Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Но вто следует делать с помощью методов расчета автоколебаиий, изложенных выше в главе 4. Здесь мы будем рассматривать точность и качество процессов около устойчивого равновесного состояния в нулевой точке. Пусть схема системы имеет вид, изображенный на рис. 7.1. Положим, что линейное корректирующее устройство любого типа вводится в одну из линейных ча- Рнс. 7.1. отей, т. е. в блок И',(г) или И'г(г), не охватывая нели нейного звена г" (х). Условимся з формуле гармонической линеаризации (7 1) записывать д(а) = йдс(а), где к — коэффициент усиления (его определение для различных нелинейностей показано на рис.
11). Тогда выражение дс(а) можно получать, согласно $4.2, а виде 1 дг (а) = — д (а). Например, для кубической нелинейности из (4.22) имеем 3 а рв(а) = '+ 4 Ь а для характеристики с насыщением (рис. 4.8, в), соглас но (4.28), получаем 21 . Ь Ь Г Ьг1 у (а) = — ~агсз1п — — — 1т 1 — — ~. о п~ а а ~/ аг1 Указанный в формуле (7.3) коэффициент й будем относить к передаточной функции линейной части системы. Так, для схемы рис, 7,1 передаточную функцию И', (з) = 7«И"„(з) = 7«И'1(з) И'з(з), (7.4) где Й вЂ” коэффициент, выделенный из нелинейности согласно (7.3).
Соответственно в случае релейной характеристики (рис. 1.2, в) в качестве величины й примем значение д, т. е. й= —. 2в иЬ' (7.5) В этом случае, согласно формулам (7.3), (7.5) и (4.23), получим 2Ь д«(а) = — 1 — — >. (7.6) такой приведенной линейной части будем ааписывагь в виде Величину дэ(а) будем называть нормированным коэгбгбициентом еармонической линеариэации. Тогда синтез корректирующего устройства можно производить следующим образом. 1. Строится логарифмическая амплитудная частотная характеристика первоначально заданной приведенной линейной части системы: И'.,(з) = йИ'1(з) И'з(з), где й — коэффициент усиления, перенесенный из нелинейности. 2.
Формируется желаемая логарифмическая амялитудная частотная характеристика линейной части И' (з) в соответствии с требованиями точности и качества процессов, как зто изложено в теории линейных систем (см. (23~, гл. 6). 3. Синтеаируется линейное корректирующее устройство также методом линейной теории. 4. Вычерчивается логарифмическая фааовая частотная характеристика полученной скорректированной линейной части системы. В дополнение ко всем втим операциям, выполняемым по линейной теории, добавляется еще один пункт, учитывающий нелинейность Е(з) в нормированном виде.
5. Для данной нелинейности с использованием нормироваяного коэффициента дэ(а) строятся «запретная> во- на, соответствующая желаемому показателю колеоательности М. Внутрь атой воны не должна ааходить фааовая частотная характеристика скорректированной линейной части системы. Та кривая М= сопз1, которой касается полученная фазовая характеристика, определяет значение показателя колебательности данной скорректированной системы. Если необходимо его уменьшить, то нужно несколько изменить параметры полученного выше линейного корректирующего устройства, следя за тем, чтобы не допускать существенного искажения желаемых свойств логарифмической амплитудной частотной характеристики приведенной линейной часта, положенных первоначально в основу расчета.
Этот пятый пункт процедуры синтеза в совокупности с предыдущими обеспечивает нужные качества процессов в замкнутой нелинейной системе в целом. Следовательно, прежде чем приступать к синтезу линейного корректирующего устройства в нелинейной системе, необходимо научиться строить запретную вону по показателю колебательности при ааданной нелинейности, Такое построение может производиться методом гармонической линеаризацин, поскольку речь идет о колебательных переходных процессах. Рассмотрим методику этого построения, Ограничиваясь рассмотрением однозначных пелинейностей (7.1) с ограниченными аначенпями коэффициента гармонической лпнеарпзации (7.2) п кспользуя его нормирование (7.3), получим следующее выражение для передаточной функции рааоикнутой цепи гармонически линеаризованяой системы: Жз а) = ру (з) йдс(о) = до(а) И~,„(з) .
Передаточная функция замкнутой спстемы примет вид к~(8,а) за~ ) са~~б Ф(з л) а 1+и'(,а) 1+аз(«)к' [ у Выделим вещественные и мнимые части после аамены з = !м, обозначив нх следующим образом: И',„()ы) = У(гэ)+ ур(ы). Тогда для показателя колебательности М = ~Ф(уы, а) ~ имеем выражение „~/с'+ ' Р'(~+е и)'+(ч у)а Отсюда после преобразования получаем уравнение линий равных вначений М на комплексной плоскости (У, '»') в виде ((» — 77~)т+ $'т = 77т, (7 7) где е, (м' — ~)' е, (м' — ~)' При определенном аначеаии дс линии М = сопвФ получают вид окружностей. Но согласно (7.2) и (7.3) величина дс может принимать любое аначение в интервале 0(до(а)<до или дс ~да(а)<до, (79) где числа дс» н до получают свои определенные вначения для каждой конкретной нелинейности.
В соответствии с атим, согласно (7.8), координата центра окружности Ус н радиус 77 будут тоже меняться в определенных Р с. 72. для каждой нелинейности пределах. Следовательно, каждая линия М = сопв1 будет определятьсн как огибающая непрерывного множества постепенно меняющихся окружностей. При атом в случае первого неравенства (7.9) линия М = сопв1 будет оеааиквугой (рнс. 7.2, а), так как в начальной точке до=О из (7.8) имеем Ус= оо, 7(= оо. Показанные ва рис. 7.2, а величины 7(~ и 01, согласно (7.8), определяются выражениями зт м' д, (Мз — 1)' ~' т, „(Ма — )' (7ЛО) В случае второго неравенства (7.9) линия М = сопМ будет замкнутой (рнс. 7.3, а), причем т, „(Мз — 7)" ' т, „(М' — 1)' а значения Й~ и У~ прежние.
Рнс. 7.3. Поскольку синтез линейного корректирующего устройства проводится по логарифмическпм частотным характеристикам, то изображенные на рис. 7.2, а и рнс. 7.3, а линии М = = сопз$ (запретные воны) должны быть перенесены в систему коордкнат логарифмических характеристик. Это показано соответственно ва рис. 7.2, б и рис. 7.3, б. Взяв равные постоян- ные значения М(Мь М,, Ряс. 7УЬ Мз, ...), получим серию кривых М сопвг (рис. 7.4).
Логарифмические частотные характерпстпки скорректированной по изложенной выше процедуре системы должны быть такими, чтобы фазовая характеристика линейной части <р(ю) не заходила внутрь запретной зоны, определяемой допустимым значением показателя колебательностн М (рнс. 7.5). Есле расчет корректирующего устройства ведется по амплитудно-фазовым частотным характеристикам, то ва поле координат (У, У) получается серия кривых М = = сопят (рис. 7.6, а), причем амплитудно-фазовая частотная харавтернстика приведенной линейной части скоррсктврованной системы но должна ааходить внутрь запретной зоны, опредсляемой здесь допустимым значением показателя колебательности М (рис.
7.6, б). Пример. Пусть имеется дна варианта (рис. 7.7, а и б) нелинейности Г(х) в свстеме, изображенной на рис. 7Л. Передаточные фуницпн линейных звеньев (рис. 7Л) заданы в виде /г а рр1(з)=„'+,. И'()=„+, Следовательно, ь„ )тл(з) = (т, ) Т, ~~ кл = Я1к ° Заданы Т, = 0,01, Тз = 0,04, а величину й, зюжно пзменять. б) Рвс. 7Л.
Крутизна наклона линейных отрезков нолипейной характеристики определяется коэффициентами Ьз и йм Аиюнепейнюя Уапевпиаспа Неусаа1чшюапь й йь",6 УЫ усй ау Успюпгсаюаь Авюшалейеньн Неуспюйюеаапо Уйй ййй угл й) Усюейснв»юаь Иеуапсйигеаппь ййй в) Ряс. 7.9. (7.10) н (7 11), для первого случая (рис. 7.7, а) М 2 (М~ — 1) 2 (М' — 1)' М~ Мь — 1 М 77, = —, Мь — 1 а для второю (рис. 7.7, 6) М В =— М вЂ” 1 и' (у» = —— М вЂ” 1 ь а 0»5 (Мь — 1)' 0,5 (М~ — 1) причем в первом случае (рис. 7.7, а) 7»з = 1, 7»» = 2, а во втором случае (рнс.
7.7, б) 7»з = 1, 7»» = 0,5. Здесь нелинейность представлена уже в нормированном виде, поскольку 1»ь = 1. Поэтому тут»7»(а) = д(а). Очевидно, что коэффициент о(а) меняется в пределах между Йь и Ьгм т. е. в первом и втором случаях соответственно имеем 1 К дь(а) ~ 2; 0.5 < дь(а) ( 1. Линия М = сопэ1 будет иметь вид, представленный ва рис. 7.3, где, согласно Придавая М разные значения, получаем кривые, показанные на рпс.
7.8, а в б соответственно для первого и второго случаев. Там нсе нанесены амплвтудно-фазовые характеристики линейной части для трех разных значеннй Й,. Из этих графиков видно, что по сравнению с чисто линейной системой в первом случае (рнс. 7.8, а) эа счет нелинейности запретная зона выпучивается вправо, а во втором (рзс. 7.8, б) — влево. Следовательно, в первом случае за счет нелинейности повышается колебательность системы, а во втором — нет. Интересно также отметить то, что автоколебания в нелинейной системе определяются (см. $4.4) условием 1 И'~ ()ю) = — —.
у (ау Правая часть етого равенства изображается графически отрезками вещественной оси соответственно для первого в второго случаев: †< ЕУ ~ — 0,5, — 2 < 0 ~ — 1. Линейная же система устойчива, если кривая И'Ою) пересекает вещественную ось правее точки — 1.
Следовательно, во втором случае область устойчивости нелинейной системы сохраняется, как в линейной системе, а автоколебанпя возникают уже за ее пределами. В первом же случае область устойчивости системы за счет нелинейности сужается, н автоколебанпя возникают там, где линейная система была бы устойчива. На рис. 7.9 это показано графически: а) для первого случая, б) для второго случая, в) для чисто линейной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
