Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Рассмотрим важный частный случай, когда управление н (х,г) вида (6,418) имеет линейную структуру. Введем обозначение ! рг сг(х,г) =— (Ь 'ч,ч)2 366 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Очевидно, ш(х,г) — скалярная неотрицательная функция принимающая, в общем случае, значения от 0 до +со . Тогда согласно (6.4! 8) и (х,г) =-ез(х,г) Ь '(г)т. (6.424) Поскольку выражение (Ь '.т) линейно зависит от х, то для того, чтобы н (х,г) также линейно зависел от х, необходимо потребовать выполнения условия Оз(х,г) и гое — — сопзг > 0 . (6.425) Тогда линейный закон управления, являющийся решением задачи минимизации (6.398), имеет вид н (хГ)=-Ф Ь (Г)В М(!)к=К (1)х, (6.426) где К (г)=-а, Ь '(г)ВТ М(г). (6.427) Причем К (г) хв(7(х, г) 'ФхвД(г), г>го.
Для того чтобы выполнялось условие (6.425), функция р(х,г) должна иметь вид р(х,г) =ше (1. '(г)т,то). (6.428) Аналогично тому, как было получено управление (6.424), для синтеза закона управления й(х,у~,г) с желаемой структурой (6.416) будем решать неравенство (6.411) с учетом найденной выше функции а(х,Ке,г) вида (6.417). Для синтеза управления необходимо решить задачу максимизации (6.407).
Введем обозначение бс(г) = М(г)+2(А + К~~В )М(г), (6.429) с учетом которого функция а(х, Кс, г) примет вид а(х,К1,г) =($„(г)х,х)-ф(г). (6.430) Тогда в соответствии с (6.407) получим следующую задачу максимизации шах(($1(г)х,х)-ф(г)1<0, г >ге, % при (х,М(г)х)-9(г)=0 (т.е. хнГй(г)). Нетрудно видеть, что решение данной задачи полностью совпадает по форме с решением задачи максимизации (6.399), обеспечивающей проверку выполнения фазовых ограничений для синтезированного закона управления н (х,г) вида (6.426). В этом можно непосредственно убедиться, подставив (6.426) в выражение а(х,и,г) (6.412).
Поэтому решение указанных задач будет осуществлено одновременно и приведено в следующем параграфе. 6.$.4. УСЛОВИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА КЛАССАХ СИНТЕЗИРУЕМЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ Как отмечалось выше решение задач (6.431) и (6.399) аналогично друг другу, поскольку максимизация осуществляется на одном и том же множестве ГД(г), а выражения максимизируемых функций подобны друг другу, т.к.
та и другая являются квадратичными формами. Поэтому вначале рассмотрим решение задачи (6.399), а затем полученный результат применим к задаче (6.431). Определим выражение функции о (х,г) для управления ~ (хд) с учетом (6.398), (6.426). Имеем Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 367 и (х,г) =[(м(г)+2Атм(г))зь х)+2 [Втм(г)х к х) — 4(|) = =[[М(г)+2(А +К тВ )М(г))х,х)-9(г) = (6.432) =($(г)х,х) — о(г), где с учетом (6.427) Б(г) = М(г) + 2А М(г) + К т В М(г) = (6.433) = М(г)+2А~М(г)-2шоМ(г)ВЬ!(г) ВтМ(г) В соответствии с (6.399) для обеспечения фазовых ограничений должно выполнятся неравенство (6.436) |е1,п, г>го.
Доказательство. В соответствии с методом множителей Лагранжа для задачи (6.435) сформируем лагранжиан следующего вида, определенный для каждого | > |о; Е(х,р) ж(Бх,х)+р[(х,Мх)-д~. ') Произвольную квадратичную форму (х,нх) =(В~х,х) можно представить в виде (я ят (х нх)= — х х, где -(Я+Я~) — симметричная матрица.
2 ) 2 шах о (х,г)<0 зугйго, (6.434) хег|2(|) которое согласно (6.432), (6.433) приводится к виду шах [(Я(г)х, х) — ф(г)) < 0 (6.435) при (х,М(г)х)-а(г) =О, г>Ц Сравнивая задачи максимизации (6.435) и (6.431), нетрудно видеть, что они подобны друг другу. Причем из (6.433) и (6.431) следует полная сходимость матриц Б(г) и 8((г), отличающихся лишь видом матриц К и К(. Поэтому решение данных задач основывается на одних и тех же положениях, тем более что та н другая задачи определяют условия выполнения фазовых ограничений соответственно для законов управления (б:426) и (6.416).
Для максимизации квадратичной формы (функции)*) на замкнутой поверхности, также описываемой квадратичной функцией„можно воспользоваться методом множителей Лагранжа. Решение данной задачи использует следующий результат [! 54). Лемма 6.2.
При каждом моменте времени г ~ го все собственные значения матрицы М ~(8+Я~), где М = М(г), Я = Я(г) являются вещественными. Используя лемму 6.2, получим, что собственные значения матрицы М '(84+$( ) также является вещественными (Я( формируется согласно (6.429)). С учетом доказанной леммы, рассматривая решение задачи максимизации (6.435), данное решение можно сформулировать в виде следующей теоремы [20). Теорема 6.4. Для разрешимости задачи (6.435) необходимо и достаточно, чтобы для каждого г > |о собственные значения )с, = )с,(г),!и 1,и, матрицы М '(г)($(г)+$~(г)) удовлетворяли неравенству Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 368 Тогда максимизация квадратичной формы (х,8х) будет эквивалентна задаче шах ь(х,р), « для решения которой воспользуемся необходимым условием экстремума У,1 =0.
Получим 'ь«,Е =(8+8~)х+2рМх =О. Отсюда следует, что максимизирующее значение х должно удовлетворять урав- нению (6.440) (8х„х,) = -р(х„Мх,). Так как согласно (6.438) должно выполнятся условие (х„Мх )=9, то (6.440) принимает вид (8х„х,) = -ро, (6.441) как отмечалось выше, значения коэффициента р связаны с собственными значениями Х,,1и 1,л матрицы М (8+8 ) зависимостью )«, = -2р,, 1 и 1, и . (6.442) Тогда для собственных векторов х', ги 1, л, соответствующих Х,,! и 1,и, с учетом (6.441) получим (8 х', х' ) = — Х««7, 1 и 1, л, 2 Отсюда, очевидно, следует 1 шах (8х,х)= шах (8х',х')=шад~ — Х«7~ = — д шах. ««ГД(«) «'«ГО(«) и1,«2 2 ~«ь« (6.443) (6.444) ми« (8+ 8т + 2рМ)х = О.
(6.437) А для определения значения множителя р необходимо воспользоваться условием (х,Мх) = о. (6.438) Решением уравнения (6.437) является следующий вектор М '(8+8 )х=(-2р)х. (6.439) Но соотношение (6.439) означает, что вектор х является собственным вектором матрицы М '(8+8т), коэффициент А = -2р — соответствующим данному вектору собственным значением матрицы М '(8+8т) . Таким образом, максимум квадратичной формы о (х,г) на ограниченной квадратичной поверхности Гфг) достигается только на одном из собственных векторов матрицы М (8+8т).
Пусть х, — собственный вектор данной матрицы, является не тривиальным решением уравнения (6.439) (после умножения такого решения на постоянное число вновь получим решение уравнения (6.439)). Тогда, скалярно умножая на х, слева уравнение (6.437), получим (х„бх,)+(х„8~х,)+2р(х„Мх,) =2(8х„х,)+2р(х„Мх,) =О, Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления 369 Поскольку 1 шах ((вх,х)-ф(г)) = шах (вх,х)-ф(г) = — д(1) шахХ, -ф(г), ыгдр) ж~гдр) 2 1л то для выполнения (6.434) должно выполнятся неравенство 1 — д(Г) Х ~, -д(Г) ЕО, Г > Гс, 2 г~1л или шахХ, ~2 —, гегс. ф(г) ~еь,п ч(!) Тогда окончательно получим, что для разрешимости задачи (6.434) необходимо и достаточно, чтобы для каждого г > ге собственные значения матрицы М '(Б+Б~) удовлетворяли неравенству Что и требовалось доказать.
В общем случае при М Р О о разрешимости условия (6.434) также можно судить по вещественным собственным значениям матрицы М '($+$~) . Однако при этом, если для М г О теорема 6.4 даст необходимые и достаточные условие разрешимости (6.434), то для М Ф О вЂ” только необходимые. Заметим, что результаты теоремы 6.4 распространяются на случай, когда вместо 6 используется матрица $1 вида (6.429), и при этом рассматривается разрешимость задачи (6.431).
6.6.6. АНАЛИЗ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА Полученные выше соотношения (6.436) можно непосредственно использовать при синтезе требуемого закона регулирования. При этом, если матрица $ формируется согласно (6.433) с учетом выражения (6.427) для матрицы К = К, выполнение или невыполнение соотношений (6.436), эквивалентных выполнению или невыполнению фазовых ограничений (6.377) для закона в (х,г) вида (6.426), зависит только от выбора допустимых матриц М,1 н величины ас > О. Если же формируется матрица 61 вида (6.429), зависящая от Кс (заданной структуры), то на выполнение соотношений (6.436) непосредственно оказывают влияние матрицы Кс и М.
Поэтому в первом случае обеспечение неравенств (6.436), а следовательно, синтез системы управления, возможно осуществлять только за счет выбора тех или иных допустимых матриц М и 1. величины гвс (варьирование М, 1., ас ). Во втором случае обеспечение (6.436) осуществляется либо за счет варьирования коэффициентов матрицы Кс при заданной М, либо возможно одновременное варьироваиие как коэффициентами К1, так и коэффициентами М. Непосредственная проверка неравенств (6.436) при заданных М и 1 либо Кс и М может оказаться достаточно сложной, т.к. требует вычисления всех вещественных собственных значений матрицы М ($1+61) . т Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 370 Для упрощения процедуры проверки (6.436), а значит и процедуры синтеза, необходимо включить сам процесс нахождения собственных значений. С этой целью можно воспользоваться некоторыми известными свойствами характеристических многочленов [61), позволяющими судить о распределении собственных значений исследуемой матрицы по значениям, принимаемым соответствующим ей характеристическим многочленам.
Рассмотрим процедуру проверки неравенств (6,436). Пусть при некотором г > то 8(Х) — характеристический многочлен матрицы М (ЯС +Бе~ ), т.е. 8(Х) =без[ХŠ— М '(Я+Я ))=цез(М '[)сМ-(Я+5~)))= = де1М бес[ ХМ -(5+Я )~ = десМ . д(Х), (6.445) где 8())=О вещественные, то неравенства 8( )((с )> О, )с = 0,1,...,л — 1, где д( )(Х) — й-я производная полинома 8(Х), )с — произвольное вещественное число (а' и и'), выполняются тогда и только тогда, когда все Х,,1и),л, расположены слева от )с, т.е.
когда (6.447) Хг < )с' Ж и 1, л . (6.448) Доказательство данной теоремы, в частности, может быть осуществлено аналогично тому, как в предыдущей главе проводилось доказательство неравенств (6.349). Теоремой 5.2 можно непосредственно воспользоваться лля проверки неравенств (6.436). Действительно, пусть многочлен 8()с) получен в результате нормирования многочлена 8(Х) .
Тогда для произвольного г > г должны выполнятся неравенства а"'[1'ЛЯ о, г о,,-г) для всех г > го. (6.449) где Х'(г) = гэ%). *) Многочлен я(Х) считается нормнроаанным, если коэффициент прн старшей степени Х равен елн- нице д(Х) =с(е1[)сМ вЂ” (Я+бт)~. Так как де1М и 0 (М ~ — невырожденная матрица), то корни уравнений д()с)=0 и 8(Х)=0 (6.446) совпадают, т.е. для проверки (6.436) вместо многочлена д(Х) можно использовать многочлен 8(Х). Чтобы установить, существует ли требуемое спектральное распределение (6.436) для матрицы М '($4 + $~~), воспользуемся известным результатом, приведенным в [61] и который может быть сведен к следующей теореме [20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
