Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть г = — т . Выражение (3.3) в этом случае имеет вид: с !с( — т) = — )г И'(7в)е 'сс'с(а, 0 < т < со .' (3.7) 2я Согласно сделанного замечания 1с(-т) = О, поэтому (3.7) можно представить в виде: 0= — ) (Р(в)+7Яа))(созвт-/з!пат)йо. 1 2я Или, используя факт четности и нечетности соответствующих функций, получим 1 с — ) Р(а) соя азов = — — ) Яа) з!и атйо . "о по С учетом (3.6) и (3.8) получим следующее окончательное выражение для ИПФ устойчивых физически реализуемых систем; 2 2 с !с(г) = — ) Р(в) созвав = — — ) Д(а) яп вМв, г > 0 "о "о (3.8) (3.9) 3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ сс(г) = — ) — е сГз.
1 И' (5) 2я з 7 с-,а (3.10) И'(з) Наличие одного нулевого корня в выражении — не позволяет нам ввести абсциссу сходимости с = О, поэтому сделаем следующие тождественные преобразования формулы (3.10): После нахождения выражений, связывающих вещественную или мнимую частотные характеристику с ИПФ, важно получить аналогичную связь и для переходной характеристики, т.к. чаще всего при синтезе систем определяющим является вид желаемой переходной характеристики. Пусть, как и прежде, И'(з) — передаточная функция устойчивой физически реализуемой системы. По определению переходная характеристика данной системы может быть найдена из выражения: Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 202 „, „(„,1-Г'(5)-'(О),0.
где И'(0) — статический коэффициент передачи. И'(5) — И'(0) Подынтегральное изображение имеет все полюсы в левой полуплоскости, что проверяется непосредственной подстановкой вместо И'(5) дробно- рационального выражения ~ чЬ,з' И'(5) = '= = —, И'(0) = — . В(5) ЬО д , )3(5) ' Оо ~а,з' (3.1 2) я=о Ь(с)=И'(0)+ — ) е' Йо= 2я ро = Р(0)+ — ) ~ — совем+ 1 ( Д(а) Р(а) — Р(0! япас йо+ 2я ~ а со (3.13) 7 (Р(0)- Р(.) а( ) . в/— сова!+ — 5!пас с(а, 2я 'х а 03 где учтено, что И'(0) = Р(0) . Ранее было отмечено, что Р(а), сова! — четные функ- 1 цни, Д(а), яп а! — нечетные функции частоты а, функция — — является нечетной функцией а, поэтому первый интеграл в формуле (3.13) имеет четную подынте- гральную функцию, а второй — нечетную.
Это позволяет представить (3.13) в виде: Ь(с) = Р(0)+ — 1 — сова!+ 1 с(Д(со) Р(а) — Р(0) 5!п а! с(а . а Условие физической причинности, определяющее, что Ь(с) = О, с < О, по анало- гии с формулой (3.8) приводит нас к следующему соотношению: Ь( — т) = 0 = — ) ~ — соз ат— 1 с(Д(со) Р(а)-Р(0) япат с(а, 0<5<со, 03 или 1 ОЯсо) 1 с Р(а) — Р(0) — ! — сов атоса = — ~ 51П атсса . я со К 03 Подставляя (3.15) в (3.14), получим Ь(с) = Р(О)+ — ~ 2 Р(а) — Р(0) 51паМа = ЯО 03 2 7 Р(а) .
2 г Д(а) = — ~ — 5!п аМа = Р(0) е — ~ — созаЫа, ко "о (3.15) (3.16) Представление (3.11) позволяет использовать абсциссу сходимости с = О, сделать замену переменных 5 = уа и с учетом (3.4) получить следующее выражение для Ь(с): 208 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П где использована формула [40] О ейп ас я оса= —, с>0, со 2 Выражение (3.16) определяет связь между частотными характеристиками замкнутой системы и ее переходной характеристикой. Из этого следует, что для устойчивых систем переходная характеристика определена либо вещественной Р(а), либо мнимой Д(а) частотными характеристиками системы, поэтому между этими характеристиками, в свою очередь, также должна быть определенная зависимость и она определяется преобразованиями Гильберта [115): (3.! 7) д(а) = — [ — оси. 1 ° Р(и) я и-а -О Обозначая через А(а) модуль функции И'Ца), а через ср(а) ее аргумент, будем иметь; И'(ро) = А(а)еэеС 1, (3.18) откуда следует !и И'Ца) = 1п А(со) + уср(со) .
(3.19) Функции 1пА(а) и ср(а)связаньс с функцией 1пИ'(уа) таким же образом, как связаны Р(а) н Д(а) с функцией И'()со) (формула(3.4)). Поэтому аналогично формуле (3.17) можно утверждать, что если все полюсы функции 1п И'(л) расположены в левой полуплоскости комплексной переменной л, то функции 1п А(а) и ср(со) также связаны преобразованием Гильберта !и А(а) = — — [ — с(и, ! с ср(и) я и — со (3.20) 1 „1п А(а) Так как 1п Ис(л) = 1п — = 1п В(л) — 1п В(л), В(л) (3.21) с)(л) то к числу особых точек функции !пйс(л) относятся не только нули функции сэ(л)(полюсы передаточной функции И'(л)), но и нули В(в) (т.е. нули И(в)). Таким образом, формулы (3.20), позволяющие определить А(а) через ср(со) и наоборот, будут иметь место лишь в том случае, если все нули и полюсы И'(л) располагаются в левой полуплоскости, т.е.
И'(л) является передаточной функцией минимально-фазовой системы (МФС). МФС отличаются тем, что из всех систем, имеющих одну и ту же амплитудно-частотную характеристику, они дают наименьший сдвиг фаз между входными и выходными сигналами, при этом существует взаимно однозначное соответствие между амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками, определяемое формулами (3.20).
Далее мы будем рассматривать только минимально фазовые системы. Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 3.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 209 При оценки качества переходного процесса в некоторой системе автоматического регулирования воспользуемся полученной ранее интегральной зависимостью между переходной характеристикой Ь(Г) и вещественной частотной характеристикой Р(оз) л(т) = — ) з1п(оз'т)вайо'.
2 Р(го') "о Введем новую переменную Оо по формуле ГО =ь'ООЗ получим Ь(т) = — 1 О з(п(озь)от)ь2оооо = 2 о Р(ьзого) . "о 2гР(го) . -1 г ) = — 1 — з!п(сог)йо = л(г) = Ь вЂ”, я Оз ь)о где введены новая переменная г = ьзот н масштабированная вещественная частотная характеристика Р(ОО) = Р(ОООО). зз.,зео Ь(г) = — ~ — з1п гогов .
2 о Р(го) (3.22) яо В работах В.В. Солодовникова (см., например, [130]) получены наиболее важные оценки качества переходной характеристики Ь(~), связанные с формой вещественной частотной характеристики Р(го) . Основными из них являются следующие. 1. Установившееся значение Л„переходной характеристики определяется начальным значением вещественной частотной характеристики; 6(оо) = Р(0) . (3.23) Это легко доказывается по теореме о предельном значении оригинала п(со) = 1пп л(г) = 1пп зН(з) = 1пп з~ — ~ = (г'(О) = Р(0) . ( Иу(з)1 с->О . -~0 2. Начальное значение Ьо = Ь(0) переходной характеристики определяется конечным значением вещественной частотной характеристики: л(0) = Р(оо). (3.24) Доказывается аналогично на основании свойства о начальном значении оригинала. 3.
Следующее соотношение базируется на теореме о масштабировании (теореме подобия): двум вещественным частотным характеристикам, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в йо раз (йо >О), соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси 1 абсцисс в — раз. Покажем это. ()о Пусть известна некоторая переходная характеристика Ь(т), связанная с вещественной частотной характеристикой Р(ОО') зависимостью 210 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 1! Если хео > 1, то Р(ш) определяется сжатием в хео раз по оси абсцисс вешесзвенной частотной характеристики Р(ш)(для хео < 1 соответственно растяжение). При этом масштаб по оси абсцисс для Ь(г) (переходная характеристика для Р(а)) увеличивается в хео раз(см. рис. 3.1). хео Рис. 3.1. Маспетабнроввиные вешественные частотные характеристики и их переходные характеристики 4. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси ординат в !3 раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси ординат в !3 раз.
Это очевидно и непосредственно определяется формулой (3.22). 5. Разрыв непрерывности вещественной частотной характеристики свидетельствует о том, что система находится на границе устойчивости. Разрыву при ох = 0 соответствует апериодическая граница устойчивости (наличие нулевого корня характеристического уравнения, т.е. интегратора) и разрыву при со к 0 — колебательная граница устойчивости (наличие пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, т.е. консервативного звена).
211 Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти ющих с ойств б. Острый пик вещественной частотной характеристики прн угловой частоте (оо (с ') свидетельствует о медленно затухающих колебаниях переходной характери- стики с частотой, близкой к — (Гц) (наличие резонанса). (во 2л 7. Если вещественная частотная характеристика является непрерывной положи- (л' пфу щ .и (и( О, ° и ° — ° па„° и — о~, оЪ то время переходного процесса определяется неравенством я 4л — с( с —, пи со и (оп а перерегулирование не превышает 18%, п% с 18%, (3.25б) где (о„— интервал частот, в котором Р(со) > О (интервал положительности вещественной частотной характеристики) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
