Чз, =1 нн1 (6.636) л —;)" (а,"н+У н)х„-Ч,-(ал+Ул)91,х, =-Ч„ и=! нну /е)л(хн)<Чн ае1 П1.1 гьу11. Из (6.636) следует л + и (а „+у1,„)х„Ч вЂ” а,Ч вЂ” 1,,х = гу, и — "1 ню л '1, У В ! <. (а,н+У1н)Хн <Чз — алЧ1+ 1Г,х, = — Ч,, и=! 1 у а 11 Л(Хн( < Чн, 11 Н 1, Л '! у, Г ~ ГШ (6.637) где У, = У УнХн+У,Ч,Х =1У„ н=1 нн1 (6.638) у1 =,2~71 " ух Чу' х1 = Чз' н=1 т.е.
у';, У'а определены соответственно при х, =Ч, и х, =-Ч,. Из выражения (6.637) непосредственно следуют необходимые условия их разрешимости, являющиеся условиями существования закона управления (6.625), обеспечивающего решение поставленной задачи. Эти условия можно получить путем сложения неравенств (6.637) и приведения к виду уа уа <2(Ч вЂ” а~Ч ),уи1,п (6.639) )Хн) <Ч„,1 Н1,Л'! у,у>Г„. Соотношения (6.639) могут быть использованы для первоначальной проверки существования требуемого закона управления. Однако для синтеза управления (6.625) предлагается использовать неравенства (6.637), представляющие собой достаточные условия обеспечения фазовых ограничений (6.629).
С атой целью поступим следующим образом. Поскольку неравенства (6.637) рассматриваются на всем множестве допустимых векторов Х, то на их основе можно получить более жесткие, но и более удобные для синтеза матриц 11ас, 11а' неравенства. Действительно, поскольку каждое из неравенств (6.637) справедливо в текущий момент времени г < гс соответственно для каждого хаГД'(г)ПГД(г)(х =Ч1),кнГД, (г)ПГД(г)(х =-Ч), ун!,л, то (6.637) будут выполняться, если обеспечиваются соотношения 405 Глава б. Синтез бых систем автоматического п веления л И «аг!2;Пг!2„! ' ««г0;Пгй ч»у ч З х и ГД+ (!) П ГД(1), (6.640) вах , 'а",Чч < , ')а.„)Ч„, ««ГЯ»й~рч=! ч ! ч з ч»з (6.641) П л вах -~ а~ Ч„< Я~а"„( Ч„, 2 и 1, п, « > !е.
* гд;Пга ч»З ч»З А для правых частей (6.640), поскольку аач, / н 1,п — только функции времени, пип (ф,-аиЧ -г )=Ч -а Ч + пип (/')= «ага'.Пг!2 «ага,"йгд =Ч вЂ” а'-Ч,— вах у =Ч -а„,Ч -г «ага; Пга пип (Ч вЂ” аийу+/")=Ч.-а,Ч + пип (~-)= «ег«4 Пг!2 «ага, Пгд =Ч/-а,Ч, +У,в, /е!,п,! >10. С учетом (6.641)„(6.642) соотношения (6.640) приводятся к виду справедливо (6.642) а ,~~~~~~~Ч» =Чз аиЧу .1~ ч=! ч»з а у1 1 ау» Ч» Чу аиЧз+ з ч=! (6.643) чч/ )н),п, г>е!. Поскольку неравенства (6.643) рассматриваются на всем множестве возмушений (6.62!), то, чтобы они были справедливы при любом возмушении тт, достаточно обеспечить следуюшие условия и За~„~Ч» < вш (Ч~ аиЧ, .У~ )=Чз — аиЧ, + пип (-~,')= ч=! ч»з -а а+ ° -а ач =Ч -а Ч вЂ” вах /' =Ч -а Ч -7 иу „,г(,)! т и!' л В -, 'а»ха < вах -~ а»ха < пип (Ч -ааЧ,+/")бЧ -а'Ч,+1-', ««ГО)ПГЧ ч ! ««ГЦ, Пг!2 чю ч»З хнГ~ (!)ПГД(Г), у н1,п, г>1е.
Неравенства (6.640) преобразуются к более простому виду. Действительно, нетрудно показать, что Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 406 Х! ".! ° - '' (' — '.);я )= «а! (6.644) =Ч! — алЧ! + пнп ~;и =Ч, -алЧз +~~0, .) и 1,п, с>со. юа!г(!) Неравенства (6.644) представляют собой достаточные условия обеспечения фазовых ограничений (6.629) и могут быть непосредственно использованы для синтеза матриц )с о, )с", поскольку в силу (6.642), (6.644) ~'"' = шах шах ~;"(х,)с'~,)с ',ст,!)= в(!) гд;()лги(!) ' у+( ао)а! ) )«- = шш пйп ~;в(х,й",1с",е,с)= а в'0)с«гд 0)пгд(!) Уа- (~ ао 1 а! г) и, кроме того, согласно (6.627) а"„= а~„()с"~,с), ), т и 1, и', т.е.
для каждого момента времени с > со величины Г'„', г' „, а „, )', «н 1, и зависят только от матриц )с, к При синтезе матриц 1с, 1са неравенства (6.644) можно рассматривать при произвольном значении а н А(!), с > го, согласно (6.620), а затем, выбрав для этого а матрицы )с', Ка' использовать их с некоторой степенью точности на всем множестве А(с) . Но можно непосредственно синтезировать )с"~, )с"', гарантирующие ограничения (6.629) с учетом структурно-параметрической и внешней неопределенности, на основе соотношений, эквивалентных (6.620), (6.644), вида (6. 645) )й~„(Ч„+ бяЧ! + ! ~„ -а 1 -а васс!«)Ч«+ олЧ! У !« >Чи шах а«А(!) (6.646) )' и 1, п, с > со.
Необходимо отметить, что каждое из двух неравенств, соответствующих /'н 1,п и входящих в выражения (6.644) или (6.646), можно решать относительно Као, )са! независимо от другого. Однако полученные в результате такого решения значения матриц )с~~, )с"' обязательно должны удовлетворять и другому неравенству. Поскольку в выражениях (6.644), (6.646) от матрицы йа' зависят только величины ~; ', ~, / и 1,п, а затем выбирается 1с" из условия полного обеспечения рассматриваемых неравенств. В том случае, когда в разложении (6.624) Р'" ( ) ж О,, а управление и ищется в виде (6.625), величины ~;";с О, 7 и О, /е1,и, т.е, также сохраняется пораздель- Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авлення 407 ный синтез й",к~ . Однако, тк. Т~',7'",7п!,п, зависят от к" н не зависят от ае а! а»- а- а! к"", синтез данных матриц может осуществляться не только независимо друг от друга, но и одновременно. В том случае, когда система (6.619) является линейной, структурно- параметрическая неопределенность, как отмечалось выше, соответствует неконтролируемым изменениям параметров системы на некоторых интервалах. Тогда операция щах( ° ) согласно (6.646) соответствует непосредственно операции взятия максимума от выражения (6.646) по неконтролируемо изменяемым параметрам. Для нелинейных систем указанный случай структурно-параметрической неопределенности также имеет место.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
