Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Уравнение нелинейной системы (рис. 6.20)', как известно, имеет зид ~(р)х+А(р)Г(х) = О. (6.45) В линейных системах синусоидальные переходные колебания имели зид х = аЯ вшюг, а(~) = а,в". (6.46)' Для линейной системы высокого порядка такое решение является приближенным в том смысле, что опо соответствует одной паре комплексных корней характеристического уравнения системы. Чтобы Рнс. 6.20.
Рнс. 6.19. зто решение отвечало основной части переходного процесса, зта пара корней должна быть ближайшей к мнимой оси. В нелинейных системах, удовлетворяющих свойству фильтра (см. 5 4.1), будем считать переходные колебания близкими к синусоидальным (6.46), полагая, однако, что показатель затухания $ и частота ю медленно изменяются с изменением амплитуды колебаний а в ходе процесса. Сама амплитуда а(г) может меняться быстро вплоть до затухания за один-два периода.
Тогда решение вместо (6.46) надо искать в виде х = и (~) вш $ (г), — = ае (а), — „= ю (а). (6.47) Как частный случай отсюда прн $ = сопев и ю = сопв$ получается формула (6.46) для линейных систем. При $ <О колебания затухают, при в>0 — расходятся. Гармоническая лпнеарпзацпя нелинейности здесь изменится, поскольку пз (6.47) имеем х = аз1пр, рх = лысов)+пйз|п~у.
Отсюда соз ~) = — х. ам т э|пса =— а' В связи с этим первая гармоника колебаний на выходе нелинейности вместо прежнего (4.10) получит выражение г" (х) = [д (а) + д' (а) Р— 1 г, (6.48) где коэффициенты гармоннческои линеарпзацин д и д~ определяются, как и раньше, формулами (4Л(). Поэтому вдесь для конкретных нелинейностей можно польаоваться результатами, полученными в з 4.2. Затухающие или расходящиеся колебания в линейной системе соответствуют комплексным корням характеристического уравнения. Следовательно, для их определения нужно в характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы (вытекающее из (6.45) и (6,48) ) 4',)(Л) )- )7 (Л) ~д (а) + д' (а) — 1 = 0 подставлять Л = $ + /ю, полагая, что вто соответствует ближайшей к мнимой осп паре комплексных корней.
В результате получим РК+!ю) +)7($+/ю)(Иа) +й'(а)] =О. (6.49) В вто комплексное уравнение входят неизвестные величины $, ю, а. Следовательно, из этого уравнения можно найти две из них как функцию третьей: $(а) и а(а). Зтого достаточно, чтобы затем по формулам (6.47) приблизительно определить и кривую переходных колебаний х(г). В большинстве случаев при проектировании системы автоматического управления и регулирования не требует- ся вычерчивать кривую переходного процесса. Нужна лишь оцевка быстроты затухания и частоты колебаний, т. е. для оценки качества переходного колебательного процесса в большинстве случаев можно ограничиться определением зависимостей $(а) и ы(а) из уравнеиин (6.49). Олин из способов определения этих зависимостей состоит в следующем (другие способы описаны в (22)). Выделив в уравнении (6.49) вещественну!о и мнимую части, получим два уравнения Х(а, ы, з) = О, У(а, оз, $) = О, (6.51) из которых и определяются зависимости (6.50).
Если нужно выбирать какой-лпбо параметр системы, например коэффициент усиления линейной части Й„, так, чтобы $ и ы удовлетворяли а л задаиным требованиям, то (ь Ьь можно пользоваться так называемыми диаграммами качества. Онп строятся следу! ющпм образом. Нусть в ка! ! кой-либо системе мы опреде! лили зависимость амплитуды ! автоколебаний а, от пара- ! метра Й„как показано на р АР( рис. 6.21. Здесь по параметру — — — 'Й.
и б у йАюпактйная чивоств равяовесного состоя- ния. В автоколебательном реРис. 6.2!. жиме имеем а = а, = сопзц т. е. $ = О. Ниже линии АВ (рис. 6.21) колебаявя расходятся. Следовательно, там $ ) О. Выше линии АВ колебания затухают и, значит, там $ ( О. На самой линии АВ имеем $ = О, Если яа основании уравнений (6.51) провести линии равных вначений $, то получится диаграмма, ивображенная на рпс. 6.22.
Взяв иекоторое значение й„ = й! в области устойчивости равповеспя, получим (идя по вертикали) зависимость $(я), показанную на рис. 6.23, а. Для значения же й, = Ц в области автоколебаний (рис. 6.22) аавпспмость $(а) будет иметь пиой впд (рис. 6.23, б). Зги графики дают представлеяие о качестве Рис. 6.26. Пина е =ююпзМЮ ~ъ л н Усвейтаспп Авитниа тая Рис. 6.27. Гармоническая линеаризация нелинейности дает Р (х) = д (л) х, д =— 4с Характеристическое уравнекие замкнутой системы в ре- эультате получает вид Т!Тех' + (Т! + Т2))е + [1 + Т!!!2)!„Ч (а) )) + + А+7!..И д(а) =О.
Подставляя в это уравнение Х= 5+1о!, ищем решение в форме (6.47). Выделив вещественную и мнимую части, иптпийнщ Уюайюжп~ й, Рис. 6.28. получим два уравнения (6.51) в виде Т!Т2$'+ (Т!+ Те) $~+ [1+ Т!я27!.,!7(а) й+ + (7!! + 7!„) 7!о(а) — (ЗТ!Теф+ Т! + Т!) !о = О, ЗТ!ТДт+ 2(Т, + Те)$+ 1+ Т,йе7с„!7(а) — Т,Тес!! = О. р1з второго уравнения с учетом. аначеппя а 1а1 находим т, — 'т ~ 4сак ю'=81'+2 Т Т $+Т т + Т ' (6'54) а из первого = я1(т)~1с, — Т,ягс( — + 2~)], (6. 55) где у($) =- +2 1 т'- ' ~+8(у' +Т)ьаг+87 Тр 1 $ Т,Т, По формулам (6.54) и (6.55) построены диаграммы качества нелинейных колебательных переходных процессов в виде линяй 9 = сопа1 и го = сопа1 по параметру й~ 1г' йяягаяаяяаакая Рнс. 6.99.
на рис. 6.27 и по параметру й„— на рис. 6.28. Линни $ = 0 на обеих диаграммах соответствуют амплитуде автоколебанвй. В области автоколебавий, нак водно из диаграммы качества, например по линии ГС (рис. 6.27), переходные процессы расходятся (9~0] от состояния равновесна (а = О] до амплитуды а. в затухают при больших начальных амплитудах ($ «О), напрнмер по отрезку ЕС. В области же устойчивости (см., например, отрезок РВ) колебания прп л|обых начальных амплитудах затухают ($ ( О). Изменение частоты колебаний при атом показывают отрезки Е'Е' и Р'В'.
Левее линии ы = 0 процессы аперводнческие. Линни ~=гааз( «е" Упееетпеееев Авткплеуеееее Рна 6.30. На рпс. 6.29 и 0.30 приведены дяаграммы качества, Характерные для других видов пелинсйпостей. Важно отметить, что в случае нелинейной системы такие диаграммы имели бы вид вертикальных прямых, так как е и ы там не ваввсят от амплитуды. Это и впдно на рнс. 6.30 в зоне линейности, где а ( Ь.
Укажем еще другой способ оценки быстроты ватухання переходных процессов в нелинейной системе с одной однозначной нелнпейностью Р(х) (рис. 6.3Ц. Передаточная функция линейной части имеет внд рул(з) = — ' я(,0 0 (*1' Нелпнейная характеристика Г(х) расположена в секторе (О, й ! (рис. 6.31, б) н моясет иметь произвольное очертание. Данный способ оценки быстроты затухания Рис. 6.30 переходных процессов основан на применении частотного критерия абсолютной устойчивости (з 5.5). На комплексной плоскости вместо модифицированной (5.48) строится смещенная частотная характеристика, определяемая следующим обравом: ~'"(1~ )В!)= ~'~~(гг, Ы+!" см(гг, $)г (656) где с',„(св, $) = Не Ит„(ув — ($!), р „, ( ш, $ ) = го 1в Ит„(у ге — ! ~ ! ) Основываясь на формулировке критерин абсолютной устойчивости (з 5.5), можно оценить быстроту затухания переходного процесса в системе следующим обрааом: нелинейная система с устойчивой линейной частью и нелинейной характеристикой, расположенной внутри сектора 10, й ], будет обладать показателем затухания, не меньшим данного ($), если через точку -1/7с„мож- но провести прямую с люсым наклоном так, что она не пересечет смещенной характеристики И',„(ы, З).
Эта оценка проиллюстрирована ва рис. 6.32. Рис. 6.32. Рис. 6.33. Можно определить предельное апачение к;„, при котором з системе имеет место показатель затухания, не меньше ~$~, как покааано на рнс. 6.33. Если построить серию смещенных частотных характеристик для разных значений $, то получая зависимость $(й„), т. е. зависимость показателя аатухания от размера сектора, в котором лежит нелинейнаи характеристика. РЛАВА 7 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОРРЕКЦИЕЙ в 7.1. Линейная коррекция нелинейных систем В втой главе рассматривается аадача синтева нелинейных систем не в смысле оптимиаации, а как аадача введения в заданную систему дополнительных устройств (корректирующих) для удовлетворения предъявляемыи к системе техническим требованиям. Для достижения требуемой точности и качества процесса в нелинейные системы можно вводить линейные корректирующие устройства такие же, как и в линейных системах (см.
[23], гл. 6), Эти линейные корректирующие устройства могут быть последовательными (с введением производных, интегралов и т, п.) и параллельными (в виде местных обратных связей различного типа). Рассмотрим системы с одной нечетно-симметричной однозначной нелинейностью г"(л), гармоническая линеарпаация которой имеет вид Г(х) = д(а)л, где коэффициент гармонической линеаризации принимает ограниченные вначенпя О < д(а) < д„ или д < д(а) < д .
(7 2) К такого типа нелинейностям относятся, аапример, нелинейности, изображенные на рис. 1.1, а, б, г, д, г и рис. 1.2, б, в. Более сложные случаи рассматриваются в книге [191. Случаи наличия нелинейностей вида рис. 1.2, а и рнс. 1.5, а, когда коэффициент д(а) принимает бесконечное значение при а = О, здесь не рассматриваются, так как в этих случаях невозможно обеспечить устойчивое равновесное состояние системы в нулевой точке н установившийся режим будет автоколебательным. В этих случаях путем введения линейных корректирующих уст- ройств можно добиваться приемлемых значений параметров (а, ы) автоколебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
