Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 21
Текст из файла (страница 21)
й 7.2. Нелинейные корректирующие устройства Специального вида нелинейности можно вводить в линейную систему в качестве корректирующих устройств; в результате этого в скорректированном виде линейная система становится нелинейной. Коррекцию с помощью нелинейных устройств производят также и в нелинейных системах. Нелинейная коррекции обладает более широкими возможностями, чем линейная, так как она, вопервых, дает большее разнообразие форм частотных характеристик и, во-вторых, она поаволяет менять форму частотных характеристик в зависимости от величины амплитуды сигнала. Последнее свойство нелинейной коррекции является принципиально новым качеством по сравнению с линейной коррекцией. Оно придает системе как бы свойство самонастройки по величине ошибки, возникающей в системе в процессе управления.
Задачи нелинейной коррекции могут заключаться, как обычно, в досткжении желаемых свойств процессов управления, причем должна предусматриваться возможность изменения втих свойств с изменением величины отклонения. Таким образом, открывается возможность преодолевать известное из линейной теории ~23) противоречие между требованиями точности и треоовапнями устойчивости системы, а также значительно усиливать регулирующее воздействие при больших отклонениях и т. д. Кроме того, если в заданной нелинейной системе имеются вредные для процесса нелинейности (люфт, гистерезис, зона нечувствительности), то путем введения специальной нелцнейной коррекции можно в известной мере ослабить вредное влияние имеющихся в системе неизбежных нелпнейностей.
В качестве первых примеров рассмотрим введение нелинейного корректирующего устройства в линейную систему. $. Проанализируем систему с нелинейной обратной связью, сигнал которой уменьшается с возрастанием ошибки. Схема такой системы показана на рнс. 7.10.
Напряжение, пропорциональное модулю оп1иоки, подается на вход умножителя и затем вычитается из выходно- го напряжения тахогенератора, находящегося в цепи линейной обратной связи. Сигнал обратной связи уменьшается, когда ошибка возрастает, что приводит к убыстрению отработки больших отклонений и утсеиьшению скорости отработки в конце процесса. Динамика системы описывается уравненпяии х=6,-6,, и,=йх, ис=и,— ива (Т,р+ 1) ис = йсис, (Т,р+ 1) ра = й,и,, Р 6а йса, и, = и„ вЂ” и Р и У иос = йърх иас йсисисс~ ис = ~и, (.
Уравнение системы в переходиои процессе без внешнего воздействия (6, 0) ичеет вид (Т,Т р' + (Т, + Т ) р' + (1 + й„) р + й) х — й, ( х ~ рх = О, (7.12) У где й„= ай,йи йсс = йсйсйсс й = йсй йо Гармоническая линеаризацня входящей сюда нелинейности г'(х) 1х1рх для переходного процесса, согласно (6.48), дает Р (х) = [с7(а) + д' (а) ~ 1 х, (7.13) где по формулан (4,11) с учетом (6.47) для данной не- линейности имеем д = — ) ~ а з1о ф ( (асз сов ф + аЦ з1п ф) ей в ~р с(~(» Г о с7' = — ) ~ а з1 п зр ( (асз сов зр + аф ейп зр) сот зр сор. о После интегрирования получаем 8, 4 д — а$ д' = —, аю. Зя ' Зя Тогда характеристическое уравнение системы (7 12) примет впд Т,Т;А + (Т, + Тз) Х' + (1 + й.,) Х + й + + е3л( ) ') Подстановка Х = $ + )го дает два уравнения Т, ТД'+ (Т, + Т ) Б'+ $ ~1 + 10, — ЗТТоэ' — —, й, "а) ( +й — (Т, + Тамаз =О, 4 3 Т, ТД'о) 1- 2ш (Тг + Тз) 5 + (1 + л .
— у й„а— — Т,Т,а ~о =- О. Из второго уравнения т,+уз 1+а а,,', аг 3~э+ 2 ~ .$+ 0с ос у,т, т,т з т,т а из первого— 2„($~- +(~+~ )5+ ',, та ~ — й+,', '(1 ( й,) (т,+т,)' т,+т, 'й з 1 3 Па основании этих двух формул можно построить диаграммы качества нелинейных переходных процессов (см. $6.4) по любому параметру, например по параметру й. Можно такнсе при всех заданных параметрах определить зависимости $(а) н ю(а) и произвести оценки качества переходных процессов.
2. Рассмотрим более совершенную систему, схема которой изображена на рис. 7.11. Снстема отличается от прежней тем, что спгнал неляненной коррекции и, проходит череа контакты реле. В результате при из ( О (т. е. в четных четвертнх колебаний) сигнал нелинейной коррекции не подается на вход усилителя. Это — существенное улучшение в сравнении с предыдущей системой, так как там уменьшение демпфирования давалось во всех четвертях колебаний, в то время как в четных чет- вертях это уменьшение пользы не приносит. олесь оно исключается за счет отключения коррекции при из( О. 1ахгквв Элнп~юйапааь йфпюр Ркс.
7.И. В результате вместо уравнения (7Л2) теперь получим (Т~Ттр )- (Тт + Та) р + (1 + й,®) р + Ц х+ ЙО~Р (х) = О, где — (х[рх при хрх < О, г" (х) = О при хрх ) О. Коэффициенты гармонической линеаризации изменятся при этом следующим образом: 3 Подставка это в общую формулу (7 13), получим Р (х) =- — ) О/ газ+ $з — Е) х — /1 — ) рх . (7.14) Характеристическое уравнение гармонически линеаризо- ванной системы примет вид га'., ТгтзАз+(Т (-Т4А+~ 1+й 3 аХ 2Ь, 1 — ~ А+ й (- — ~~а()/'юз ) $г с) () зг,' а+~а)~ з. После подстановки Х = в+)ю отсюда получаются два уравнения.
Каждое из них дает возможность выразить величину а в явном виде: (2Т Тз$+ (Т + Т,)) (мз+ $~) — Ь вЂ”,„Ь' ' '-~) Зл Графическим решением атой системы двух уравнений можно найти значения а и ы для каждого ааданного значения В. В результате получаются зависимости ге(а) и й(а), характеризующие качество переходных процессов при заданных параметрах системы. Если же менять Й или другой параметр системы, то можно построить и диаграммы качества нелинейных переходных процессов в этой системе по любому параметру. 3. Система с ограничением линейности обратной связи схематически показана на рнс.
7.12. Уравнения ее заданы в виде в = 6~ — Оз, и= й~е, из= йзии (Тзр+ 1)из = лз(из — и„), и,. = Р(ю,), лрйз = гез, (Тзр+1)гз„= 7гзиз> где Е(212) — нелинейность, изображенная на рис. 7 12. Применение такой нелинейной обратной связи позволяет уменьшить величину ошибки в динамике при болыпой скорости отработки (улучшает качество переходного процесса), сохраняя возможность обеспечения необходимого значения 72„при малых скоростях, исходя из требования 55 Рвс. 7.12.
статической точности. Гармоническая лннеаризацця для переходного процесса здесь, согласно $ 6.4, дает и, = д(а) ы„, причем д(а) = — „й ! агсз1п — + — 1/ 1 — ~ — ~ ). (715) Характеристическое уравнение системы: Т1Т2Л3+ (Т1Т2)Л2+ [1+йъй4д(а))Л+ 12 = О, 12 34 12 34 Из двух уравнений, получаемых после подстановки Л = ~ + 123, находим 2 "' = т, + т, + 22т,т, т, + т, тт 34 2(1+а 2 „( )) 2 1 2 2 (1 -~ а„а,д ( )) — т,т, ~ ' ', 22 2 г и = й„,х'в1дпх, х= рб.
После гармонической линеаризацип имеем 8 Д" = и й-'ы (7.16) г де а„— амплитуда колебаний скорости х = р~. Релейная характеристика О при ~и~(Ь, с а1вп и при (и() Ь в результате гармонической линеариаацпи принимает вид и =д(а)и, а(а) = — 1,7 1 — ( — ), (717) где а — амплитуда колебаний переменной и. Передаточные функции линейных звеньев системы укаааны на схеме рнс. 7.14.
Характеристическое уравнение гармонически линеаривованной системы получает впд Т~Тг)а+(Т~ + Тг))т+ Ятг7(а) д (а„)+ 1)й + + й~йаУсзд(а) = О. (7.18) Построим зависимости $(а) при разных значениях параметра Ь, входящего в выражение для д(а) (7.15) и определяющего зону линейности характеристикв обратной связи (рис. 7 12). Эти зависимости $(а) покааа- ны на рис. 7.13.
По величине ,У $(а) можно составпть оцен- ку длительности переходного ф ф Ьг процесса и выбрать наилучшее аначенсе Ь. 4. Приведем, наконец, пример введения нелинейной коррекции в нелинейную автоматическую систему. Схема системы представлена на 77 рис. 7.14. Система имеет ре- лейное управление. В качеРис. 7ЛЗ. стве корректирующего уст- ройства ввепена нелинейная обратная связь по скорости с параболнческой характери- стикон Вырааим амплитуду а, через а.
Согласно рис. 7Л4 получаем ь,д(а) а„ а. )/(1 ТТ зс+ . +, з е схеме Тогда по формуле (7Л6) получаем вз ел Чсс— д (а). (7Л9) Зп 1/() — Т,ТЯ'+ (Т, + Т,)' щ Исследуем устойчивость данной системы с нелинейяои обратной связью и сравним со случаем, когда в той Рис. 7.14. же релейной системе обратная связь лннейна, т.
е. когда величина д ааменяется просто козффициентом й . Границу устойчивости будем искать как границу области существования автоколебаний согласно укааанию в конце т 5.4. Подставив в характеристическое уравнение (7Л8) )с =Уы, получим Х = )с )с й д (а) — (Т + Тз) сз' = 0 (7.20) У = (Усзд (а)озс (а ) + 1) сз — ТсТзогз = 0 ) Эти два уравнения с подстановкой (7Л9) определяют частоту со и амплитуду а авгоколебаиий.
Выполнение эавессетв (7.20) соответствует прохождению кривой Михайлова (прп данном аначении а) через начало ноорди. нат (кривая 1 на рис. 7Л5). Для устойчивости системы (отсутствие автоколебаний) нужно, однако, чтобы уравнения (7.20) не удовлетворялиеь и привал Михайлова охватывала бы начало координат (кривая 2 на рис. 7Л5), т. е. чтобы при Х=О выполнялось условие Уо(а))0 при любом значении а. Удобнее пользоваться выражением Уо(а) = Поскольку параметр а ) О, то данное условие устойчивости можно заппсать в влде У'(а) ) О. (7.21) 11з условия Х=О, согласно (7.20), выразим параьиетр со через величину а: гс о,о со = т +т Ч(а) 1 о и подставим его в выражение для Рлс.
7.15. У(а), используя одновременно и подстановку (7Л9). В реаультате получим условие устойчивости (7.21) в виде 8оо,оо т,т. 1 о — — Зл)(о) аЯ (а) (-1 — т + т )с~7со~сос7(а) > О, (7.23) где т,то 13 ~(а) = ~Сс ~' т +т Ссоаовот(')~ +(т,+то)т,ток,ь,гсот(о). о о В случае„если з данной релейнои системе обратная связь лпнейна, т. е. о„,= 7с„„получим согласно (7.20) более простое выражение условия устойчивости: т,то Уо ='1со/сыд (а) + 1 — ' )сс)со7сод (а) > Оо т„+т, нли — )с,7со — й„1 од (а) > О. (7.24) .т, + т, ' ' Отсюда видно,.что если . ттт, й,„.
>,,', ', —,, 1„йо, той то то система устончива прн любых значениях коэффицнента усиления )сз и сигнала с реле. Прн т!т, ~т — т "' (7.26) 1 — '3 условие (7.26) будет удовлетворено прп всех зпаченоях а в том случае, осло опо удовлетворяется пря наибольшем значения !7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
