Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 32
Текст из файла (страница 32)
главу 9 в 1-ом томе учебника). 2.13. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 2.13.1. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ Здесь рассматривается класс систем, задачи синтеза которого излагаются на единой методологической основе, какой является описание систем функциональными рядами Вольтерра (25, 51, 109). Теория, в основе которой лежат ряды Вольтерра называемая обычно аналитической теорией нелинейных систем, имеет цельсй ряд привлекательных черт: она применима для решения широкого круга нелинейных задач и опирается на строгий математический аппарат 125, 51, 109).
Понятия ИПФ и ПФ, которые являются эффекпшным инструментом анализа и синтеза линейных систем, распространяются н на нелинейные системы — тем самым вносится методологическое единообразие при построении методов расчета и проектирования систем в рамках аналитической теории. Рассмотрим основные положения задачи синтеза регуляторов, пользуясь аналитической теорией нелинейных систем (детальное наложение этой теории можно найти в [25, 51, 109)).
Структурная схема нелинейной системы автоматического управления представлена на рис. 2.107. Рас. адат. Струкхурнаа схема САУ Положим, что элементы САУ (рис. 2.107) описываются рядами Вольтерра м ! и(с)=~~) ~" )к (тс,тз,...т,)е(с-т!)е(с-тз)...е(с-т,)сйссст ...сй„ ыо о — ряд Вольтеррсь описывающий поведение регулятора; м ! ! х(с)= ) ~" )к,'(тс,тз,...т!)е(с-т!)е(с — тз)...е(с-т,)сйсатз...~й, =со о — ряд Вольтерра, описывающий поведение объекта; ! х(с) = ~> ~" ~/с~~(т<, сз,...т )е(с-т!)е(с-тз)...е(с-т )сй сйз ...с(т, !си О О !2 эах. зоо Методы синтеза САУ по заданным показателям качества Часть П 186 ) ! з х(Г) =~~~ ~" ~И'(титы ж )у(г — т~)у(г — тз)...у(à — тн)ут|сН ...нзт ныо о — соответственно ряды Вольтеррц описывающие поведение разомкнутой и замкнутой системы.
Воспользовавшись понятием многомерной передаточной функции (1-й том учебника), определяемой зависимостью Э О И'(зызз,...,за)= Я1г(титы ж„)е "че "ч...е '"'"г1т,дтз...йт„, о о можно заключить, что в рассматриваемой задаче имеют место следующие передаточные функции: И а ( 3 1 ) И с у ( з,, з з ), И ', у ( з ы з з, за ),..., И ' „у ( з ы з з,..., з „) — П Ф р е ту л я о р И (з,), И~(зызз), И',з(зызызз),..., И (зыхз,...,з,) — ПФобъектаУпРавлениЯ; И" (з,), И ~(зыв ), И~(зызз,зз),..., И У(в,,зз,...,з,) — ПФразомкнугойсистемы; И (з1 ) И (я~ яз ) И (я! яз яз ),..., И' (хы зз,..., з„) — ПФ замкнутой системы. Задача синтеза регулятора заключается в нахождении его передаточных функций, таких, чтобы замкнутая система обладала эталонными динамическими характеристиками.
Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью совпадает с задачей синтеза регуляторов в классе линейных систем. Предполагаетсц что неизменяемые элементы системы (объект управления) представляют собой соединение линейных инерционных и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы предполагаются минимально.фвзовымц а нелинейные — аналитическими функциями, имеющими обратные для всех возможных входных воздействий.
Такое предположение обусловлено положениями принципа динамической компенсации. Поскольку предполагаетсц что заданы эталонная система имеющая ПФ И; (з~ ), 1 И;~(зызз), И',~(впзызз),..., И', (зызы ..,ва), и объект управления, описываемый ПФ И', (з,), И; (з,,вз), ..., то задача синтеза сводится к нахождению ПФ регулятора И" (зыз,,...,з,), з = 1, 2,.... Сказанное иллюстрируется рис.
2.!08. Ряс. алея. К постановке задачи сяятсза регулятора 187 Глава 2. Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем В (25, 51, 1091 разработан аппарат структурных преобразований на основе многомерных передаточных функций, аналогичный тому, который широко используется для решения линейных задач. Запишем формулы, связывающие ПФ замкнутой и разомкнутой систем (109]: И (з!) 1+И;(„) г Ир (з! зг) (з!,зг) = [. '( -)1П[ ° '(")1 Учитывая, что в задаче синтеза регулятора для ПФ замкнутой системы должны быть выполнены равенства (з!)=И'э(з!) " (з! зг)=И' (з! зг)" И' (з! зг' ыл)=И (з! зг "зя) находим 1+И;(„) "р (з! зг) Иэ (з! зг) г [ "( ")]П[."(")~ Из последних соотношений легко получить формулы, определяющие ПФ разомкнутой системы через ПФ замкнутой системы: Игэ~ (з! ) "=1 И;(„) гэ И', (з!эзг) И' (з!,зг)— г ['-""( - )1П[1- '(")1 Поскольку разомкнутая система представляет собой последовательное соединение регулятора и объекта управления, то справедливы зависимости (109]: И т (з!)Иа (з!) И" (з!) 1-И,'(,) ' И',г (з!, зг ) И' (з! зг)Ию(з!)Ию('г)+И (з!+зг)И'~('! зг) = г ['-""( - )1П[- '(")1 Теперь легко найти соотношения, определяющие ПФ регулятора: И" ) и' (;) = '," (И,!(.!)), Иэ (з!) !г* 188 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П И' (х!,32) = (И' (3!+32)) 2 Их (3!'32) -! ~ -""( - )1П~ -""(')] с ! 2 с (3! 32)п э (Хс) ( 2 ~-. (;-.)пк(;)~ П~1-~'(')1 Полученные формулы представляют собой решение поставленной задачи. По поводу рассмотренного выше подхода необходимо сделать следуюшие замечания: ° как и в линейных стационарных и нестационарных задачах, в классе аналитических нелинейных систем имеет место компенсация динамических характеристик объекта за счет его обратных ПФ, т.е. принцип динамической компенсации справедлив и для рассматриваемого случая; ° реализованная по рассмотренной методике система не будет в точности совпадать с эталонной ввиду того, что при определении ПФ регулятора дважды производилось усечение ряда Вольтерра; ° совершенно аналогично решается задача синтеза регулятора и в случае, если последний включен в цепь обратной связи. Рассмотрим систему, структурная схема которой имеет вид (рис.
2.109). Рас. 2.209. Структурааа схема САУ Для последовательного соединения регулятора и линейного звена с ПФ И;(у) имеют место зависимости (! 09) ( 3 .'1*,! .(*,!..'~*,.*,.*,!ч(Х*,~ с=! ПФ разомкнутой системы можно записать так: а!И', (3!)И',(з!); 3 (3 ,П1...!. )-К,,",(Х") с=! с=! Далее легко получить равенства а,И' (,)И'а(,) = И", (з,) 1-И,'(,) ' 189 Глава 2. Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем Из последних соотношений получаем ПФ регулятора Иг! ( ) Иэ (3!) а И.(;)~1-И,'(.,)~' Игз ( ) ИЭ (Хггуз*зз) ..(Й,)[-:(Й;)]И[ —;",1 з ггЗПИэ (хг) г ! Гз 13 "-.~Х,~П~ -к(, ] г=! г=! Если эталонная система линейна, то ПФ регулятора определяется так: ;()= ', ('.()) . и,'(,) ~1-и (3,)~ з -азПИ', (х,) ПГ1-"(')3 г=! Из последних зависимостей легко сделать вывод, что в соответствии с принципом динамической компенсации регулятор можно рассматривать как последовательное соединение безынерционной нелинейности У' ', обратной к !', и инерционных линейных звеньев с ПФ и'! И' (х)= ', и И" (х)=И'о (3).
1-и,'(,) Соответствуюшая структурная схема представлена на рис. 2.1 10. Рис. 2Д10. Структурная схема САУ с регулятором, реалиэуюгиим принцип яннамическоя компенсации В заключении рассмотрим систему, структурная схема которой имеет вид (рис. 2,111). 190 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть!1 Рис. 2.111. Структурная схема САУ Пользуясь рассуждениями, которые были приведены выше, легко получить зависимости, определяющие ПФ регулятора прн условии, что эталонная система является линейной: г ! Структурная схема системы с регулятором, реализующим положения принципа динамической компенсации, представлена на рис. 2.112. Рнс. 2.112. Структурная схема скорректированной снсеемы Таким образом, если неизменяемая часть системы образована последовательным соединением линейной инерционной и безынерционной нелинейности, а эталонная система линейна, то регулятор реализуется последовательным соединением инерционных и нелинейных безынерционных звеньев.
Если у'(2) задана степенным рядом, т.е. 2'(г) = ~~5 а,г', то коэффициенты ряда, ! описывающего функцию у" ', определяются с помощью формул обращения степенного ряда (1091. аг 2аг — а!а! г Ь,= —,Ь,=- —,11= а ' аз ' а5 ! ! ! Достоинства и недостатки принципа динамической компенсации для линейного случая обсуждались выше. Возможности принципа динамической компенсации для систем, рассматриваемых аналитической теорией, учитывая известные факторы, ограничены. Например, рассмотренйый метод трудно реализовать для достаточно сложных систем.
Его можно применять для определения ядер невысокого порядка, Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 191 поскольку соответствующие уравнения получаются очень сложными. Самостоятель- ной задачей является проблема аппаратной реализации регулятора. 2.13.2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ х1") +~а„(р!,...Р„)х1 )-» Е(х) =~1),( и,... Р„) )( ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
