Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Для того чтобы обеспечить построение системы (6.215) с требуемой степенью грубости ьо, необходимо обеспечить выполнение неравенства ~В~о (6.297) нлн, с учетом определений (6.295), (6.296), ь, = — '-(ап + Р; ) В ьо, 1Ус и 1, и . 4 су! Отсюда (6.298) % 1н1,п, г>гш Синтез матрицы К в соответствии с соотношениями (6.298) позволяет построить систему управления с заданной степенью грубости по отношению к ограничениям (6.221).
6.4.9. ВХОДНЫЕ-ВЫХОДНЫЕ МАТРИЦЫ И ИХ СВЯЗЬ С РАЗРЕШИМОСТЬЮ дОстдтОчных условий Для исследования свойств неравенств (6.236), анализа нх разрешимости н формнровання процедуры решения могут эффективно использоваться так называемые входные-выходные матрицы 11381.
Согласно нх определению, это такие матрицы А' = (ай),"м., „элементы которых удовлетворяют условиям ае >О прн (м/, (6.299) а, -произвольная вещественная величина прн 1= /. Рассмотрим неравенства (6.236). Очевидно, нх можно представить в виде Глава б. Синтез ых систем автоматического авления 341 Й ««)«+!Йп!Яз + ... +!Йм[Я„( «)« !««э«!9«+ <'ггЧз+- +]Йг !9 ь «1з (6.300) !а„,'13«+]ею~уз+...+а «)„<«)„ который, в свою очередь, приводится к следующей векторной форме АЧ 6Ч, (6.301) где их а матрица А и ах! вектор Ч имеют выражения Й««!Й«э! " !Йм! ]Йы! Йы "' ]Йг ! 9««) Чз (Е) Ч = Ч(«) = (6.302) ]Йы! !Й„з! " Й„„ ч.
(«) при этом «1 = Ч(г) = [«),(г) Чз(1) " «)„(г)] . Нетрудно видеть, что элементы матри- т цы А удовлетворяют условиям (6.299). Следовательно, матрица А является входной-выходной. Кроме того, вектор Ч(«) является положительным, т.к. ««'н1,п «1«(«) > О. Известно 11381 следующее свойство входных-выходных матриц: если А — входная- выходная матрица, то она имеет собственное значение Л' с максимальной вещественной частью (т.е. йе Л' = щах йе Л„где Л«, «н 1«л — все собственные значения «еь«« матринь«А ), причем зто собственное значение является вещественным (т.е. 1тЛ = 0), а собственный вектор е', соответствующий данному значению Л', един- ственен и является положительным (т е. е,' > 0 ««« н 1, л, где е,', «и 1, л, — компоненты е' Л Таким образом, для матрицы А справедливо А'е' = Л'е' Л' =щй2«КеЛ„е' =[е«'...е„') >0 «е«,«« (6.303) Поскольку матрица А является входной-выходной, то для нее также должно выполняться свойство (6.303).
А с учетом зависимости а,„от матриц К и С, получим, что А является входной-выходной для любых значений матрицы К. Поэтому лля матрицы А всегда можно указать такие Л+ = Л'(К) н ««' ««" ~ Ч' = Ч'(К) > О, что АЧ' = Л'Ч", (6.304) где собственное значение Л' имеет максимальную вещественную часть среди всех собственных значений матрицы А, а Ч' — соответствующий ему положительный собственный вектор. 342 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П Воспользуемся рассмотренным свойством матрицы А для анализа разрешимости неравенств (6.236) или (6.301). Справедливо следующее утверждение. Утверждение 6.4. Для разрешимости неравенства (6.301) для практически реализуемых функций ограничения, удовлетворяющих условиям (6.240), необхолимо н достаточно, чтобы собственное значение Л' матрицы А удовлетворяло неравенству Л" <О.
(6.305) Действительно, справедливость этого утверждения непосредственно следует из теоремы 6.6, согласно которой дяя практически реализуемых функций ограничения все кру~и Гершгорина лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости С, если неравенства (6.301) разрешимы. Тогда все собственные значения Л„(и !,д, матрицы А, также находятся в левой полуплоскости, те. Ке Л, < 0 ч!е)п.
И согласно определению Л' (6.303) получим, что Л' < О. В то же время, если выполняется неравенство (6.305), то существуют такие практически реализуемые функции ограничения п(г), для которых неравенство (6.301) выполняется. Тем самым показана справедливость утверждения 6.4. Таким образом, о разрешимости неравенства (6.301) для практически реализуемой о(г) можно судить по знаку Л' . Если выполняется (6.305), то при некоторой матрице К обязательно найдется такая практически реализуемая г((г), для которой обеспечивается (6.301), а значит и фазовые ограничения. 6.4.10. 0 ЗАДАНИИ РАЗРЕШИМЫХ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ В предыдущем параграфе было показано, что если для некоторой матрицы К Л'(К) < О, то найдется такая практически реализуемая п(1),, соответствующая данной К, для которой справедливо неравенство (6.301).
Рассмотрим, какого вила могут быть указанные функции г!(г) для рассматриваемой К, удовлетворяющие (6.301), и каким именно образом их можно выбрать или построить. Пусть д'(!) — нестационарная функция (это возможно при Л' и 0). Согласно утверждению 6.4 считаем, что Л' < О.
Рассмотрим следующую задачу: для заданной матрицы А, у которой Л' < О, требуется построить множество практически приемлемых функций п(г), удовлетворяющих неравенству (6.301) (т.е, для которых выполняются фазовые ограничения (6.221)). Для решения данной задачи воспользуемся разложением произвольной функции фг) > 0 относительно функции д'(г) . Поскольку в общем случае п(г) м р(г) и'(1), р(г) > О,р(!) и !!', то п(г) можно представить в виде Иг) =р (г) ч'(г)-ч'(1), (6.306) где величина множителя р,(г) выбрана минимально возможной из условия, что Д(!) с р,(!) К (!), (6.307) а (1 (г) — вектор невязки между векторами и(!) и р, (г) и'(!) . На рис. 6.19 показано определение р,(г) и д'(г).
Глава 6. Синтез бык систем автоматического п авления 343 Рие. 6.19. Разложение функник о(з) р (г) = щ;,Я Ч Я ~ = щ)п~ Ч1(') Чк(') ~ Феьо д (1) д1 (г) д (г) (6.308) Для определенности положим, что (Г) до( ) д (1) Тогда вектор невязки дм аналогично тому, как показано на рис. 6.19, в общем случае можно представить следующим образом д (г)=р)(г)'д (г) д (1) (6.310) где лк1 векторы д '(1),д (г) определяются согласно выражениям ч1'(г) д> (г) ч.' з(г) 0 ч" (г) = , чЯ= (6.311) ч.— (г) 0 т.е.
векторы д (е),д Я являются ортогональными проекциями векторов Ч (г),д(г) на (л-1)-мерное координатное подпространство)1„" ' ортогональное оси Ох„(или вектору 10 0 ... 0 х„) ). Таким образом, д (Г) Е Згп д (1) Е Зги С учетом (6.310) выражение (6.306) примет вид д(г) = рЯд'Я- ргЯд "Я+ч'Я Вектор д'(г) по аналогии с (6.306) можно представить в виде д (Г) =Рз(Г)д (Г)-Ч (1) (6.312) (6.3! 3) (6.314) где множитель рз(1) выбирается минимально возможным из условия Поскольку Д'(г),Д(г) — прямоугольные параллелепипеды в 11", то р,(1) имеет вид Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 344 (6.315) Для определенности можно считать, что (6.316) (6.317) Тогда для Ч2(Е) по аналогии с (6.310) справедливо выражение Ч2(е)=Р2(е)'Ч (е) Ч (е) где (6.
3! 8) Ч('(е) ч( (е) ч.-гЯ 0 Ч -г(е) 0 ч'(е) = , ч'(е)= (6.319) причем (Е) Е )(л л-) Ч (Е) и Е(п л-Е (6.320) где )1„"„'( — (л — 2)-мерное координатное подпространство, ортогональное осям Охл и охл, Подставляя (6.318) в (6.3!4), получим ч Я =РЕЯч "Я-Р)Яч 'Я+ч'Я. Тогда выражение (6.313) примет вид Ч(Е)=Р)(Е)Ч (Е)+(Р2(Е)-Р)(Е))Ч (Е)-Р2(Е)Ч (Е)+Ч (Е). Продолжая и далее подобную процедуру разложения векторов, получим л-2( ) (Е) (л-2)л( ) (Е) (л-1)л(Е)+ (л- )(Е) (6.32! ) (6.322) (6.323) где л-г() ( -2)+() й2 (6.324) )(л З = )(„†'Е(л 2 = Е( †„ — дВуХ- И ОдНОЛ(ЕРНОЕ КООрдИНатНОЕ ПОдПрОСтраиетаа, ПО- 2 2 ( строенные указанным выше образом; Р -((Е)= —, Ч2 (е) ч2Я Поскольку Р— ' — одномерное подпространство, то в силу (6.324) получим л,2 Чл ((Е) = а. (Е) Ч ) (Е) (6.325) (6.326) Я(е),Д('(е) — ортогональные проекции многоугольников Яе),Д (е) на подпространство )1„" '. Множитель р2(е) определяется с помощью соотношения 345 Глава б.
Синтез бых систем автоматического п авления где где ч Я=а, Яч 'Я-а. Яч ) Я+ч ~(г), (6.330) 1 < !! < л - 2. Тогда для !1 =л — 2 получим и-3 дЯ=а Яч (г)+~(а...(1)-а,(1))ч (1) -а.,(0чы ™(г) + 1 + а.,(г)чо "'- а.,(г)ч"'(г) +а.(!)ч" "Я = и-1 = а1(г)ч'(г) ~„'(р„,(!) — а,(г)) ч"'(!). ч Выражение (6.33!) представляет собой разложение произвольной вектор-функции Ч(г)>0 по элементам собственного вектора Ч'(г). Воспользуемся разложением (6.331) для решения поставленной задачи по построению требуемых функций ч(!). В неравенство (6.30! ) вместо Ч(г) подставим выражение (6.331). Тогда получим Ад < ф или и-1 а!Ач++ , '(р„„-р„)Ад"' <а!ч'+р!ч'+ (6.331) и-1 +Ц(а.,! -а,)ч"'+(а„-а,)ч"'1 и \ Отсюда находим и-1 и-1 ~(а„„вЂ” р„)АЧ"' бр!Ч'+Ц(а„„-а„)д"'+(р„а! -а„)д""1.
(6.332) и 1 к=! Неравенство (6.332) можно непосредственно использовать для задания требуемого класса функций Ч(!), соответствующих заданной матрице А . При этом решение (6.332) осуществляется непосредственно относительно положительных функций а,(!),тн1,п, — удовлетворяющих условию (6.328), при фиксированных значениях векторов Ч"'(Г), Ч"'(!), д'Я, Ад"'(1), те Цл-1) . 22 зак.
366 ри(Г) = —. ч!(!) (6.327) ч",(!) Согласно определению множителей а,(г), т е 1, и можно записать соотношение а1(г) <аз(!) <- -'а. !Я-'а.Я, (6.328) рассматриваемое в текущий момент времени г > гс . Неравенства (6.328) будут справедливы ч! > !с, если считать, что геометрические соотношения между ч,(г),! н1,л также остаются неизменными '!1! > г . Аналогично можно получить выражение общего вида 1-1 Ч (г)=а1(г)д'(г)+~ (Р„,!(г)-а„Я)д"+Я-аьЯЧ 'Я+ЧьЯ, (6329) и=! 346 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 6.4.11. ПОСТРОЕНИЕ ДОПУСТИМЫХ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА Тогда, используя выражение (6.302), для А получим л-и ~ а!,Ч,' А!1"+ = у е1,(л-1), (6.334) Или , 'а„,Ч," а, — элементы матрицы А. Обозначим Рл(!)=Рлл!(!)-Ри(!) УН1(»-1) В силу (6.328) 13„(1) > О, чт н 1,(л — 1) . С учетом (6.334) рассмотрим левую часть неравенства (6.332). Имеем (6.335) (6.336) и-! л-и ', ч~ ~3„6!,Ч,+ и=! ~! л-и ~ а!Ч, и-! Х(3„АЧ"' =',) '13„ (6.337) л-! и-и ,~и !)илия л! г! Иил ~ а„,Ч,' В то же время правую часть неравенства (6.332) можно привести к виду Р!Ч! +~х' (Р Ч! +Р,Ч! ) л=! и-2 Р!Чз + ~ЯРнЧ2 +(3лЧ2 ) и-! Р!Ч' ьХ((3,Ч"'+(3,Ч"') = Р!Ч -! +(О!Ч -! +Р!Ч,-!) Р!Ч» (6.338) Р!Ч! + ~~' 13, Ч! + х~'„О„Ч! Р!Ч2 + ~ Рл Ч2 " ~ Рл Чз Р!Ч»-!+О!Ч -!+Р!Ч -!) РГЧи рассмотрим возможный подход к определению допустимых функций Ч(г), удовлетворяющих (6.301), на основе неравенства (6.332). В общем случае можно записать !1 =(Ч! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
