Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Цифровые же системы отличаются одновременным квантованием сигнала во времени и по уровню. При этом эффект квантования сигнала по уровню тем аначптельнео сказывается на особенностях процесса управления, чсп меньше число разрядов, т. с. чем больше размер ступенек квантования уровня сигнала. В том случае, когда в контур системы управления включается цпф1ювой вычислитель (ЦВМ), к отмеченным особенностям добавляются, во-первых, преобразование спгнала в соответствии с заданным вычислительным алгоритмом и, во-вторых, временное запаадыванпс, обусловленное временем, необходимым для процесса вычпсленпл.
К дяскретным системам относят также релсйные системы. По их анализ у;ке был проведен в предыдущих главах, начиная с главы 1, наряду с нспрерывнымн нелинейнымп системамп. Поэтому здесь мы обратимся к импульсным нелинейным системам. Амплитудно-импульсный элемент (рпс. 8.1, а) является линейным, когда имеет место 1231 линейная аавпсимость между амплитудой импульсов н значениями входной волпчпиы в моменты начала импульсоз (рпс. 8.2, а). Такой элемент будет нелинейным, если указанная зависимость нелинейка (рис. 8.2, 6).
Нто же касается широтко-импульсного (рис. 8Л, б) и фазо-импульсного (рис. 8Л, в) элементов, то в них амплитуда х 0 б) а) Рис, 83. импульсов постоянна по величине и меняет анак с изменением знака входной величины (рпс. 8.3, а). Ширггна импульса илп фаза соответственно меняются в зависимости от входной величины на некотором участке линейно, но с ограничениями по наименьшему н наибольшему значениям (рис. 8.3, б), так как существует, во-первых, минимальная ширина импульса и, во-вторых, нельзя выходить аа пределы периода следования импульсов (см. $9.4 в [231).
В свяаи с зтпм широтно-имкульсные и фаэо-импульсные элементы следует считать нелпнейнымп по своей природе. Нелинейность же цифрового кодирования обусловлена квантованием сигнала по уровНю, т. е. ступенчатой еави- снмостыо (рис. 8.4). В случае достаточно большого числа разрядов цифрового кодирования такой нелпнейностью можно пренебречь. Однако это требует всегда проверки, так как небольшое число разрядов квантования по уровню в таких элементах может вызывать понвленпе авто- колебаний в системе, что будет рассмотрено ниже. У Дискретная система будет нелинейной еще и в том случае, если непрерывная часть ее включает в себя какое-либо нелинейное звено (если даяге сам импульсный элемент линеен).
Динамические процессы в .дискретных нелинейных системах существенно отличаются от соотзетству|ощпх процессов в непрерывных нелинейных сп- Рис. 8.4 стемах. Так, собственные колебания системы здесь будут обусловлены не только собственнымп свойствами непрерывной части системы (т. е. некоторой собственной частотой), но еще в принудительной частотой чередовании импульсов. Это приводит к более слогкпым формам собг ственных колебаний, как переходных затухающих, так п периодических, а также почти лериоднческих. То иге самое относится и и формам вынугкденных колебаний в дискретных.
нелинейягзх .системах, .которые оказываются более сложными..Одна;ко здесь также возможно яаьтепив захватывания, как и в непрерывных нелинейных системах (з 6Л), т. е. при определенных условиях — подавление собственных колебаний вынужденными. й 8.2. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем Напомним, что абсолютная устойчивость нмеет место в том случае, если система устойчива в целом при произвольной форме нелинейности определенного класса (см.
$ 5,1). Рассмотрим здесь два вида нелинейных дискретных систем: а) с нелинейным амплитудно-импульсным элементом; б) с цвфровым кодированием. Рис. Втл Схема дискретной системы с нелинейным импульсным элементом представлена на рис. 8.5. Приведем без докааательства критерий абсолютной устойчивостп состояния Ряс. 6.6. Ркс. 6.7. равновесия такой системы [31~. Пусть нелинейная характеристика г'(х) располагается внутри сектора (О, Й.,) (рис. 8.6). В атом случае достаточный критерий абсолютВой устойчивости формулируется следующим обрааОм, Достаточньп> критерий абсолютной устойчивости.
Состояние равновесия нелинейной импульсной системы (рпс. 8.5) с устойчивой приведенной непрерывной частью будет абсолютно устойчивым, если в диа>>озоне частот О ~ ы < и выполняется неравенство — + Ве тт'в (/>о, 0) ) О, (8Л) еде трь(/ю, 0) — амплитудно-9>азовая характеристика приведенной непрерывной части.
Условие (8. ! ) можно представить графически, как показано на рнс. 8.7, т. е. ! ./ для устой >ивости нелинейной ! 1 импульсной системы типа 1 1 представленной на рис. 8.5 достаточно, чтобы амплитудно-!базовая характеристика приведенной непрерывной ! 1 части системы >Рь(/ы, 0) 8"(>85 >Р лежала справа от вертикаль- 1 ной пря.чой, проходящей через точку — (//>„, где Ь о>гределяет верхн>ою границу Рве. 8.8. расположения нелинейной характеристики (рис. 8.6).
Если, напрвмер, непрерывная часть системы рнс. 8.5 имеет передаточную функцию ру. (у)— и дискретное корректпрующее устройство ~,* ( 0) О,З ~ — 0,1 еч — О,З то для прпвсденной непрерывной часто получки )т'в( 0) = еч — 0,98 еч — О,З Заменив у = /ы и меняя 0 ~ в < и, получим амплитудно-фааовую характеристику (рис.
8.8). Поскольку вертикальная линия, определяемая вначеннем — 1//г, долл<на лежать слева, то можно опрсде»пть граничное значение /с, коэффициента с, до которого система остается абсолютно устойчивой. Иэ рпс. 8.8 находим и" = (и' бп,оП =3.25. Более общий случай критерия абсолютной устойчивости для нелинейных импульсных систем см. н [3Ц. Рпс. ЗЛО. Рпс. 8.9. Ооратимся к цифровой дискретной системе. Чтобы исследовать влияние квантования сигнала по уровню, положим, что этот процесс квантования представляет собой единственную нелинейность в системе. Схема снстемы изображена на рис. 8.9, где Рэ(г) имеет вид, показанный на рис.
8ЛО. Анало- г гична п характеристика Р1(д). Блоки Рэ(а) п Р,(у) работают синхронно н синфаано. Поскольку величина й, ограничивающая нелинейную характеристику Ряс. 8.Н. сверху, в данном случае (рис. 8.10) равна 2, то достаточное условие абсолютной устойчивости (8.1) прп устойчивой непрерывной части И'(й) примет здесь апд 1 + Ве )Р э 0ю, О) ) О. (8.2) Если необходимо определить граничный (по условиям устойчивости) общий коэффициент усиления непрерыв- ной части, следует его выписать в выражении И'*()гз, О)' в явном виде, а именно Ига()оз, О) = КИг~ (уго, О).
Тогда условие абсолютной устойчивости (8.2) примет .впд + + Не И', ()гз, О) ) О. Отсюда граничный коэффициент усиления К„определит. ся, как показано па рис. 811. в 8.3. Одночастотные периодические колебания в нелинейных дискретных системах Не касаясь сложных форм колебаний в нелинейных дискретных системах, обратимся к определению только одиочастотиых симметричных периодических процессов. рассмотрим дискретную систему с нелинейным амплитудно-импульсным элементом прп отсутствпп внешнего воздействия (рнс. 8.5).
Точное решение задачи слоясно. Поэтому обратимся к приближенному методу гармонической линеариаацпп, Допустим, что непрерывная (лпнейная) часть системы обладает необходимым свойством фильтра, т. е. $ И™( 1 †, 0)$:3 $ Иг* (1 — , 0)$ (й = 2, 3, ..., 2йг — 1), где )У вЂ” полуперпод искомых колебаний, выраженный числом периодов чередования импульсов. Злесь указано конечное число гармоник, так как дискретная система имеет свойство переводить все частоты в диапазон 0 ( ~ ы < и (см.
т 102 в [23]). Решение для периодических колебаний приближенно ищется з виде х[я, О) =-асов( — и+ гр). (8,3) Гармонический коэффициент усиления нелпнейного элемента вычисляется по формуле эя-з й д*(а,гр,гг) = уз,7, 7~асов~ — и+гр~~е ~ ~. (8,4) Условием возникновения симметричных колебаний на основании аналога критерия Найквиста 123) является равенство И'*(/ —, О) д*(а, »р, /»') = — 1, илп (8.5) Это уравнение решается графически в отдельности для кая»дога аначения Ж.
Следовательно, мы задаемся различнымн частотами н//»' колебаний и для каждой пз пнх К~вньл - ~, Ья уаа«ьа гК гКи находим амплитуду а и фазу 4" га3тими и ~р. Результат расчета пока- ./ жег, какие частоты колебаний и/А/ могут в данной системе пметь место. Итак, на комплексной — » плоскости (рнс. 8 12) строим кривую И'* (у —, О), вдоль которой ставим отметки разных целочисленных значений »»=//л,З и ' А/. Затем задавшись некоторым значением /»' (например, Рис. зл2.
Ж = 3), строим серию кривых — 1/д* для разных значений <р. Вдоль этих кривых ставим отметки значений амплитуды колебаний а. Искомое .решение (а, ~р) даст та нз кривых — 1/д*, которая ,/. я пройдет через точку кривой И~«~/ —, О), соответствующую заданному А7. Если такое пересечение отсутствует, то периодические колебания с частотой я//»' пря данном А/ не существуют.
Аналогичное построение повторяется н для других значений Л'. Если ввести в рассмотрение лсевдочастогу (понятие «псевдочастота» рассматривалось в (231), то можно воспользоваться логарифмическими частотными характеристиками приведенной непрерывной части. Аналогично определению автоколебаннй в непрерывных нелинейных системах ($ 4.3) здесь можно использовать и критерий Михайлова для дискретных систем (см. [231). Одночастотные периодические колебания, которые рассмотрены в данном параграфе, аяалогнчны автоколебанн- ям.
Однако этот термин к нпм, строго говоря, непрпме япм, так как этп копебанпя ие чисто автономные; зто колебания с принужденной частотойг„кратной частоте следования импульсов. И недаром в расчете задаются разные Й, а вычисляются а и гр, в отличие от расчета ав- токолебанпй (см. гл. 4). Однакг> чисто условно термин «автоколебанпя» можно прпменя.гь я здесь. П рп м е р.
Пусть в схеме сгтстемы рпс. 8.5 внешнее воздействие отсутствует (д = О) и дано н (д) =л; — „, Р Я + длительность импульсов ( = 1. 'Гогда (см [23) ) т — г д и" з., ч = ~,, = е -гн Ьслп нелинейность, указанную на рпс. 8.5, описать выра- жением г"(х) = х — Лх', то для нее прв Й = 2 имеем ~*=1 — — (34 е- ), апрп )У=Зим=4 де=1 — . о.
2 4 Следовательно, для Л' = 2 получаем графическое решение а виде, представленном на рис. 8.13, а одночастотных ~колебаний с полуперподамп У = 3 и У = 4 пе существует (так как для них гармонический коэффндпент усиления 1(а должен быть вещественным); поэтому лвипя — 1/д" я с кривой Рг~*(у 4, О) не пересекается. Если же нелинейность г(х) имеет зид релейяой ха- рактеристики Р(х) = з(лот, то для Й четного 2 1 '('*з4 дз = — е за' я х мз— 2Л а для гу нечетного 2 зев аФ я з/л— 2Ж при О~гр( —, г З.г] ОДНОЧАСТОТНЫВ ПЕРИОДНЧЕСЕИЕ КОЛЕБАНИЯ 223 Эдесь возможны одночастотные периодические колебания с разнымп частотамн. Случай Л~ = 2 представлен на рис. 8.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
