Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Однако в рассматриваемом случае возможно, что О и Н", но (6.483) будет выполняться. Прн этом матрица А может быть и неустойчивой. Следовательно, полученный результат (6.481), (6.483) можно рассматривать, как опрелеленное обобщение условиями устойчивости А.М. Ляпунова. Глава 6. Синтез бых систем автоматического авления 379 %=Р ЧР, Ч = (ЧА +А(Ч-(1(1+12 1Ч) (6.484) ( Ч принимает выражение (6.481) в стационарном случае). Пусть %=[ич~ ' Тогда в соответствии с критерием Сильвестра 197] для обеспечения неравенства %<0 или %=-%~0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения с(е!%! ЕО, де!%2 ЕО, ..., 1$е2%, ЕО, где (6.485) !г!г И1! И12 %! 1и'111' %2 %„=— И 21 И 22 ж21 И'22 " ' и'2г !" Н И'г2 ''' И'гг ешая неравенства (6.485) относительно парам ети2в системы, можно определить б об допустимые фазовые ограничения, которые удут еспечиваться.
Другой подход к решению рассмотрим для случая стационарных фазовых ограничений. Воспользуемся тем обстоятельством, что матрица Р формируется нз векторов произвольного базиса подпространства Н. Поэтому выберем такой базис в Н, для которого неравенство (6.481) принимает, по возможности, наиболее простой вил. В частности, в качестве такого базиса можно выбрать ортонормированный базис, для которого матрица Р имеет вид (6.486) 2Д 8.8.8. О ФОРМИРОВАНИИ ДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО НЕРАВЕНСТВА Полученное в предыдущем параграфе условие разрешимости задачи синтеза сводится в общем случае к неравенству (6.472) или, в частном случае, при стационарных фазовых ограничениях — к более простому неравенству (6.481). Неравенства (6.472), (6.481) представляют собой некоторые обобщения известного матричного неравенства А.М.
Ляпунова (15], поэтому в дальнейшем их предлагается называть обобщенными матричными неравенствами. Поскольку неравенства (6.472), (6.481) представляют собой критерии разрешимости задачи синтеза, то важным является вопрос о проверке выполнения данных неравенств, и, если они не выполняются, — о возможности их обеспечения за счет допустимой вариации фазовых ограничений (т.е.
матрицы М и величины д). Вообще говоря, как было показано выше, для проверки разрешимости задачи синтеза и выбора допустимых ограничений на систему (6.376) можно непосредственно использовать неравенства (6.456) и (6.461), учитывающие также и требуемую степень робастности (грубости) синтезируемой системы. Однако соотношения (6.472) и (6.481) являются более простыми и эффективными с (6.456) и (6.461), т.к. дают меньшее число ограничений непосредственно на параметры рассматриваемой системы. Рассмотрим возможные подходы к решению неравенств (6.472) и (6.481). Одним из них является применение критерия Сильвестра (97) непосредственно к матрице %, определяемой согласно (6.481) илн в общем случае в виде Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 380 где Š— гхг единичная матрица, О„„, — (и-гхг) нулевая матрица. А под матрицей Р понимается матрица Р, полученная в результате некоторого невырожденного преобразования Т при переходе в пространстве )т" от исходного базиса к другому. В исходном базисе согласно (6.376) система управления имеет вид х= Ах+Ви. Пусть в новом базисе вектор состояния х и Я" связан с х зависимостью х=Тх, дегте0. Тогда х = Ах+Вц где В=Т.В.
А=ТАТ ', Р=(т ) Р (6.488) или р, = (Т ) р„г и 1, г. Поскольку Р должна иметь вид (6.486), то в соответствии с (6.488) решается за- дача (т ) т-[ (6.489) где под Р понимается матрица, составленная нз векторов произвольного базиса подпространства Н. На основе (6.489) определяется требуемая матрица преобразования Т, которая, очевидно, может быть определена неоднозначно. Фазовые ограничения в новом базисе примут вид Ф(х, г)=ч(т 'х, г)=(т ~х, мт 1т)-дм (6.490) , т (т (т ) мт т)-т=(тмт)-т, где М =(Т ') МТ '. Отсюда Я = М-' = ТМ-'Т' (здесьнспользовалосьтообстоятельство,что (Т ') =(Т ) [97]). (6.491) Очевидно, что Н=КегВ мКег(ТВ) =Кег(В Т )=(Т ) Н (6.487) (см.
лемму 6.4). Матрицу преобразования Т необходимо выбрать такой, чтобы из векторов базиса подпространства Н можно было сформировать матрицу Р вида (6.486). Р можно представить, как Р =1Р1 Рт "' Рт) где р„1н!,г — векторы базиса подпространства Н . С учетом (6.487) получим Глава 6. Синтез бых систем автоматического п веления 381 (6.493) ц=ц (х,с)+ц(х,с), (6.496) где ц (х,с) определяется согласно (6.426), а б(х,с) = К(с)х„х, = С(с)х, х, — 1х! вектор измерения; К(с), С(с) — пх1, 1хп матрицы.
(6.497) Представим матрицы А и Х в виде А~ ~ Асз~ — ~1Ч~ с 1Чы ~ (6.492) А„А„~' ~Х„Х„~ -т — -т — -т где Хы =Хы Хзз =Хая Хы =Хм. Здесь: матрицы Асн Ʉ— гхг; Азз, Йзз — (п-г)х(п-г); Ацо Йсз — гх(п-г); Азн Ʉ— (п-г)хг размеров соответственно. В результате для неравенства (6.481) получим следующее выражение й', й',П-.".", .—".",3~ .'.,Л= '- х т г с ( — т — -т — — -т — -т ХВАсс+ХсзАы+АыХы+АсзХм) (Хс~Аы+ХыАы+АыХы+АыХгз) х -т -т — -т -т (Хг~Аы+ХггА~г+АмХ~с+АсзХзс) (ХзсАы+ХззАзг+АмХы+АззХзз) Е 1 -т — -т х =((ХыАы + ХсзАы +АыХы + АыХз )х 1 Охгпг — т' — -т х(Хс ~Асс + ХыАзз + АыХ,з ь АыХзз Дх Ол-сг з' -т -т =ХыАы+АыХы+ХсзАы ьАыХм.
Тогда, используя (6.493), неравенство (6.481) представим в виде -т I ХыАы+АссХы ~ (ХыАы+АыХз,). (6.494) Если, например, Йы = Йум =О,„„то согласно(6.494) — — т -т ХВАы+АыХы ~-(ХыА~з+А~зХм), (6.495) т.е. получим матричное неравенство Ляпунова. Для описания уравнения (6.495) относительно лопустимой матрицы Й,, > 0 можно воспользоваться известными методами (441, предполагая при этом, что А„— фиксированная матрица. Согласно (15) (6.495) разрешима тогда и только тогда, когда А„— устойчивая матрица (т.е. все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части).
Поэтому для анализа разрешимости неравенства (6.495) рассмотрим вопрос о том, при каких условиях может быть обеспечена устойчивость матрицы А... являющейся квадратным блоком матрицы А. Пусть управление и, синтезируемое для системы (6.376), в общем случае имеет внд 382 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П решимости поставленной задачи (закон и (х,г) ), — представляет собой формирование двухуровневой системы управления. Покажем, как при формировании управления (6.496) можно обеспечить разрешимость неравенства (6.495).
С этой целью, как отмечено выше, необходимо обеспечить устойчивость блока А,, матрицы А. По аналогии смамрицей А через А будем обозначать матрицу А, рассматриваемую в новом базисе пространства Я" и получаемую с помощью матрицы преобразования Т. При этом А так же, как и А, разобьем на четыре блока и выделим блок А,, той же размерности, что и А,, Нетрудно показать, что А = А+ВКС, где С=СТ Если, например, С = Е (х = х,), то А=А+ВК, К=КТ (6.500) Обозначим Р = ВКС (или ВК) . (6.501) Очевидно, 6 — лхл матрица.
Тогда, разбивая 0 на четыре блока тех же размерностей, что и у матрицы А, получим Аы —- Ам+Вы. Покажем, как определяется матрица бы Пусть в=[ '], (6.503) где В,, Вз — соответственно гкт, (л-г)хш матрицы. С учетом определения В следует, что В= ' =ТВ= В= т.е. В, =Т,В, В, =Т,В, где Т„Тз — гхт, (п — г)хв матрицы. Представим матрицу С в виде (6.504) с=[с, с,], (6.505) С учетом (6.496), (6.497) уравнение системы (6.376) преобразуется к виду х = А(1)х+В(1)и (х,Г), (6.498) где А(1) = А(г)+ В(1)К(1)С(1) . Тогда вместо А для системы (6.498), эквивалентной (6.376), в полученных выше соотношениях (6.472), (6.481) можно использовать матрицу А, которой за счет выбора матрицы К(г) (6.497) можно в зависимости от свойств управляемости и наблюдаемости системы (6.376) придать те или иные свойства, требуемые для разрешимости (6.472), (6.481).
Выбор управления в виде (6.496) в два этапа: вначале из условия обеспечения требуемых свойств матрицы А (закон ц(х,г)); а затем из условия обеспечения раз- Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 383 где С„Сз — !хг, !х(п-г) матрицы. Тогда С=[С, С,|, и с учетом (6.501), (6.503) получим ак[ ') [кс, кс,]=[ ' где Вы =В,КС,. Отсюда, в соответствии с (6.502), следует А,, = Ам+В,КС]. Согласно (6.495) рассматривается неравенство — -т ]з]ИАы+АИХы <О, (6.506) (6.507) (6.508) С=[С, Сз1=СТ ' =С.[(Т ') (Т ) 1=[С(Т ) С(Т ) 1, т.е С, = С (Т-'), С, =С (Т-'), где (Т 1, ]Т 1 — соответственно пхг, пх(п-г) матрицы.
(6.509) Кроме того, нетрудно видеть, что Акткт '=[ ~ к[[т '] [т ']) ТА(Т ') ТА(Т ') 1 ТзА(Т ) ТзА(Т ) =[ ' ]1[т-'] (т '] ]-[ Отсюда следует, что А]] =ТА(Т ') . В результате (5.137) приводится к следующему выражению А„=Т]А(Т ') +Т,ВКС(Т ') = =Т,(А+ВКС)(Т ') =Т,А(Т '), (6.510) для разрешимости которого, как отмечалось выше, матрица Аы должна быть устойчивой.
Поэтому анализ разрешимости неравенства (5.138) сводится к анализу существования такой гпх! матрицы К, которая обеспечивает устойчивость блока А,, вида (5.137). Для проверки устойчивости А,, можно использовать один из алгебраических критериев устойчивости 1149]. Например критерий Гурвица. И на основе вытекающих из него соотношений подбирать требуемую матрицу К. Но прежде, чем осуществлять подобный подбор К, необходимо знать, возможно ли вообще обеспечить устойчивость А„.
С этой целью целесообразно использовать следующий подход. С учетом (6.499), (6.505) получим 384 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П в соответствии с которым можно достаточно эффективно выделять исследуемый блок матрицы А. Используя матрицы А,, и В,, можно установить возможность обеспечения ус- тойчивости Аы. Если, например, С=Е, то рассматриваемая задача сводится к ана- лизу управляемости пары матриц А,, и В, . Действительно, в этом случае А„, В,, К, =К (Т ) — соответственно гхг, ! гхт,тхх матрицы. Причем для любой допустимой матрицы Т можно придавать произвольные заранее заданные значения матрице К,, которым будут соответство- вать свои вполне определенные значения матрицы К (т.е, выбор допустимой Т не влияет на область значений К, ).
Но тогда свойства матрицы Аы =А,,+В,К, определяются парой матриц (А„,В,). Поэтому, если (АН,В,) — управляемая пара [481 (т.е. для данных матриц выполняется критерий управляемости), то матрицу А„ всегда можно сделать устойчивой за счет выбора соответствующей К, и тем самым обеспечить разрешимость (5.138). В более обшем случае для обеспечения разрешимости (5.138) достаточно потре- бовать, чтобы пара (Аг н В, ) была стабилизируемой [57) (т.е. неуправляемые собст- венные значения матрицы А... должны находиться в левой полуплоскости ком- плексной плоскости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
