Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Получим окончательный вид требуемых соотношений ~~,аЯ,„— -ф! (г) е а„гЬ (г)- ЯЬмур(г) Я а„Я < 92 (Г) — апсй (Г) - Ч ~Ь,„у„ (Г), (6.246) се!,п, Г>Го. Соотношения (6.246) являются более общими по сравнению с (6.236) и могут быть сведены к последним, если положить й„(г)=<7„(г) Уте1,п; у (г)мО, ре1,т, (6.247) т.е. несимметричные фазовые ограничения заменяются симметричными, а задающее воздействие обнуляется. Допустим, что фазовые ограничения являются симметричными, т.е. С7с(Г) Чс(Г) Ос(Г)>0, УЕ1,П, у (!) и 0 при 1! е!,т. ззо Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть Н Тогда (6.246) принимает вид !г' ЬяУя(1) < 9,(1) — а„9,(1) — ~(а,„(9„(1), яы (6.248) 1) 1О.
Ву(1) Е ь(А(, (6.250) где Ь(А( — линейное подпространство в )1", натянутое на вектор-столбцы матрицы А (нли ь(А(= 1шА — область значений вектор-функции Ах при х е )1" (145]). Тогда существует такой вектор х е Н", для которого -Ах = Вх,. (6.251) В системе (6.243) вида х = Ах+ Вх, =(А — ВКС)х+Вх, произведем замену переменной по формуле х=х-х. (6.252) Имеем х+х =Ах+Ах -ВКСх +Вх„ нли, с учетом (6.251), х = Ах -(х + ВКСХ ). Ограничения (6.242) примут вид — с7, (1) ~Х, +Х, <9, (1), !Е1,Л. (6.253) Отсюда -о, (1) — х, < х, <о, (1) — х;, 1е1,л.
Считаем, что ограничения для х„! е 1,л, являются симметричными, т.е. д,'(1) - х,' = д, (1)+ х,' = б, (1) > О, ! е 1, л. Тогда с учетом (6.254) (6.254) (6.255) )х ( < Ь (1), ! е 1, л. (6.256) На рис. 6.13 ограничения (6.254) показаны для постоянного и переменного х, Таким образом, приходим к задаче обеспечения симметричных фазовых ограничений (6.256) для системы (6.253).
Обозначим х +ВКСх =х =х (К,1) — лх1 вектор. Тогда система (6.253) приводится к уравнению х(го) = "о 1 иго (6.258) Нетрудно видеть, что неравенства (6.248) разрешимы тогда и только тогда, когда разрешимы неравенства (6.236). А из (6.246) следует, что для разрешимости данных неравенств необходимо выполнение соотношений — д, (1)+а„сУ, (1) 9, (1) — а„сУ, (1),1 (6.249) 1е),л, 1 иге. В некоторых случаях неравенство (6.246) можно упростить. Допустим, что выполняется условие 'лава б. Синтез бых систем автоматического п авления 331 ае вектор х должен удовлетворять симметричным ограничениям (6.256). Поскольку истема (6.258) имеет такой же вид, что и (6.243), то для нее справедливы соотношения <б, — лоб„ шах Цаб„ (6.259) г ге 1, н, г > го, Рпс.
6.!Э. Ограниченна нлн постоянного (о) п переменного !О) вектора х Из (6.259), с учетом того, что = ~(а,„'р„+Ц, ш ах !Ц!аь„ н=! тм следует неравенство Ц < 8, — лоб, — ~) 1а, !5„, т=! (6.260) т» гге!,н, !~го, аналогичное (6.248) и удовлетворяющее тем же самым условиям разрешимости, что и (6.248). При этом вектор х формируется согласно выражению (6.257).
6.4.6. О ДЕФОРМАЦИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ При решении неравенств (6.236) одним из приведенных в предыдущем параграфе методов вероятен случай, когда выполнение соотношений (6.239) в классе линейных законов управления (6.214) обеспечить невозможно. Но это не означает, что для рассматриваемой системы (6.215) нельзя подобрать такие фазовые ограничения, при которых соотношения (6.239) будут разрешимыми. Причем часто для разрешимости требуется лишь незначительно сформировать (изменить) заданные ограничения. В частности, так, как показано выше на рис. 6.11. Допустим, что деформация Д(г) осуществляется за счет некоторого поворота данного множества в пространстве !!" без изменения геометрических соотношений данного множества.
332 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Переход от множества Яг) к множеству Д'(1) за счет некоторого поворота Д(1) на угол а называется преобразованием вращения [71] и характеризуется матрицей вращения Т„; соответствующей повороту Д(1) в плоскости двух переменных х, и х, При этом 1 О " О О ". О О ". О О 1 " О О " О О " О О О " сова О " О -в)па " О О О " О 1 " О О ". О (6.261) Т = к О О " О О " 1 О " О О О " гйпа О " О сова " О О О " О О " О О " 1 ияи х'=ТАТ 'х'=А'х', * (1ю) = хю гаге (6.267) где Матрица Т, обладает свойствами ортогональной матрицы, согласно которым Если в )!" осуществляется несколько поворотов множества Д(1), характеризуемых матрицами вращения Т,,Т,,...,Ть .
то общий поворот Д(1) к Д'(1) характеризуется матрицей вида Тогда вектор х, полученный в результате поворота вектора х, равен х'=Тх, (6.263) а множество Д'(1) определяется по формуле Д =Т Д=[х и В:х =Тх, хиД~ . (6.264) Фазовые ограничения для деформированного многоугольника будут следующими х = х (1) н ы (1), 1 > 1ю . (6.265) Таким образом, вместо соотношения х(1) в Д(1), 1 > гю, где ~(1) задается согласно (6.221), необходимо для системы (6.215) обеспечить деформированные ограничения (6.265). Данную задачу можно свести к рассмотренной путем соответствующей замены переменных. Действительно, если исходный вектор х преобразовать к х' согласно (6.263), то в новой системе координат деформированный многоугольник имеет вид Д(1)=(х нп: 1х/<с7,(1),1в!,и~, (6.266) т.е.
задается аналогично Д(1) в старой системе координат. Кроме того, (6.215) примет вид Т х'= АТ х' Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления (6.269) где а,'„= а,'„(К,а,,аз,...,аг), 1,ув!,и, коэффициенты матрицы А', которые помимо матрицы регулятора К зависят от углов поворота а,,аз,...,а„, определяемые матрицами вращения (6.271) Прн этом неравенства (6.269) разрешимы тогда и только тогда, когда для системы (6.215) разрешимы соотношения (6.222) для деформированных фазовых ограничений (6.265). Данное утверждение справедливо для произвольного невырожденного линейного преобразования (т.е. не только для преобразования вращения). Это непосредственно следует из сравнения неравенств (Ч,у,(х,г),х)+ ' <О ду, (х,г) ( Т, )~, ),(,) )н!,л, ге ге, ох=Т 'х'пГД'(г)ПГЯ(г).
(6.272) Из (6.272) видна эквивалентность первого и второго неравенств, а значит, утверждение верно. Более того, можно показать, что если система (6.215) является полностью управляемой, то за счет преобразования поворота (6.261) многоугольник Яг) вида (6.221) всегда можно деформировать таким образом, что соответствующие этому случаю неравенства (6.269) будут разрешимы.
Для линейных систем вместо деформации всего многоугольника Д(г) можно рассматривать деформацию (смещенне) его отдельных вершин. При этом смешать вершины необходимо таким образом, чтобы вектор скорости системы х в смещенных координатах был напранлен внутрь Д'(г) . б.4.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРУГОВ ГЕРШГОРИНА ДЛЯ АНАЛИЗА РАЗРЕШИМОСТИ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ Неравенства (6.236) можно рассматривать, как некоторое обобщение известных результатов, полученных в теории матриц и используемых для локализации их собственных значений.
Известным результатом, имеющим практическое значение, является теорема Гершгорина (154] о локализации собственных значений произвольной матрицы А . В соответствии с ней вводятся обозначения: А'=ТАТ ' =ТАТ (6.268) — согласно свойствам ортогональных матриц. В результате приходим к эквивалентной задаче обеспечения фазовых ограничений' (6.266) для системы (6.267), которые будут выполняться тогда, если выполняется система неравенств 334 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П р, = Яа,„~,! е 1,и, т=! вм 0,(А) = (г е С: 1г - а„! < р, ), (6.273) б(А) =( )б,(А), где р, — радиус г-го круга Гершгорина Сг(А), заданного в комплексной плоскости С (х — вектор на комплексной плоскости); С(А) — область Гершгорина. Если Х„! и 1,и — собственные значения матрицы А, то согласно теореме Герш- горина ), и б(А) эУ!'е1,и.
(6.274) Известен более общий результат, связанный с использованием кругов Гершгорина. Согласно 19) для произвольной матрицы А круги Гершгорина определяются следующим образом е р = — ХМ.Ь., Р~ т=! см б, (А) = ( з н С: 1з — а„~ < р, ~, ! и 1, и (6.275) бе(А) Оз(А) О!(А) Рис. б.!4. Расаоложенне кругов Гершгорина в левой нолувлоскости эквивалентно неравенствам (б.тзб) 9~(г) = Д и сопз1, 1н 1,и, Тогда неравенства(6.106) приводятся к виду 1 — ~ 1а,„'ру„<-аа, !е1,и, 1<Го !)г т=! (6.276) (6.277) вм При этом область С(А) имеет вид аналогичный (6.273) и обеспечивает условия локализации собственных значений (6.274), а Р, > О, ! е 1,л — произвольные неотрицательные числа.
За счет соответствующего выбора Р, > О,! е 1,и, можно добиться хорошей локализации собственных значений матрицы А . Допустим, что Глава 6. Синтез бых систем автоматического веления 335 или, с учетом (6.275), р, <-ан, (н1,л, г>го, т.е. к рассмотренным уже соотношениям. Но при этом круги б,(А),! е 1,л формируются согласно (6.275) Пусть круги Гершгорина имеют по-прежнему вид (6.275), но условия (6.276) не выполняются.
Тогда получим и —. У )а,„~е7„(-ао + —,ен! л !Иго гм или р, <-ан+ — ',(н!,л,г>го. 4 % В плоскости С введем новую переменную г = г-г„1н 1,л, (6.279) соответствуюшую 1-му кругу Гершгорина б,(А), где г, — некоторый заданный вектор на плоскости С г=г+г, икруг б,(А) имеетвид 6, (А) = 1г+ г, н С: 1г+ г,.
- ан! б р, ) = =(гнС:)г-(ан-г;))<р;), гн1,л, Очевидно, что в новой системе координат у всех кругов б,(А), 1'н !,л, центры смещены на вектор (ао — г, ) относительно нового начала отсчета (см. рис. 6.15). Рис. бив. Круги Гершгорина цри смешении центра иоораннат Положим г, = — ',!е),л. 4 % В силу свойств е), (г) г; нФ и г, <О Ъ|н 1,л. (6.281) Поэтому круги С, (А) в новой системе координат имеют вид согласно рис. 6.16. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть!1 336 Рнс. блб. Круго Гершгорннв в новой системе координат лельной мнимой оси 1ш з, то будут выполняться ограничения 1хю ! к с)ю (г)~ ' е 1 и г и го . рассмотрим частный случай экспоненциальных фазовых ограничений, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
