Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Часть 11 6.3. РАСШИРЕНИЕ МЕТОДА ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА и-ОКРЕСТНОСТЯХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ В данной главе рассмотрены несколько подходов применения метода фазовых ограничений в зависимости от характера задания е-окрестностей, При этом е-окрестности предлагается задавать: как некоторые множества уровня функций ограничения; с помощью некоторых отображений (стационарных и нестационарных) границ заданных множеств; на основе проекционного подхода.
Для каждого из подходов получены конкретные соотношения для решения задач синтеза. 6.3.Т. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА С УЧЕТОМ е-ОКРЕСТНОСТЕЙ Рассмотренный в предыдущей главе метод обобщенных фазовых ограничений, основанный на введении е-окрестностей множеств в пространстве состояний, может быть обобщен с позиции других подходов, используемых для систем, задаваемых в пространстве состояний. Считаем, что объект управления так же, как и в предыдущем случае, описывается либо уравнением (6.57), либо (6.111). Вначале рассмотрим задание объекта уравне- ниями (6.57), согласно которым х = 7'(х,п,г), «(го) = хо г > го. При этом уравнение и удовлетворяет ограничению (6.58), т.е. н и (7(х, г), г > г,, где, в частности, (/(х,г) и (7 = сопз1. Вместо ограничения (6.59) на вектор состояния будем рассматривать ограничение более общего вида (см.
(6.52)) ф(х) = чэ (х(г)) е й (г), г > го, еп Е, где у() — заданная а к1 функция, непрерывно-дифференцируемая в )1"; Š— задан- ное в Я~ множество. Требуется для объекта (6.57) синтезировать такой закон управления, который бы удовлетворял ограничению (6.58) и при этом обеспечивал принадлежность вектора состояния заданной о-окрестности в )1Я согласно условию (6.52). Так же, как и в предыдущей главе, получим некоторые достаточные условия на вектор управления, при выполнении которых обеспечивается (6.52).
Будем считать, что я принимает произвольное фиксированное значение на множе- стве Е, т.е. соотношение (6.52) должно обеспечиваться в некоторой фиксированной е-окрестности множества Д. Кроме того, положим ф(х) и х. (6.119) При этих допущениях будем синтезировать требуемый закон управления. Далее для решения поставленной задачи рассмотрим два подхода, представляющие собой обобщения метода фазовых ограничений; 1) метод обобщенных фазовых ограничений; 2) метод Я,р) -разбиения пространства состояний, — и основанные на использовании концепции ФМП. Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 303 (6. 121) Возможные е.окрестностн множества ьз Рнс. бл. Выбор е-онрестностн множества О Таким образом, задача синтеза требуемого закона управления может быть сформулирована следующим образом: для объекта (6.57) построить такой закон управления, удовлетворяющий ограничению (6.58), который бы обеспечивал выполнение фазовых ограничений вида (6.120) хотя бы для одной е-окрестности Д,(1) произвольного вида, сформулированной для множества Д(1) и удовлетворяющей условию (6.
122). заметим, что вид Д,(1) полностью определяется заданием той или иной функции ограничения зр,(х,г). Согласно (6.5) формирование е-окрестностей с теми или ины ми свойствами для заданного множества Д определяется выбором некоторой мер близости р(х, Д), характеризующей близость или удаленность х от Д в том или ино,. смысле. В рассматриваемой постановке задачи синтеза вид и свойства ц(х, Д) специально не оговариваются, и, в общем случае, для задания зр,(х,(), обеспечивающих (6.122), могут использоваться р(х,Д) с различными свойствами.
Поскольку у,(х,г) Вначале рассмотрим первый подход — метод обобщенных фазовых ограничений. С учетом (6.119) соотношение (6.52) принимает вид х = х(1) и Дс(1) (6.! 20) при е е Е, 1 > 1о.~ Сформулируем произвольную а-окрестность множества Д(1) вида (6.60), т.е. ко- гда Д(1) =(хе 11": зр(х,г) <0~. Для этого поступим следующим образом. Произ- вольная а-окрестность множества Д(1) имеет вид 0е(1) = ~х в 1Г ЦУе(х,г) < 0~, где р,(х,1) — скалярная, предполагаемая непрерывно-дифференцируемой функция ограничения, соответствующая данной в-окрестности.
Поскольку в может принимать произвольное значение на множестве Е = ~б,с'~, то Д, — может быть произвольным множеством, удовлетворяющим соотношению 0е- (1) В 0с (1) и К (1), 1 й 1О, (6.122) где е, е' могут быть, в частности, определены аналогично (6.111). На рис. 6.2 показано, каким образом можно выбрать допустимую е-окрестность Д, . Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 304 могут соответствовать различным ц(х, Д), то в качестве Д,(1), е в Е, допускается использовать произвольное множество, удовлетворяющее (6.122).
6.3.2. МетОД ФА30Вых ОГРАничений нА е-ОкрестнОстпх мнОжестВА (э (У„~у, Г(х, и,г)) + — ' < 0 чх е ГЯ(1), дЧ', хотя бы одного ц = ц() е (7(х,г) и некоторой у,(х,г), соответствующей Д,(г), г > 1Ф (6.! 24) Данная теорема представляет собой некоторое обобщение теоремы 6.1, однако непосредственно пользоваться ею затруднительно, поскольку не определено, как формировать допустимую функцию у,(х,г) и осуществлять набор х на границе ГЯ,(1) произвольно выбираемой е-окрестности. Рассмотрим, каким образом можно задавать функцию у,(х,г), определяющую произвольную допустимую е-окрестность множества Д. Для этого воспользуемся свойствами поверхностей уровня функции у(х,г), с помощью которой задается множество Яг) .
Известно, что поверхность уровня ГД(1) задается с помощью равенства Ч'(х,г)=0, 1>г,. Пусть необходимо задать некоторую поверхность ГД,(г) . Считаем, что между граничными элементами х и ГЯг) и х а ГД,(г) можно установить взаимно однозначное и непрерывно-дифференцируемое соотношение вида Рассмотрим решение задачи синтеза, сформулированной в предыдущем параграфе. Очевидно, если для множества Д(1) определена некоторая мера близости р(х,Д), то на ее основе для каждого е > 0 всегда можно построить е-окрестность Д,(1) с границей ГД,(1) и соответствующую ей функцию ограничения ~р,(х,г). Таким образом, в общем случае цг,(х,1) = С()з(х,()),(Э(г),е), (6.! 23) где б(.) — некоторый оператор, определяющий однозначную зависимость от заданных р(х,Д), Я!) и е.
Если в общем случае зависимость (6.123) известна, то функция у,(х,г) является заданной, и для решения поставленной задачи синтеза можно воспользоваться сформулированной выше в предыдущей главе теоремой 6.1 с соответствующей заменой Я1), ГД(!),Ч~(х,г) на (),(г), ГД,(1),у,(х,г) . Однако, если даже зависимость (6.!23) не известна, то функцию у,(х,г) всегда можно задать с учетом требуемых свойств (6.122). При этом меру близости р(х, Д) уточнять не обязательно.
Таким образом, будем считать, что для произвольной е-окрестности Д, (г), удовлетворяющей (6.122), функция у,(х,г) может быть непосредственно задана и предполагается известной. Тогда аналогично теореме 6.1 справедлива следующая теорема. Теорема 6.3. Для объекта (6.57) при наличие ограниченнй на вектор управления (6.58) соотношение (6.120) хотя бы для одной е-окрестности Д,(г), удовлетворяющей (6.122), будет выполняться тогда, когда выполняется неравенство Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 305 х = т~(х,!), (6.125) где !)()- ии! вектор-функция с соответствующими свойствами. Тогда достаточно произвольную поверхность ГД,(!) можно представить в виде ГД~ (!) = (х е Я: Ч~(!)(х,!),!) = О) . (6.126) Действительно, справедливость этого непосредственно следует из представления ГД(!) и связи между ГД(!) и ГД,(!). Рассматривая на множестве ГД,(!) теорему 6.3, получим, что для обеспечения соотношения (6.120) на е-окрестностиД,(!) достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство, непосредственно получаемое нз неравенства (6.124) (Ч,г! Ч Ч', !'(Х,и,!))+(т Ч') — + — <О, т дз! др ч ч Член,(!), хотябы одного и=и(.) еУ(х,!),г>!е, (6.127) где использовались соотношения Ч',(х,!) = Ч'(Ч(х,!),!), !7„Ч', ='7„Ч СУ„Ч/, дЧ', т дп дЧ' — '=(!7 Ч') — + —.
д! " д! д! (6.128) (д „-. ~ р у(„- „,)),(~ ф)т. ~'1, дЧ', О Ъ'х е ГД,(!), хотя бы одного и = и( ) е й(х,!),! > г„, где использованы обозначения Р„Ч = (!,Ч(0-'(8,!),!); 5!„Ф =5!„Ч'(Ч '(8,!),!); дч(Ч '(х,!),!) 7"(х,и,!)=!'(г! '(х,!),и,!); — = д! д! — ' '; й(х,!) =и(Ч-'(х,!),!). дЧ дЧ'(Ч '(х,!),!) д! д! (6.130) (6. ! 31) Таким образом, показана справедливость следующего результата. 21 аак. Зее Согласно определению функции и() поверхность гД,(!) можно представить в виде ГЯа(!) = (х = и (х,!),х е ГД(!)~, (6.129) где з) !() существует в силу взаимной однозначности т!() и в достаточно общем случае предполагается известной. Из (6.129) следует, что если х пробегает все множество ГЯ,(!), то вектор х пробегает все множество ГД(!).
Поэтому, если в неравенстве (6.127) осуществить замену переменной х на переменную х в соответствии с зависимостью х=п (х,!), то получим соотношение, эквивалентное (6.127), выполнения которого достаточно, чтобы обеспечить (6.120) на некоторой ГД,(!), и имеющее следующий вид 306 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 6.3.3.
МетОД ФА30Вых ОГРАничений ПРи ОтОБРАжении е -ОкРестнОстей НА ЗАДАННОЕ МНОЖЕСТВО Рассмотрим другой подход к заданию а-окрестностей, позволяющий получить достаточно эффективные соотношения для синтеза управления. Произвольную е-окрестность ГД,(г) множества Д(г) будем задавать по аналогии с (6.125), но в отличии от (6.125) считаем, что х' =Р(х,г), (6.!32) где х' аГД,(г), хи Гфг); г() — ях! вектор функция, непрерывно дифференцируемая и взаимно-однозначная между поверхностями ГД(г) и ГД,(г) . Вначале рассмотрим случай, когда ГД( г) = ГД т сопзц Г(з, ( г) = ГЯ и сопя!, ~( х, г) = с ( х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
