Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Аналогично (6.129) можно записать ГД =(х =г(х): хиГД~. (6.134) Изменяя внд функции Р(х), для фиксированного множества Д можно получить различные в-окрестности с границами ГЯ. Для того, чтобы на Д, применять теорему 6.3, получим выражение для У,.Ч',, зависящее непосредственно от У„Ч' с учетом (6.132). Из равенства х' =с(х) получим следующее соотношение между дифференциаламн х' и Ых Ых' = ч,с а!х, (6.136) где У,Р, — якобиан функции Цх).
Пусть Г = Г(х) — гиперплоскость в пространстве !!", касательная к поверхности ГД в точке х и ГД . Аналогично определим гиперплоскость Г' = Г'(х'), касатель- ную к ГЯ в точке х' и ГД„ которая выбирается согласно равенству (6.135). Если в соотношении (6.! 36) вектор фх выбирать таким образом, чтобы х+ ~й и ГД, где х а ГД, то в силу свойств функции с(х) получим, что х'+ах' н ГД„где х' нГД,. В силу бесконечной малости векторов Их и Ых' следует, что х + а!х н Г(х), х' + Ых' и Г'(х'), (6.139) т.е, ах и дх' лежат соответственно в гиперплоскостях Г(х) и Г'(х). Известно, что (6.138) Следствие 6.5.
Двя обеспечения соотношения (6.120) для обьекта (6.57) при ограничениях на управление (6.58) достаточно, чтобы суи!ествовала такая взаимно- однозначная и непрерывно-дифференцируаиая в !!" (или в й~+~(Г) чГ > Ге ) пх! вектор-функиия г)() вида (6.125), для которой выполняется неравенство (6.130). Заметим, что неравенство (6.130) является удобным для синтеза требуемого закона управления, т.к. входящие в него величины полностью определены, а выбор допустимой функции ц() не требует разрешения сложных ограничений. Глава б. Синтез бых систем автоматического п авления 307 Зу,'у 1 Г(х)) 12,.Ф,.ЕГ'(х') згхн ГД ~ух' нГгэ (6.140) Поэтому для произвольных приращений Ых и Нх', удовлетворяющих (6.137), (6.138), с учетом нх ортогональности векторам Г„'Р, 57„.Ч', (6,140) получим (5г„'Р,~! ) =О (6.141) Чдх, что х+НхнГЯ (зГ,'Ч'„пх') = 0 ~Их', что х'+ах' н ГЯ,.
Равенство (6.142) с учетом (6.136) примет вид (Г,е„ь')=1~,.ч,р,м )=(!~а!'ч,.ч„~)=ю~ Чих, что х+охнГД. Сравнивая (6.141) и (6.143), в силу Ч',(х) произвольности вектора г(х, получим (Сг 1)т Ч,Ч =()(х).5г Ч (6. ! 44) где ()(х) — некоторая скалярная функция, определенная ч'х н ГД (считая, что функция также, как и Ф(х) с возрастанием имеет расширяющиеся множества уровня, то можно положить, что'()(х) > 0 Чх н ГД, т.к. вектор к,,Ч', будет ориентирован относительно ГД, ). Поскольку г(х), согласно определению, устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами ГД и ГД,, то такое же соответствие должно быть между векторами (х+пх) и (х'+г(х'), удовлетворяющими(6.137), (6.138).
Следовательно, взаимно-однозначное соответствие будет между рассматриваемыми приращениями Нх и Нх'. А поскольку дх и Ых' связаны соотношением (6.136), то получим, что якобиан ч,Р 'чх н ГД представляет собой пхп невырожденную матрицу. Отсюда находим, что и 5г„Р, также лхй невырожденная матрица. И потому из (6.144) следует, что (6.142) 17,Ф, =(3(х) ((Ч„4) ) (6.145) Введем обозначение т О(х) =((Ч„Р) ) — пкп матрица, с учетом которого ~7 .ЧУ, =Р(х) О(х) 17„ЧУ.
(6.146) Кроме того, необходимо отметить, что согласно (6.134), если х пробегает все множество ГД, то х' пробегает все множество ГД, и наоборот. Тогда теорема 6.3 применительно к множеству Д, сводится к следующему результату. Следствие 6.6. Для обеспечения соотношения (б.!20) для объекта (6.57) при ограничении (6.58) достаточно, чтобы существовала такая в -окрестность Д,, связанная с заданным множеством Д посредством взаимнооднозначной и непрерывнош* Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 308 дифференцируемой функции Цх) согласно (6.!35), для которой выполняется неравенство Щх) (0(х)Тг,Ч', !'(9(х),н,!)) <О Чх и ГД,(!) н хотя бы одного ц = н( ) нс!(с(х),!),! >!с. Заметим, что поскольку скалярная функция Ях) > 0 !гх и ГД, то неравенство (6. ! 47) можно рассматривать в виде (0(х) зУ„Ч', У'фх),н,!)) <0 (6.
! 48) Чхни,(!) и хотябы одного и = и( ) н(!(4(х),!),! >!с. Полученные соотношения справедливы для стационарных фазовых ограничений и функции 9(). Рассмотрим более общий случай, когда Д и 9() являются нестационарными. 6.3.4. МЕТОЙ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ ОТОБРАЖЕНИИ НА НЕСТАЦИОНАРНЫЕ в -ОКРЕСТНОСТИ При рассмотрении нестаиионарного случая можно непосредственно пользоваться соотношениями, полученными в предыдущем параграфе. Пусть условие (6.133) не выполняется, т.е.
ГО=ГО(!), Г0, =Гд,(!),Р() =8(х,!). Поступим следующим образом. Сведем нестационарный случай к стационарному путем введения новых переменных и расширения вектора состояния. Обозначим (6. ! 49) х„„=! Введем расширенный вектор состояния с х ~ — и х ! вектор хиы ! (6. ! 50) Тогда Ч'(х,!) =Ф(х). (6.15!) Кроме того (6.153) ГД=(хи 11"": Ч'(х) =0~.
Вместо функции с(х), действующей в Я", введем функцию Р,(х), действующую в Р"м следующим образом: х' =с(х,!)) -ь х' =Т(х), х„',! =х„,! где Р(х) -(п+ !) х ! вектор-функция, у которой 8,ьм ( х ) = 6 ьы ( хьы ) = хт и (б. ! 54) Тогда, аналогично (6.134), можно записать ГДь =(х =Ц(х): хи ГД~, (6.155) Таким образом, приходим к задаче, соответствующей стационарному случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе. Поэтому следствие 6.6, а значит и нера- венство (6. 147) или (6.148), можно непосредственно применить к множеству ГД, .
Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 309 Согласно (6.148) и введенных обозначений (6.150) — (6.154) получим, что в рассматриваемом случае для обеспечения (6.120) должно выполняться соотношение (ОТ(х)чтФ,У(»(х),и))~ 0 !!хнГД(г) нхотябы одного и=и()нУ(),г>ге, где Й(х)-(и+1)х(и+1) матрица, определяемая аналогично матрице О(х); (и+1)к! вектор-функция Д) с учетом дополнительного уравнения (6.!49), приводимого к виду х„„= 1, определяется согласно соотношению У(»(х),и) = У' ' "' . (6.157) Приведем неравенство (6.156) к виду, непосредственно зависящему от исходного вектора состояния х . Согласно определению О(х) =((Чт») ) . Якобиан Чт» имеет следующее выражение (6.!58) д»! д»! ж„ж„„ д»з д»з д»! дх, д»з дх! а», дхз д»з дхз дх„Ж„„ (6.159) д»„дг,„ Г%! дхз аТ„„а»„„ д»„д»„ дх„дх„,! а»„„а»„„ ! з дх„дх„„ = О .
(6.161) а», а», а»„ дг д! дг а», дг аТ, а»„ д! дг Используя выражение (6.161), вычислим матрицу ((Чт») ) Воспользуемся известным обстоятельством, что если К вЂ” некоторая невырожденная матрица, то обратная матрица В ! имеет вид где с учетом определения»„„(х) (6.153) должны выполняться равенства. (6.! 60) Очевидно, внутренняя, выделенная в (6.! 59), матрица представляет собой якобиан Ч„». Тогда выражение (6.159) с учетом (6.160) можно привести к виду Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П 310 )~1! ~~21 " ~л! )!12 )!22 "' )!и2 к '= г(е! Й (6.162) )'1л ~~2 и " )'ил где ̈́— алгебраическое дополнение элемента г матрицы )х, Из структуры матрицы О ! следует, что О,,' =О,,' при 1, ге!,и. (б.!63) Кроме того О,,,! ! и б при !'и!ип -1 0„, „„= г!ег О'. (6.164) Определим выражения для алгебраических дополнений О,л„при 1!н 1,л. Согласно (6.! 61) для произвольного О, „',! справедливо выражение О ! (6.165) д! дг дс где О, ! — (л-1)хл матрица, полученная вычеркиванием !'-й строкиу матрицы О !. Раскладывая детерминант (6.165) по последней строке, получим дг ..,+1-11"' — "' и. л.'1=1-Ц"""~1-Ц"" —" иил,„' = !ийии1 1 0' м 0' и! 0' 11 0' !2 022 , -1 „-! 0„„2 0' 1л „-1 о-,„„ 0! „-1 О,л+! „-1 Ол„„ „-1 02 1 '"'ии1, = , '(-1)' " —" !)е!О,„', и=1 где О, „' — (л-1)х(п — !) матрица, полученная вычеркиванием ч-го столбца у матрицы О,!. Соотношение (6.166) справедливо для всех алгебраических дополнений О, „'„ при 1е!,и.
С помощью полученных выражений (6.163), (6.164), (б.! 66) может быть вычислено в соответствии с (6.162) матрица О вида (6.158). Имеем Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 311 О„' О ! !2 О' г! 022 О„,' 0 О„-,' О 1 бе! 62 .-! О2„ с-! " г,» ! 0 бесО ! О' !и (6.167) О, О " О„ где С учетом (6.149) — (6.151) определим выражение для вектора ГхФ в неравенстве (6.! 56).
Имеем (6.169) Согласно (6.156), используя (6.167) — (6.169), вычислим следующее выражение О 0 О 17-,Ф= О, О " О„ О 17,'Р (О,~'„Ч')+— д1 (6.170) где Е=("О, О,...О„1'. Тогда неравенство (6.156) с учетом (6.157) принимает вид (Й( х) 17тФ,У(Т( х),в)) =(О( х) Ч,Ч', 1(Р(х),и))+(О,!7„Ч!)+ — < 0 д1 (6.171) !гх е ГД(1) и хотя бы одного и = и(.) е У(г(х),1),1> 1с. Неравенство (6.171) приводится к более компактной форме ( Ч, 'Р, Э~ ( х) 7' ф х), в,1) + О2) + — < 0 д1 !1х н ГД(1) и хотЯ бы одного н = ц( ) е У(г,(х),1),1> 1е. (6.172) Таким образом, показана справедливость следующего результата. Следствие 6.7. Для обеспечения соотношения (6.120) для обьекта (6.57) при ограничении (6.58) достаточно, чтобы существовала такая нестационарная е-окрестность Д,(1), связанная с заданным нестационарным множеством Д(1) с помощью некоторой непрерывной дифференцируемой и взаимно-однозначной функции г(х) согласно (6.132), для которой выполняется соотношение (б.! 72).
Чте -[ Е 7-[ 62 !7,Ч' 'дх, д1 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !1 312 В важном частном случае вектор-функцию г(х,г) можно выбирать стационарной, т.е. с( ) = б(х) . Вэтом случае неравенство (6.172) принимает более простой вид. Дей- ствительно, т.к. согласно (6.168) О, мО Жн1,п, поскольку дг,„ —" и О 'сГч н 1,и, дт то (6.! 72) приводит к выражению (ЧзЧ',О (х) 2'(г,(х),н,у))+ — <О 'чх б ГД(т) и хотЯ бы одного н = и( ) н 0(г(х),г), т > то. (6.173) В качестве функции г() может, в частности, использоваться функция следующего вида г,(х) = х+а(х) Ч,Ч', где х н ГД, а а(х) — скалярная непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда (6.174) Ч„г, = Е+а(х)Ч~ьР+Ч,'4 (Ч,а) (6.175) где дг,у дг~у дхг дх!дх„ дгЧ' дх„дх, д'Ч вЂ” и хи симметричная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
