Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Без ограничения общности можно считать, что гап!г С = 1, г > гщ (6.594) (6.587). Решение данного уравнения основано на применении известных (стандарт- ных) вычислительных процедур и должно учитывать, что требуемое значение пере- менной р является вещественным.
Соотношение (6.586) может быть, в частности, обеспечено, если зф = з)(г) = з)о и сопзк (6.588) Или, согласно (6.521), (6.530), (6.528), (6.518), должно выполняться следующее равенство з)(г) = -х (г) + Ах (г) + Вис (г) + Рт(г) = =-хе(г)+Ах (г)+ВК 'х,(г)+Рт(г)=-х (г)+Ах (г)— -ВЬ 'В С Мх~ (г)+ Рт(г) = -х (г)+ Ах (г)— -ВЬ 'В С МСх~(г)+Рт(г) =-х (г)+ +(А — В1 ~В М)х (Г)+Рт(Г) =з)с =сопзь Отсюда находим, что хе =(А-ВЬ 'В М)х +Рт(Г)-т)о, где вектор х~ согласно (6.518) удовлетворяет также уравнению Схс =хе.
Из (6.590), (6.5!8) можно непосредственно получить условия, обеспечивающие выполнение тождества (6.588). Действительно, если для некоторого вектора т)с раз- решима задача (6.585) при г > гр, то синтезируемый закон управления имеет согласно (6.53!), (6.528) вид п=в (х„г)=К х,=-Ь ~В С Мх,= =-1 ~В С Мсх=-1 'В М . Подставим (6.591) в уравнение системы (6.511).
Получим х =(А — В1. 'В М)х+Рж (6.592) Тогда если для некоторого з)е условие (6.587) выполняется, то на траекториях урав- нения (6.592) справедливо ограничение (6.516), т.е. х~(г) Сх(г) и 0(г) г > ге~ а конкретный вид возмущений т = т(г) в этом случае не оказывает никакого влияния на (6.516). Действительно, вычтем из (6.592) уравнение (6.590) и, с учетом (6.519), получим Глава 6.
Синтез ых систем автоматического веления Представим С в виде 397 С=[С, С ), где С,,Сг — соответственно 1 к 1, 1 к( п-1) матрицы. Причем гап1с С, = 1, 1 > Га. Вектор х также представим в виде (6.595) (6.596) где х ', ха',!к1,(л-!)к! векторы. Тогда произвольное решение уравнения (6.5! 8) определяется следующим образом Г 021 [С, Сг)~ ~ = Сгх + Сгх = х„ ог ог а И С,х =х,-Сгх ш о ог ха' =С 'ха-С 'С хаг =Рха+Рхаг, ! в 1 2 г в 2 где х может принимать произвольное значение из пространства Я" ' (6.597) Е; =С,',г =-С!~С2 — 1к1,1к(л-1) матрицы. (6.598) Обозначим: А А ВЬ-! ВтМ и ~г Аг! Агг ) (6.599) Р=Р ЛО= 2 (6.600) где Р„рг — !хг,(п-1)кг матрицы; в)~~,т~~~ — !х1,(п-1)к1 векторы.
Очевидно ха'=гха+гха+рхаг+г хаг. в ! в (6.601) С учетом (6.596), (6.597), (6.599) — (6.601) уравнение (6.590) можно представить в виде х" ~~хо+ У)ха+ Ргхш+ Ргх' А„Ап Е!х', + Егхш Рг Ча Отсюда находим $~х,+Р!х,+Егх +ггх =Ацггх,+Ацггх +Апргх +Амх +Ргт-тга, о а ог ог - о - ог - ог - 02 ог - о - ог - ог х = Агах, +Аз,Ргх +Аггх +Ргт-210. После соответствующих преобразований получим тог г - то а Ргт =[Юг-Ацгг-Агг)х +ггхог+(Рг АцД)х,+ггх,+2!0 (6.602) 02 02 О 2 Ргт = (АггРг+Агг)х +х — АгДхв+ 210 Запишем данную систему в виде тле Ап, Ам, Аг,, Агг — соответственно 1х1, 1х(п-1), (п-1) к1, (и-1) х(л-1) мат- рицы; 398 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть!1 х где О„, „,,0„„— соответственно (п-!) х(п-!), (п-1) х) нулевые матрицы. С учетом (6.600) и обозначений г пг 12 К г ф 2 п~ Ф (6.603) дут ограниченными.
Получим условия, при выполнении которых уравнение (6.604) имеет непустое множество решений относительно функций р(г). Пусть а(Р) — линейное пространство, образованное вектор-столбцами матрицы Р = [а', Йг ... Ы„),0(2,7 и1,» — пх1 вектор-столбцы. Очевидно, д)ша(Р) = гап)г Р. Тогда для разрешимости (6.604) необходимо и достаточно, чтобы К,х +Кгх +Ф,х,+Фгх,+г)она(Р).
Обозначим (6.605) К =[Кг Кг Фг Фг Чо) =~К хог хог (6.606) хо в хо в 1 где К,К вЂ” матрицы, столбцы которых соответственно принадлежат и не принадле- жат подпространству а(Р); 02, в — векторы, размерности которых согласованы с матрицами К,К . последнее уравнение запишем следующим образом Рт= К,х +Кгх +Ф,х +Фгх +2)0.
(6.604) Таким образом, класс требуемых возмущений 1»(г), обеспечивающих равенство (6.518) для решений х~(г) уравнения (6.590), задается с помощью (6.604). Т.е., если Р(г) — произвольное решение (6.604), то для него обеспечивается (6.518) и (6.590), Следует иметь ввиду, что х, = х,(г), 210 — заданные векторы, а х н Я вЂ” произо о 02 л-1 вольный из рассматриваемого пространства, который, вообще говоря, может выбираться в виде произвольной непрерывно-дифференцируемой по времени функции.
При атом, если х,(г) — ограниченная функция (или вектор), то и х (г) целесобразно выбирать также ограниченной. Тогда х '(г) и х (г) в силу (6.597), (6.596) также бу- Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 399 Тогда (6.605) принимает внд Коз = Йй+ Кй и а(0). Поскольку (6.607) Й=Й +Й', (6.609) где К вЂ” матрица, образованная ортогональными проекциями столбцов матрицы Й на подпространство а(Р); Й~ — матрица, образованная столбцами, ортогональными подпространству а(0). Тогда согласно (6.608) получим Кй = К й+ К й и а(0), (6.610) где К йна(Р) Чй,а Й~й.1а(0) ой за исключением йнКегК (т.к. тогда Й~й = 0 е а(Р) ).
Отсюда следует, что (6.610) выполняется тогда и только тогда, когда йе Кегй~. (6.611) Поэтому (6.611) является необходимым и достаточным условием разрешимости (6.605) нли же, что то же самое, (6.604). С учетом (6,611) уравнение (6.604) приводится к виду Рт=йй+Й й,йнКегК (6.6! 2) Если векторы й,й е Кз содержат варьируемые координаты, то на основе (6.612) задается множество возможных возмущений, соответствующих фиксированному вектору т~о. Если вектоР Чо не ЯвлЯетсЯ фиксиРованным (напРимеР, Цо = з)о(Г) — некотоРаЯ вектор-функция), то анализ разрешимости (6.605) можно осуществить следующим образом. Пусть о = [К1 К2 Ф~ Ф2~ =ьКО Ко~, „ог „оз (6.613) хо в х в где матрицы Ко,Ко и векторы йо,йо обладают аналогичными свойствами, что н матрицы Й, К и векторы й,й .
Тогда (6.605) приводится к виду Коозо т)о = Койо + Койо + т)о а(0). Для матрицы Ко н вектора Чо воспользуемся ортогональным разложением на подпространство а(0) аналогично (6.609). Получим Кй н а(Р) о'й, то для обеспечения (6.607) необходимо выбрать такое значение вектора й, чтобы Кй е а(0).
(6.608) Найдем условия, при которых (6,608) будут выполняться. Для этого матрицу К представим в ваде Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 400 Ко =Ко+Ко 1 Чо =Чо+Чо (6.615) з -з где матРицы Ко,Ко стРоЯтсЯ аналогично матРицам К,К, а Чо,Чо — вектоРы, дла которых Ч~ и а(Р),Чо .Е а(Р). С учетом (6.615) соотношение (6.614) приводится к виду Коюо+Чо =Кото+Когоо+КоБо+Чо+Чо = (6.616) =!(Коозо+КоБо+Чо)+(Когоо+Чо )аа(Р) тле КоБо+Коюо+Чо аа(Р) Уозо Уто ~Чо аа(Р) а Коозо+Чо -(-а(Р). Отсюда следует, что (6.616) будет выполнятся тогда и только тогда, когда КФо+Чо =0.
(6.617) Поскольку Чо не является фиксированным, то его всегда можно выбрать таким, чтобы обеспечивалось равенство (6.617). Уравнение (6.617) в общем случае является необходимым и достаточным условием разрешимости (6.605) и (6.604). С учетом (6.617) получим следующее выражение для (6.604) Ро = Коозо +Коозо +Чо, (6.6! 8) 6.7. ПОСТРОЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ ПРИ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ Пусть уравнения движения некоторого объекта имеют вид х=/' (х,в,зо,г), х =Сх, в х(го)=хо~ !~го (6.619) где х,в,зо,х, — сответственио пх1, тх1, гх!, 1х1 векторы состояния, управления, возмущения, выхода; /'"() — пх! вектор-функция, определяющая единственность решения задачи Коши, индекс (параметр) а характеризует степень точности задания функции 7'(.) по параметрам и структуре.
Различным значениям а соответствуют различные значения тех или иных параметров, входящих в состав ! () . При этом где з)о н а(Р),озо — произвольные векторы, а йо — удовлетворяет (6.617). На основе (6.618) задается множество возможных возмущений г(г), соответствующих измеияе- момУ вектоРУ з)о(г). Рассмотренный подход к формированию робастных систем управления позволяет ввести понятия так называемых Ч-робастиык систем: система (6.511) имеет Ч-уровень робастности (внешний уровень) и сама является Ч-робастной, если для Ч(г)=Чмсопзг Уг>го обеспечивается соотношение (6.585).
При этом по заданному Ч определяется вид множества возможных (допустимых) возмущений, при которых обеспечивается выполнение требуемых ограничений. Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 401 при изменении а в функции Г" () могут происходить структурные изменения. Характер структурных и параметрических изменений, как правило, является неопределенным и зависит от окружающей среды. Поэтому точное значение параметра а в общем случае указать нельзя, но можно считать, что ан А(г), г>го, (6.620) где А(г) — некоторое допустимое множество значений а, определенное для каждого г >го О возмущении зт известно, что оно является элементом некоторого заданного в Я" множества И', т.е. И' = ~(г) и(г), г > г,, (6.621) где предполагается, что в(г) определено в каждый момент времени 1 > го.
В частности, под и(7) понимается множество возмущений вида и(Г) =(зт н )!": в„(Г)и„Еэг,'.(1), р 6 1,»~, где и„(7), в,',(7), р н 1,» — некоторые заданные функции времени. На вектор состояния системы наложено ограничение х = х(Г) е Д(7), 1йГо (6.623) где Яг) — заданное в Е" замкнутое ограничение (для определенности, выпуклое) множества. Решаемая задача в общем случае формулируется в следующей постановке: требуется определить такой закон управления и = й(х А), который бы обеспечивал требуемые фазовые ограничения (6.623) для системы (6.619), подверженной действию возмущений зг(г) вида (6.62!) (в частности (6.622)) и при структурно параметрической неопределенности ее правой части вида (6.620).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
