Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Схема системы представлена на рпс. 7.31. Пусть динамика основной части системы (управляемый объект с исполнительным устройством) при отсутствии внешнего воадействия описывается уравнением (р" + а р'-' +... +а„,р + а„) х = -Ьи, (7 37) где х — отклонение регулируемой величины, и — управляющий сигнал на исполнительное устройство. Обозначим аз ~хи — т х,=х, х,= — ', ...,х = — „" ~, (7.38) Тогда уравнение (7,37) можно представить в виде си- стемы ааа —," = — (а,х„, +... + а„,х, + а„х,) — Ьи, аз~ ~~ = хаем (7.39) Функцию управления с переключением структуры, формируемую в логическом управляющем устройстве, выберем в виде '(7.40) и = Ч'хь где а ри х,у > О, Ч" = р при х,у е.0, (7.41) причем а, () — постоянные коэффициенты (а) р), а пе- Рзс. 7.30 ременная у складывается из отклонения хг и и — 1 его производных: у =,~~.е;хг с = сопзс, е„= 1. (7.42) г-ь В атом случае говорят, что имеется полная иг4ормацин о состоянии системы.
На практике же иметь точные значения всех производных невозможно. Сначала рассмотрим идеализированную систему (в конце параграфа будет сназано о реальном случае систем с неточной н неполной нцформацией). Переключение структуры будет происходить, согласно (7.41) и (7.42), при у= ~ ех;=О. $-1 (7.43) В и-мерном пространстве это будет гиперплоскость. Н6- помним, что на фазовой плоскости ($ 2.4) мы имели'прямую линию переключения (2.26), а в трехмерном пространстве это была бы обычная плоскость (для системы третьего порядка, когда и = 3), Условие воаникновения скользящего процесса состоит в том, чтобы фазовые траектории встречались на гиперплоскости переключения, подходя к ней с обеих сторон, или же принадлежали бы атой гпперплоскости.
(В системе второго порядка они встречались на линии переключения (рис. 2.18) .) Следовательно, требуется, чтооы, с одной стороны, гиперплоскости переключения (7.43), гдг у ) О, производная ду/й была неположительной, а с другой стороны, гиперплоскости, где у ~..0, производная Иу/й была неотрицательной. Это условие возникновения скользящего процесса можно записать в виде (пп — "(О, 1пп —" О, (7.44) э +а ж э-~-о ж где ~0 обозначает пределы стремления у к нулю со стороны соответственно положительных и отрицательньп значений у.
Определим внд дифференциального уравнения, которым описывается скользящий процесс. Согласно (7.43), ,(7.42) и (7.38) получим для скользящего процесса систему уравнений — с1хп д = агам 1= 1~ 2,...,п — 2. (7.45) Отсюда видны два важных свойства. Во-первых, порядок системы по сравнению с исходной (7.39) на единицу понижается. Во-вторых, в уравнения (7.45) входят только параметры с, управляющего устройства. Поэтому форма скользящего процесса не зависит от параметров основной части системы (объекта и нснолнительного устройства), входящих в коэффициенты а, исходноге уравнения (7.37).
Напомним, что рассматривается идеальный случай при полной и точной информации о состоянии системы. В неидеальном случае будут, естественно, отступления от этих свойств, но асе же в первом приближении на нпх монгно опираться. Итак, организуя скользящий процесс в системе с переменной структурой, моягио придавать этому процессу игелаемые свойства путем выбора значений ноэффициеитов с, управляющего устройства.. Следовательно, задачр проектировщика.состонт в построении системы такт чтобы условия возникновения скользящего процесса (7.44)' реа.
лизовалнсь, Как поьааано в 191, нз анализа условпй (7.44) сов. местно с уравнениями (7.45) н (7.39) получаются следующие необходимые и достаточные условия того, чтобы на гнперплоскости (7.43) существовал скользящий процесс: Ьдд ~ — а„ + с,а, — с,с. н др < — а, + с,а, — с!с„ д, (7.46) с. — а 1-1 С-д+1 = Сс-д ад с! ! = 2,...!и — 1. (7.47) В Я получено условие устойчивости движения системы по гпперплоскостп скольжения. Доказано, что для этой цели надо составить характеристическое уравнение системы (7.37) с заменой Ьи = — (а, + с, (с„, — а,) |х; нто уравнение получает внд Ь" +а!Л' '+...+а, !Х вЂ” с,(с„, — а,) = О. (7.46) причем и = Ч"х„ где 1 при хду ) О, Ч'= — 1 при х,у (Од У = Сдх! + С2Х2 + СЗХЗ Сравнивая эти выражения с (7.39) н (7.41), видим, что здесь и=3, а,=ад=аз=О, Ь=1, а=1, р= — 1.
Поэтому условна (7.46) и (7.47), реализующие скользя- Для устойчивости движения системы по гнперплоскостп скольжения необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (7.48), кроме одного, имели отрицательные вещественные части. Проиллюстрируем применение этих положений на примере следующей системы третьего порядка: ас сз — =х 2 х — = — М С! — 21 л! — З щпй процесс, получают впд 1 з — с,с„— 1 ( — с,с.„с, = с~~.
(7.49) Уравнения скользящего процесса (7.45) будут иметь второй порядок: Нх — = — с,хг — с х„ (7.50) Выбором коэффициентов с~ и ст (не нарушающим написанного выше условия) можно придавать желательные свойства форме скользящего процесса. Для устойчивости системы в скользящем процессе требуется с~ ) О, сз ) О, что не нротнворечит условиям (7.49). Исследуем также устойчивость движения системы по гпперповерхностп скольжения.
Для этого, согласно (7.48), имеем характеристическое уравнение в виде с сз = О. Корни этого уравнения: — " — ( 1 .РЗ~ Х~ — — р сгсз, Хьз -— — 3~ сгс ~ — — ~ )в 2 2! Здесь только один корень положителен, а остальные два имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, движение системы по пшерплоскости сколыкення устойчиво. Выше было изложено идеализированное представление о системах с переменной структурой, предполагающее, во-первых, налично в системе точного измерения всех п — 1 производных регулируемой величины и, во-вторых, линейность объекта и исполнительного устройства.
На практике нереально иметь точныс значения проиаводных, особенно высокого порядка. Свойства строгой линейности так;ке могут нарушаться. Вследствие этого в системе не получится идеального скользящего процесса н не будет полной независимости формы процесса от параметров основной части системы. Однако процесс может быть близок к скользящему. Проанализируем характер отклонения реального процесса от идеального скользящего за счет указанной неполноты и неточности информации о состоянии системы.
Пусть система описывается дифференциальным уравне- нпем (7.37) или в преобразованном виде — уравнением (7.39) с логическим управлиющпм устройством (7.40), (7.41). Но вместо (7.42), где введены точные значения всех производных х, от регулируемой величины х„ в реальной системе величина у будет определятьсл другим выражением. Например, если дифференцирующие устройства имеют передаточные функции ~(з) = т;+1 то вместо алгебраической суммы (7.42) получится некоторая передаточная функция плп дифференциальное уравнение вида 0(р) у = )7(р) (7.51)' Этим п определится реальная зависимость величины у от х~ в законе переключений структуры (7.41). Это вызовет Рис.
7,32. некоторые искажения хода фазовых траекторкй в районе прежней идеализированной гпперплоскостп скольжении. Основную роль будет играть инерционное аапаздывание моментов переключения. В результате пзображающал точка системы а фазовом пространстве не пойдет точно по гиперплоскостп скольжения, а будет иметь колебании около нее. Эти колебательные отклонения реального процесса от идеального скольаящего будут тем больше, чем больше величины постоннных вРемен Т; диффеРенциРУюшнх устройств. Кроме етого, в реальной системе неполнота информаднн свяаана еще с тем, что намеряться будут не все л — 1 проиаводные, а только малое число ниашнх производных, что дает дололннтельное искалсение процесса.
Указанные колебательные отклонения реального лронесса от идеального сколюкения будут аавпсеть уже не только от параметров управляющего устройства, как в идеальном случае, но таюне в какой-то степени н от параметров основной части системы, Существуют точные методы определения такого реального процесса для систем второго порядка и приближенные — для систем высокого порядка ~9]. Приблиясенно реальный процесс скользящего типа с указанными колебаниями моя~от быть определен и с помощью метода гармонической линеариаации ~27~. На фазовой плоскости реальный процесс изобразится, например, как покааано иа рнс.
7.32. Таким образом, на идеальную линию скольжения в реальной системе будут наложены колебания с большей илн меньшей амплитудой в аависимостн от степени неполноты и неточности информации о состоянии системы. ГЛАВА 8 ДИСКРЕТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ $8.1. Виды нелинейных дискретных систем К дискретным системам относятся импульсные и цифровые системы. Общее понятие о дискретных системах было дано в учебном пособии по линейной теории [23, гл. 9!. Там описаны трп вида импульсной модуляции: амплитудная, широтная и фазовая, с постоянным периодом чередования вмпульсов. Кроме того, существует еще частотная импульсная модуляция, когда размер импульса неизменен, а частота (период) следования импульсов меняется в зависимости от входного сигнала. Все эти четыре вида импульсной модуляции характеризуются квантованием входного непрерывного сигнала по времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
