Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 50
Текст из файла (страница 50)
в виде фазовых ограничений. Действительно, пусть рассматривается задача 1, т.е. если при г = ге х(ге) = хе е ое, (пРичем хе может быть пРоизвольным элементом из ое), то пРи 1 =1„(где 1„— необязательно задано) необходимо, чтобы х(гг) = х а Я„. Тогла заданное требование ь можно представить в виде задачи по обеспечению фазовых ограничений следующим образом. Пусть Д (г) ~ !!" — такое множество, что для него выполняются условия: Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления 287 И!) = (6.37) задачу 1 приведем к виду ектории х (!), определенная лля всех ! > гв и содержащая все свои граничные элементы. Окрестность 0(х*(!)) = О (!) задана в одной из рассмотренных выше метрик пространства )!" . Тогда, задавая приемлемые размеры данной окрестности, можно считать, что траектория х*(!) воспроизводится с требуемой точностью, если обьект (6.13) в произвольной точке окрестности О (!) .
Тогда задача 2 приводится к виду х(!) е а (!), ! > го. (6.39) При этом, когда задача 2 является задачей стабилизации, то программная траектория х (!) - =О е )!", а объект (6.13), как правило, — линеаризованный. В задаче 3 качество переходных процессов определяется видом некоторой области О(!), заданной в пространстве состояний !г" на основе требуемых значений показателей качества САУ.
В этом случае задача 3 непосредственно сводится к соот- ношению «(!) е О(!), ! >гш Рассмотрим задачу 4. Пусть Х(!) = ( х(!); х(ге ) = ха в Ха ~, (6.41) где Ха — заданное замкнутое множество в Р", х(!) — множество значений пучка траекторий, выходящих нз множества Ха, в текущий момент времени !.
Тогда задача управления пучком траекторий состоит в обеспечении соотношения Х(!) ы(!) где Д(!) — заданное замкнутое множество в )1", или, что то же самое, х(!) и Д(!), Ъ'х(гв) = хо е Хо ! > !о. (6.43) Вообще говоря, если динамические характеристики САУ могут быть представлены через свойства траекторий х(!) объекта (6.13), то обеспечение ограничений на данные характеристики также сводятся к некоторым фазовым ограничениям. Таким образом, решение приведенных выше четырех задач сводится, собственно, к обеспечению соотношений (6.38) — (6.40), (6.42), (6.43), которые представляют ни что иное, как ограничение на переменные состояния объекта управления. Поэтому в достаточно общем случае можно утверждать, что для широкого класса задач управления, рассматриваемых в пространстве состояний, цель управления может быть представлена в следующем виде х(!) е Я!), ! > га, (644) (6.40) (6.42) где Д(!) ~ Я вЂ” заданное замкнутое множество.
«(!) е Я!), ! >гш (6.38) Рассмотрим задачу 2. Пусть программный режим движения характеризуется некоторой траекторией х*(!), которая с достаточной степенью точности должна быть воспроизведена объектом (6.13). Пусть 0(х (!)) — некоторая замкнутая окрестность тра- Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Соотношение (6.44) может быть обобщено и представлено следующим образом 'ро! Х(г)) - Ро(г) г = го (6.45) где Фо() — заданная их1 вектор-функция, непрерывно-дифференцнруемая в 11"; Яо(г) с 1(Я вЂ” заданное замкнутое множество для всех г > 1о.
6.1.6. ФОРМИРОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ПРИНАЛЛЕЖНОСТИ (ФМП) НА ЭЛЕМЕНТАХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В соответствии с изложенным в предыдущем параграфе, задача управления объектом (6.13) состоит в обеспечении ограничений на вектор состояния, которые сводятся к соотношению (6.44) или (6.45), характеризующему принадлежность в пространстве 11" заданному множеству и называемому соотношеняем нринадлежностш Прн этом о самом объекте (6.13) предполагается, что прн его задании возможна параметрическая неопределенность вида (6.35), а также неопределенность при описании структуры объекта либо в соответствии со шкалами структур (внешней и внутренней), либо на основе множества структур, ограниченных по норме.
Кроме того, должны выполняться ограничения на вектор состояния (6.20) и вектор управления (6.21), (6.27) при действии возмущений вида (6.28)- (6.34). Поскольку цель управления (6.45) так же, как и ограничения на вектор состояния (6.20), представляет собой ограничения на вектор х, то, считая данные ограничения совместимыми, приведем их к единому виду Ф(х) = оз(х(г)) н Яг), г > г,, (6.46) где йх1 непрерывно-диффепенцируемая вектор-функция Ф(.) и множество Я(г) ~ 1(я выбраны так, чтобы из выполнения соотношения (6.46) следовала бы справедливость соотношений (6.20) и (6,45).
Таким образом, для объекта управления (6.13) с возможными неопределенностями по структуре, параметрам, возмущениям указанного вида решается задача обеспечения соотношения принадлежности, приводимые к единому виду (6.46). При реализации соотношения (6.46) необходимо учитывать следующие особенности: ° точное задание множества Яг) и функции Ф(х) во многих практически важных случаях часто оказывается невозможным. Это обусловлено тем, что обеспечение тех или иных ограничений обычно допускается с некоторой степенью точности; ° при использовании математической модели объекта управления возможны неопределенности по структуре и параметрам модели, а также по возмущениям со стороны окружающей среды; ° существенные трудности, а иногда и невозможность обеспечения заранее заданных ограничений. Это связано с тем, что задание тех нли иных ограничений, исходя из технических требований, накладываемых на задачу, обычно не учитывает вид модели объекта управления (динамику объекта).
Данное обстоятельство и приводит к трудности обеспечения ограничений. Таким образом, указанные особенности характеризуют трудности при реализации соотношения принадлежности (6.46) для объекта (6.13). При этом невозможность учета динамики объекта, а также неопределенность описания его модели приводит к необходимости некоторого изменения ограничений для обеспечения их разрешимости.
Следовательно, для обеспечения цели управления, сводящейся к ограничениям на векгор состояния, целесообразно соотношение (6,46) видоизменить так, чтобы допускалась неоднозначность выбора данных ограничений непосредственно из зада- Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 289 ния цели управления (соотношения принадлежности). Для этого воспользуемся введенным выше понятием е-окрестностей множеств в пространстве состояний.
Допустим, что при г = ге вектор х(ге) = хе удовлетворяет условию ф(хо) ей,(го) (6.47) где Д, (ге) — ее-окрестность множества ЯГе), соответствующая некоторой достаточно малой скалярной величине ео = е(хе ) > О. (6.48) Причем, согласно (6.48), для каждого хе определена, вообще говоря, своя величина ее, а значит, и своя ее -окрестность Д, (ге) (в частности, если еа = 0 для всех возможных хе, то согласно (6.47) получим ф(хе) а(ге) (6.49) (6.51) где е = О, е' — некоторая заданная величина. Используя введенное обозначение (6.51) и учитывая сказанное, можно расширить понятие цели управления для объекта (6.13).
Будем считать, что в достаточно общем случае для объекта (6.13) цель управления обеспечивается тогда и только тогда (илн состоит а том), когда на его траекториях обеспечивается выполнение следующего соотношения ср(х(г)) е Д,(г) п)эи ееЕ, 1>Га,/ (6.52) называемого аналогично (6.46) соошпошепиеи принадлежности. При этом можно допустить, что величина е в (6.52) имеет не фиксированное значение из множества при любом выборе хе ).
Если, например, некоторая траектория х(г) удовлетворяет условию (6.49), то обязательно существует такой отрезок времени Т(хе), состоящий, по крайней мере, из одной точки ге, что при г е Т(хе) справедливо соотношение (6.46). В случае, когда Т(хе) не совпадает со всем интервалом функционирования САМ, то прн с е Т(хе) условие (6.46) не выполняется, но вполне возможно, что чэ(х(!)) е й (г), е ее, (6.50) т.е. х(г) не выходит за пределы е-окрестности множества 0(г), где е — достаточно малая величина. Следовательно, если соотношение принадлежности (6.46) для какой- либо траектории х(г) объекта (6.! 3) не выполняется, то для данной х(г) вполне возможно выполнение соотношения (6.50), в котором множество Д,(г), вообще говоря, является достаточно малым расширением множества Яс) за счет соответствующего выбора величины е>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
