Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Представим (6.347) в виде Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 352 А-4-4 ап + аы — + аы — + ... + а —" ь Х, 1л (! -"з .А. бгг + 621 †.1. лм — + ... + Вгл — < Х, Нг Ыг (6.350) "'! " "'2 а +а,— +а 2 — +...+ пп л ~ л л л ал ! — <Х. Ы„! пл-1 Ы значения ал,! н 1,л можно упорядочить Для определенности будем считать, что следующим образом Опп — !'л-1,л-1 — -— « „,< а22 < а11. (6.351) Введем обозначения "и-1 !'и-2 "'! — =а! = =а2,-,— =ал 1, 1гп Пп-1 !12 г(„ т.е. —" = ал „, т н 1, (л — 1). Г'пп! (6.352) о и (lс + 1), (л — 1); 'и' е О, (!г — 1). аг,! 'аг+г '" '" 1 (6.353) аг аг! ...а„,! Отсюда нетрудно видеть, что а,(а1,аг,...,а„1) = =оп+ад ал, ... ал „!+па ал 2 ...
ал лн +...+а„! ал лн+ (6.354) 1 „1 ! +аы,! — +а,„г +...+а,„, 2<1<и. ал, ' ал, ал,, ал, ал, 1...а, Выражения (6.354) можно непосредственно использовать для построения численной пРоцедУРы по одновРеменномУ нахождению начальных значений Х' и 1!е . Выберем начальные значения положительных коэффициентов а„,тн1,(л-1) достаточно малыми. Начнем увеличивать коэффициент а, от а1, а другие коэффициенты оставим без изменения. При обеспечении равенства ал() = ал 1() значение а! фиксируется.
Кроме того, 1 принимается, что ае =а'„,тн2,(л-1). Причем коэффициент аг будем увеличивать. а остальные коэффициенты а„оставим без изменения. Тогда для некоторого значения аг — — аг > аг хотя бы одна из 2 возрастающих сумм сравняется по величине с одной и; убывающих сумм.
Допустим, что совпадение по величине произошло с суммой ал 2() . В этом случае принимается а'„= а„,те 1,(л-1)12. С учетом (6.352) для величин а1, /г( в неравенствах (6.350) можно получить слелующие выражения: Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 353 При этом коэффициент аз начнем увеличивать, а остальные оставим без изменения. Далее повторяется процедура, описанная выше для коэффициентов а,,аз. Данная процедура продолжается до тех пор, пока величина разности а ( ) = а (.) — а (.), (6.355) где а () =п1аха,(),а () =ш|да (), !еьь мгл не начнет возрастать. Чтобы обеспечить убывание величины ае, выделяют такие коэффициенты а„,н е Цн-1), при изменении которых сумма а'() уменьшается, а а () — возрастает. Таким образом, повторяя процедуру требуемое число раз, добиваемся тою, что а () -+ О. Данная задача всегда разрешима и имеет единственное ан<0, (н1,л.
(6.356) Таким образом, чтобы обеспечить разрешимость неравенств (6.347), необходимо выполнение соотношений (6.356). Поэтому, прежде чем определять начальное значение Х' = Хе, вначале необходимо выбрать такую матрицу К, которая бы обеспечивала выполнение неравенств (6.356). Если такая матрица К = Ке найдена, то для нее находят указанным образом значение Х' = Ц . Управление перемещением Х в левом направлении предлагается осуществить следующим образом. При фиксированной матрице К а,()=а,(а), !в),н, где а = (а! пз ... а„,]т — (н-1)х1 векторный параметр.
Обозначим через а' = а'(К) (6.357) значение параметра а, соответствующее собственному вектору де при фиксирован- ной К. Тогда а,(а')=Х Ч!п1,н. Поскольку коэффициенты а„,/ в1, н явно зависят от К, то можно записать а,()=а,(а,К), !п),н (6.358) а,(а',К)=Х'(К), !п1,л. (6.359) решение при положительных коэффициентах а„,чн1,(л-!) в силу свойств входных-выходных матриц. Таким образом, в результате предложенною подхода можно одновременно найти значения Хе,де, соответствующие матрице К = Ке.
Далее, необходимо осуществлять управление собственным значением Х', перемещая его в левом направлении. Укажем важное условие, которое можно эффективно использовать при управлении значением Х . Утверждение 6.5. Для стабилизируемости системы (6.211) необходимо, чтобы существовала такая матрица К, которая бы обеспечивала выполнение системы нера- венств 354 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П й,(а',к) = 2.'(/с),! «1,л. (6.361) Каждая из функций й,(а,/с),/«1,л является непрерывно дифференцируемой по всем компонентам параметра а и кусочно-непрерывной по параметру /с. При этом дифференцируемость й!() по компонентам параметра /с нарушается на тех его значениях, для которых хотя бы один из коэффициентов а„,/'«1,л1!' обращается в ноль. Введем обозначения у, = )/с «й 1: а, (/с) = 0~, с«!,л,/«1,л!!.
(6.362) Очевидно, при /с «)(о, /«1,л1/, коэффициент а, (/с) и функция й,(а,/с) не дифференцируемы по /с. Допустим, что /с~ «гс, У/ «1 л1! ! «1л. Для этого значения /со определим выражение дифференциала функций а,(а,/с ),!'«1,и. Изменение /с из этого значения в произвольном направлении можно представить в следующем виде ,;,о (6.363) где у — скалярный параметр, принимающий произвольное значение /с, (лг/)х! — за- данный вектор, определяющий направление изменения /с(/! может выбираться произвольным). Тогда Поскольку (6.364) ~т д! с! дог доп-! с/у ду ду ду д/ "' да, д/сг — — = (%'гй„/с ), , д/с~ ду "!да, да„ ~ ~— '.— "=(У й„аг') и выражение (6.364) принимает вид Рассмотрим вопрос, о том, как следует изменять матрицу К, чтобы обеспечить равенства (6.359), а значение Х'(К) при этом непрерывно перемещалось влево.
Обозначим через /! векторный параметр размера (л /)х1, составленный из всех коэффициентов матрицы К, например, следующим образом /с = (/с! ! - /сн /сг! -. /сг! —. /с.! - /с ! 1 (6.360) Тогда (6.359) примет вид Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авлеиия 355 а,'„(и,/г~) =(Чьа„/г )+(Ч а„а'„), /е!,и. (6.365) При изменении /г согласно (6.363) (т.е. в направлении вектора А ) значение Х'(А) изменяется со скоростью (6.366) т ~дХ' дХ' дХ" 1 ~ д/г, д/гз д/г, ~ а' (а, й ) = — < 0 Ч/ в 1, л О д).' ч ' а„ (6.367) (Чяа, /г )+(Ч а„п') =(ЧьХ',/г*) < 0 'Ф/е!,л, (6.368) отсюда (Ч а„а'„) =(ЧгХ',/с )-(Чьа„/с ) = =(ЧьХ'-Чьа„/г )=(Чь(Х' — а,),А ), /е1,л, т.е (Ч а„а„')=(Ч~(Х'-а,),/с*), /в 1,л. (6. 369) Чтобы значение Х'(й) перемещалось влево по вещественной оси при к = /г~, необходимо и достаточно выполнение неравенства Ф З.'„=(Ч„Л',/г )„„„<О, при этом само значение Х'„с учетом (6.370) можно выбирать произвольным.
Тогда в соответствии с (6.369) нетрудно видеть, что изменение параметра /г в направлении А и заданного значения /г~ обеспечивает непрерывное перемещение 1.' влево тогда и только тогда, когда существует такая отрицательная величина Х , для которой система линейных алгебраических уравнений (6.369) разрешима относительно (и-1)х1 векторного параметра а'., область допустимых значений которого не ограничена (т.е.
совпадает со всем пространством В" ' ). Тогда для того, чтобы осуществлять непосредственное управление собственным значением Х' за счет соответствующего изменения параметра 1, при котором Х' непрерывно перемещается в левом направлении вдоль вещественной оси на комплексной плоскости, необходимо таким образом изменять й, чтобы левая и правая части уравнений (6.361) убывали с одинаковой скоростью (т.е. чтобы скорости изменения (производные по направлению) этих частей были одинаковыми и имели при этом отрицательный знак). Таким образом, чтобы уравнения (6.361) обеспечивались, и при этом значение Х'(А) непрерывно уменьшалось, должны выполняться следующие соотношения Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 356 Действительно, если сформулированное условие справедливо, то это означает, что при уменьшении собственного значения Х' со скоростью сс„' параметр гс дол- жен изменяться со скоростью сс'„, а параметр Й со скоростью у в направлении Й . Поскольку вектор а может принимать только положительные значения, т.е. а > 0 или, что то же самое, а„> 0 сУч п1,(лс — 1), то при изменении сс в направлении сс необходимо, чтобы положительность а сохранялась. Для достаточно малых изменений 1с (т.е. для достаточно малых значений у ) с требуемой степенью точности можно записать а =а +а'„у, (6.371) где а = а соответствует значению сс~. Тогда за счет малости у можно обеспечить (6.232).
Следовательно„сформулированное условие не противоречиво и его выполнение обеспечивает равенство (6.222) при изменении сс. Уравнения (6.369) можно представить в виде (У,а„а')=сс -(Уса„lс ), сп),л. (6.372) Если воспользоваться обозначениями сусас Усаз - л х(л - !) матрица; Уса = с!с а, У„аз с!с а= а -ах(лс-1) матрица; Уса„ '7„а„ ,зт -ах! вектор, с с то система уравнений (6.372) приводится к виду У,а сс„' =Ь'„-Уса 1с, (6. 373) (и уравнений относительно (л — 1) неизвестного, т.е. переопределенная система). Из теории линейных алгебраических уравнений известно !521, что для разрешимости переопределенной системы уравнений (число уравнений больше числа неизвестных) необходимо и достаточно, чтобы избыточные (лишние) уравнения были линейно зависимы от системы не избыточных уравнений (число которых равно числу неизвестных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
