Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Однако можно указать более общий случай структурной неопределенности, не сводимой к тому илн иному изменению параметров системы. Пусть правая часть системы (6.619) имеет вид !' (х,н,и,!) = !р(х,н,зт,!)+<р(х,!) (6.647) или 7' ( х, в, е, г) = уев ( х, в, зт, г) (1 + г ( х, г) ), (6.648) где Д~Р( ° ) — лк1 заданная вектор-функция с параметрической неопределенностью, характеризуемой значениями параметра р на некотором допустимом множестве ()(!);!р(!)-лх1 неизвестная вектор-функция, соответствующая адднтивной структурной неопределенности; т(х,!) — неизвестная скалярная функция, соответствующая мультипликативной структурной неопределенности. Функции !р(х,!),У(х,!) удовлетворяют тем нли иным ограничениям, которые в достаточно общем случае можно представить в виде !р(х,!) н Ф, т(х,!) и Е, (6.649) где Ф, 1' — некоторые заданные множества.
В частности, можно считать, что Ф нли Р— это множество функций, ограниченных по величине. Например, Ф, Р' можно задать аналогично тому, как задано множество И'(!) (см, (6.622)). Тогда аддитивная <р(х,!) и мультипликативная т(х,!) структурные неопределенности могут рассматриваться по аналогии с возмущениями И'(!), и операция максимизации на множествах Ф, Р аналогична максимизации на И'(г) вида (6.622). Возможны также и другие подходы к решению неравенств (6.646) с учетом того нли иного определення операции щах( ) в зависимости от опредаления вида множеств а и А(!), Ф, Н. Но они в данной работе не рассматриваются.
6.7.1. ОЦЕНКА РОБАСТНОСТИ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ГЕРШГОРИНА Для анализа разрешимости неравенств (6.646), а также для оценки робастности системы (6.619) при синтезированном законе управления вида (6.625) можно воспользоваться кругами Гершгорина (145). Для лхл матрицы А', формируемой согласно (6.627), определены и кругов Гершгорина О (А ), 7' и 1, л, объединение которых 0(А")= 0 О (А ) 408 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П содержит собственные значения матрицы А . При зтом С,(А")= га С*;~а" — з~<5 = — ~~~ ~Й"„~р„ Р,,.! ч~ (6.650) где р„,те 1,л — произвольные положительные числа; Я,,/н1,л — радиус 7'-го круга б (А" ); С вЂ” комплексная плоскость.
1', Сопоставим неравенства (6.644) с определением кругов Гершгорина (6.647). В качестве положительных величин р, примем функции д,(г), т.е. р, =д (г),7'н1,п. Тогдадляматрицы А' круг 0 (А ) имеетрадиус и бк ~а(~ ас ) '~, ~ба ~ Ч~ мы С учетом (6.651) неравенства (6.644)приводятся к виду а+5< — — — 7 -а а ~7/ 1 а+ и а «-Я < — + — ~' -а а ~7/ 1 ил з / 1 3 /и 1,п,г > ге.. (6.652) Поскольку з = а" н С является центром)' — го круга Гершгорина, то левые части неравенств (6.652) соответствуют крайней правой точке круга б (А ) на комплексной прямых, параллельных мнимой оси на плоскости С и проходящих соответственно через точки з' = — — —, з = — — —,7'н),л лежащие на действительной оси 7, .г'," ' ), У;" з 3 Д (см.
рис. 6.22). Так как в общем случае г',г зависят от времени, то указанное требование должно з выполнатьса дла всех г>Гс. Положением кРУгов б (А ),7'н1,п на комплексной плоскости С можно управлять за счет выбора соответствующей матрицы к"", так как центр каждого круга, находящийся в точке а", н радиус Я" зависят только от Квс. А положением прямых, параллельных мнимой оси, можно управлять как с помощью 1с',так и с помощью 1с",так как ~' ",~'", /и 1п зависятот к' и 1с"'.
Таким образом, перемещая с помощью выбора к"~ каждый круг Гершгорина С 1А" ) влево и с помощью выбора к"~ соответствующие ему прямые, параллель- плоскости С, являющейся точкой пересечения данного круга с действительной осью. Тогда неравенства (6.652) означают, что они будут выполняться тогда и только тогда, когда каждый круг Гершгорина с (А"),7'н1,л будет находиться слева от Глава б. Синтез бых систем автоматического п авления 409 ные мнимой оси, вправо, можно добиться требуемого расположения кругов Гершгорина на комплексной плоскости С и тем самым обеспечения неравенств (6.644) илн (6.652). У т = — '+ — ' Рис. 6.22.
Геометрическая интерпретация обеспечения фазоньм ограннченяв Допустим, что для некоторых К~, К." требуемое расположение кругов но а1 б (А'), г' и 1, и обеспечено. Тогда для синтезированного закона управления а =к. х,+к."'(х,)х, можно говорить о степени робастности системы. Под этим будет пониматься следующее. Под степенью робастности для/-й компоненты векто- / ра состояния понимается расстояние от круга ст ~А ) (т.е. от точки о = а~~ +о~, лежащей на действительной оси в С ) до ближайшей из двух соответствующих ему прямых, параллельных мнимой оси (т.е. до точки г' или х ), которое обозначим через а" и, согласно определению, равное он = ш)п (г' -г; г — з" ),/ н 1, л.
(6.653) С учетом (6.653) под степенью робастности системы (6.619) при синтезированном управлении н будем понимать величину сг' =ш1па'. (6.654) тека При обеспечении допустимого расположения кругов Гершгорнна на комплексной плоскости а > О. Причем, чем больше величина а", тем более робастной является система, т.е. фазовые ограничения (6.629) для синтезированного закона управления будут обеспечиваться на более широких множествах структурно-параметрических н внешних возмущений.
Заметим, что при синтезе требуемого закона управления вида (6.625) можно дополнительно потребовать, чтобы обеспечивалась заданная степень робастности, т.е. чтобы выполнялось неравенство (6.655) о ~о, 26 Зок. 366 4!О Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 где а > Π— известная величина. Эффективность решения задачи синтеза зависит от вида разложения (6.624) функции 7'~ (.), т.е. от свойств матриц А', В" и функции Р' ( ° ), тот или иной выбор которых влияет на сложность: синтеза матриц (с, 1«" обеспечения заданных ограничений; требуемого размешения кругов Гершгорина на комплексной плоскости.
Пример бл. Пусть уравнения движения некоторого обьекта имеют вид х- = Зх+ х'и + 2х', с > со, где х, и -скалярные переменные. Заданы фазовые ограничения (х~ке ',с > со Необходимо синтезировать управление в = «,х + «,(х)х . Согласно (б 624) воспользуемся разложением /( ° )=Зхоссчх н — и+2х =Зх+н+ ит — +2х х. 2 3 и з х Отсюда Е ( ° ) = ит - -+ 2х, А = 3, В = 1 х Согласно (6 626),(6 627) Р(.)=ВКс+Е( ° )=«,(х)+(«„х «,(х)х)х- " +2х «ох о «с (х)» з х =«о(хз — 1)+«с(с)х +2хз. В соответствии с (6 638), (б 645) 7' =,~«о(е з' — 1)+«,(е ')е з'+2е л]е '. )х)=е / = Я«о(е и-1)о«,(-е ')е и+2е "1е '], те =(«сс(е и -1)+«,(е ')е '+2» и]е ', 7' =-(«о(е н -1)+«,(-е ')е и+2е "]е ' Согласно (б 627) А = А+ ВКо =3+«о, Тогла неравенства (6.644) примут вид Оя-е '-(3+lсо)е '-(«о(е "-1)+«,(е ')е '+2е ']е О< — е ' — (3+«о)е ' — [«сс(е з'-1)+«,( — е ')е '+2е ']е ' ~ Отсюда после соответствуюших преобразований следует «с(е-')я-(«,+г)-» ", «,(-е ') к-(«о+2)-4е",саго Пусть «, (х) ишегся в вила «с (х) = «со о «сс— 1 Тогда неравенства приводятся к следуюшему (чо ь/сс я («о+2) 4е гасо 1 зс х лля выполнения которого достаточно, чтобы Глава б.
Синтез бых систем автоматического л авления 411 Ао Я-(да+ з) А~ я-4 для любого Фю . Таким образом ! ! и=И к+Аек41ги — =(!ге+!ге)к+!ги-, к к где ке,йе,лн удовлетворяют приведенным выше условиям. Предложенный метод может быть использован для достаточно широкого класса задач при построении управления различными объектами, о структуре и параметрах объекта, возмущениях внешней среды. При этом цель управления может быть сведена к достаточно общему виду фазовых ограничений. Данный класс задач особенно характерен при разработки и формировании интеллектуальных систем управления когда необходима быстрая обработка информации, выработка управления в реальном режиме времени.
При чем в этих задачах возможна неопределенность по цели. Рассмотренный метод позволяет учитывать и ее. Необходимо также отметить, что полученные соотношения метода (6.644), (6.652) могут быть эффективно реализованы на основе известных численных процедур, в том числе и параллельных алгоритмов. Возможен дальнейший анализ и обобщение неравенств (6.644), (6.652) с целью упрощения и расширения их решения.
Неравенства (6.644), (6.652) могут использоваться при выработке алгоритмов управления. Поскольку полученные соотношения допускают геометрическую интерпретацию с помощью кругов Гершгорина, то они оказываются удобными в инженерных расчетах. 6.8. СИНТЕЗ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Рассмотрим одну из модификаций разработанного метода, основанную иа отображении реальной траектории на границу фазового множества и позволяющую обеспечить необходимое функционирование системы с учетом различных ограничений: на управление, вектор состояния, сложность технической реализации.
При этом множество допустимых управлений будет тем шире, чем менее жесткими являются данные условия. Предлагаемый далее метод отображений позволяет получить расширенные условия по сравнению с методом неравенств. Пусть объект управления описывается управлением Х=У'(Х,п,г), Х(го)=Хо !йго (6.656) где Чз(Х,г) — непрерывно-дифференцнруемая по Х и г функция. Ограничения на управление имеют вид пни(Х,г) з;Хид(г), г>!о, (6.658) У(Х,Т) яе!21- замкнутое в )г множество.
где Х,п-лх1, тх! векторы состояния и управления, 1() — лх! вектор-функция, удовлетворяющая условию существования и единственности решения задачи Коши. На состояние системы (6.656) наложено ограничение: Х(!) н Д(г) тгг > г,, (6.657) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 412 д(Х,2,!'): Гд(!').
Л, -э д(г'). (6.660) Положим Х=л(Х,Х,|). тогда, если хил,, то х ад(г), и если ли лз, то хи д(г). допустим, что из (6.661) в явном виде определяется зависимость Х = С(Х,2.,1), (6.662) С() — в силу свойств б() непрерывно-дифференцируема по Х,)!,!. Если Х(г)- некоторая траектория системы (6.656), то согласно (6.659), (6,662) ей однозначно соответствуют: непрерывно-днфференцируемая функция )!=Х(г) со значениями из множества Л и траектория Х(!) = С(Х(г),Р~(г),г)н ГР(г) 'й > го (6.663) Согласно определению !у(Х(!),г)мО 'уг>ге, Отсюда (чк ! Х)+г мО с'ц/ с!г (6.664) где (Уху,Х)= ) — г, — скалярное произведение векторов Х и Йр ,, с1з, „~Оу Ор бу1', Оу ~а, Оя,"'гк„) ' ' а! ' С учетом (6.663) Х = (Ух С, Х)+ Сх)!+ С,' = (Ух С(Х(г), Х(!),1)), 1'(Х(г), в(г),г)+ С„' (Х(!), Х(!),!))!+ С,'(Х(г), Х(!), !), (6.665) Учет ограничений на сложность технической реализации осуществляется с помощью шкапы сложности б, формируемой на множестве технически реализуемых управляющих устройств.
Требуется синтезировать допустимый закон управления заданной структуры из ~, обеспечивающий условие: Х(г) н Д(г) т! > ге, если только Хе н Д(ге). Пусть ГД(г) — граница Д(г), элементами которой являются векторы Х, т.е. ГД(г) = (Х н Я": !у(Х,г) = О~. На пространстве Я"' определим непрерывно-дифференцируемую по всем аргументам их1 вектор-функцию ~(Х,)!,1), где 2.- некоторая скалярная величина, принимающая значения из замкнутого связного множества Л с Я . Считаем, что для ! Д(г) можно выбрать такую у(Х,)!,1), которая для любого г = г > ге определяет взаимно-однозначное отображение у(Х,)!,г ): ГД(г )хЛ-+ 11". (6.659) При этом Л можно разбить на два таких непересекающихся подмножества Л, и Лз, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
