Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. д = О. Здесь же имеет место случай (5.39), т. е. д = оо. Очевидно далее, что условие абсолютной устойчивости системы Д„! ) О, согласно (5.42), при любом значении д определится неравенством Тз7з)Ть В соответствии с зтим область устойчивости представлена графически на рнс. 5.1б.
В 1221 имеются примеры, когда условия границы устойчивости (5.37) выполняются не только при крайних значенияхд = Оилид = со, как здесь, но при промежуточных конечных вначениях д в соответствии с рис. 5.1* а. Уалллгжгал Рис. 5дб. Рассмотрим теперь влияние конкретной формы нелинейности на устойчивость нелинейной системы в обоих характерных случаях, приведенных в примерах 1 и 2. Рис.
537. Пример 3. Пусть в примере 1 задана конкретная форма нелинейности (рис. 5.17,а), для которой коэффициент гармонической линеаризации а лежит в интервале 0<д~д . '(5.44) Поскольку граница устойчивости (5.41) определялась наименьшим значением д = О, то она останется той же и при данной конкретной форме нелинейности. Но здесь следующим образом может быть определена область неустойчивости системы (в целом). Равенство Ь ~ — — О, определяемое формулой (5,40), при д = 0 дает границу устойчивости, а при всех осталь- ных значениях д(а) в интер(у, вале (5.44) равенство (5.40) определяет автоколебания.
Но зто возможно, согласно (5.40), только при условии йч ( у з (1 + ТгйосЧт). 11 (5.45) Иначе окажется Л ~ ~0 при любых аначениях д в интерва- Ф ь ле (5.44), т. е. система не- устойчива. Рас. 5Л8. В результате получаем в данной системе три области (рис. 5.18): устойчивости, автоколебаний и неустойчивости. Здесь граница устойчивости определяется формулой (5.41), а граница неустойчивости, согласно (5.45), 1~1 Однако во многих случаях нежелательно входить и в область автоколебаний. Тогда выбор параметров системы ограничивается областью устойчивости.
Пример 4. Пусть та же конкретная форма нелинейности (рис. 5.17,а) фигурирует в примере 2, приведенном выше. Поскольку граница абсолютной устойчивости (5.42) получается при д = сс, то ограничение значений д интервалом (5.44) расширит область устойчивости. Вместо (5.43) из (5.42) при д = о получим новую границу т,ь„т,+ т, -- Т т, т',ь„ В соответствии с этим область устойчивости при конкретной форме нелинейности вместо общего случая (рис. 5.16) расширится, как показано на рис. 5.19.
За атой границей имеет место область автоколебаний. В заключение заметим, что описанное выше исследование устойчивости нелинейной системы методом гар- т,л т, Рис. 539. монической линеаризации может быть выполненоиспривлечением критерия Михайлова вместо критерия Гурвица. Подставив в левую часть характеристического уравнения гармонически линеаризозанной системы ) =)ю и выделив вещественную и мнимую части ,0((ю, д) = Х(в, д) +уу(г», д), надо потребовать выполнения критерия Михайлова при всех возможных значениях д (5.33) или (5.34). Иначе границу устойчивости можно определить как границу области, в которой Х(ю, д) =О, У(ю, д) =О, т.
е. как границу области существования автоколебаний. Это бывает удобно в более сложных случаях. Пример будет рассмотрен в конце 1 7.2 (пример 4). й 5.5. Частотный критерий абсолютной устойчивости Выше мы уже получали условия абсолютной устойчивости в различных случаях. Аналогично для цели исследовдния абсолютной устойчивости нелинейных систем служит частотный критерий устойчивости В.
М. Попова. Оп дает достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной системы по виду частотной характеристики линейной части системы. Пусть в системе имеется одна однозначная нелинейность г" (х) (рнс. 5.20). Рассмотрим два случая расположения характеристики: пер- вый — нелинейная характеристика расположена в секторе [О, й ), как на рис. 5.20, второй — в секторе [йн й ), что будет показано ниже.
Начнем с первого случая: 0 ( р(х) < й х. (5.46)' Линейная часть системы описывается уравнением Д(р)х =* — гг(р)у, Рве. 5.Ю. причем степень многочлена Яр)' больше степени многочлела Л(р). Передаточная функция линейной части Иг(з) )1(з)/~1(з) имеет полюсы с отрицательными вещественными частями, причем допускается наличие не более двух нулевых полюсов. Приведем без доказательства формулировку теоремы В. М. Попова (доказательство см. в [31)). Теорема Попова. Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе [О, й ) и существует такое действительное число й, что при всех ю > 0 выполняется неравенство Ве [(1 + [ге'к) Ит (нв)) + — ) Оз (5.47) вде И'()ге) — амплитудно-1базовая частотная характеристика линейной части системы.
Для удобства графического представления етого критерия вводится моди4ийированлая частотная характеристика линейной части И'зЬо)= У (ю)+)У (и[ где С„,(ы) = У(ы), Р,(ы) = ыУ(ю). (5.48) Следовательно, график Ит„,(/ы) кисет вид, аналогичный амплитудно-фазовой характеристике линейной части Щ/ы) и отличается от нее только масштабом по мнимой оси (рпс. 5.21) . Поскольку выражение (5.47) мол~но записать в виде У (О) — бйу (ы) + †„ ) О, то с подстановкой (5.48) оно преобразуется к виду Ц (ы) — Мl-(ю)+Г) О. 1 (5.49) Выражение С вЂ” йУ + — =О (5.50) представляет собой уравнение прямой на плоскости прямоугольных координат Сю У„.
Эта прямая проходит через точку — 1/Й на оси У„и имеет крутизну наклона 1/Ь. Отсюда вытекает следующая формулировка. Критерий абсолютной устойчивости. Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика Р(х) находится внутри сектора [О, к„) и можно провести через точку — 1/й„прямую так, что она не пересечет модифицированную частотну>о характеристику (последняя лежит справа). На рис. 5.22 показаны случаи, когда критерий абсолютной устойчивости выполняется, а на рис.
5.23 — когда не выполняется. Интересно получить с помощью етого критерия условия абсолютной устойчивости для той же системы самолета с нелинейным автопилотом, которая была рассмотрена выше методом Ляпунова (в 5.3) и методом гармонической линеаризации (з 5.4). Особенность там состоит в том, что допускалось расположение нелинейной характеристики во всей 1 (к П1) четверти, т.
е. в секторе (О, й ), где й . Позтому прямая в частотном критерии должна проходить через начало координат. а) Рис. 5.22. а) Рис. 5.23. Решим вту вадачу сначала аналитически, а ветен проиллюстрируем графически. Условие (5.47) при й„ принимает вид Ке(1 + ~вй) И'Цв) ~ О, '(5.51)' а вместо '(5.49) получаем 0 (в) — йр„(в)) О. (5.52) Для указанного примера (т 5.3) уравнения (5.25)' можно преобразовать к виду р = 1 (хз), (1 + р) р хз = (гр' + (1 + г) р + ) ) у, где обозначено р = — рхз, причем р — операторный символ производной по т(р = г(/дт). Передаточная функция линейной части системы записывается в виде г9 + (1 + г) 9 + у И~(з) = (1+ а) г а следовательно, — гм +1(1+ г) и+ т (М = — е (1+ге) Умножив числитель и знаменатель на 1 — )и, получим Ке И'()а) = — и 11+и) р( (, ) (1 +г т)и+~и — е (1+е) а согласно (5.48) т+" У = 1+" т+ "м .
(5,58) — ю' (1 -~- еР) ' ' — (1 + еР) Неравенство (5.52) принимает вид — ((+ оР) + ЬоР(1+ г — (+ АР) ) О. (5.54) Очевидно, что зто неравенство может быть выполнено при любом ю ~ О, если 1 +г — () О (5.55) и если Ь берется сколь угодно большим, чтобы обеспечить неравенство (5.54) прн сколь угодно малых ю. Полученное условие (5.55) выполняется при г) ( — 1, если () 1, г~О, если 0("( 1, что точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости денной системы (5.28) и (5.20)'. Смысл практической реализации этих условий был разьяснен в $5.3. Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая И~„(мв) = у„,(ы) +(р„,(ге), построенная согласно (5.53), расположена (рис. 5.24, а) справа от прямой Г„ — Ьг'„ = О, обовначенной штрих-пунктирной линией, со сколь угодно малым наклоном, если 1 + г— а) Рис.
5.24. — () О. Если же 1+г — ( ( О (рис. 5.24,б), то такую прямую провести невозможно и, следовательно, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой. Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости выражаются в аналитическом виде. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости в его графической форме может быть применен для систем с одной однозначпой нелинейностью при любой сложности линейной части спстемы и численно заданных коэффициентах уравнений. Перейдем к случаю, когда нелинейная характеристика е (х) расположена в секторе [Ьа, Ь„1, т. е. Ьех ( Р (х) ( Ь '(5.56) что покаэано на рис.
5.25. Здесь неравенство '(5.47) в теореме В. М. Попова принимает вид Ве~(1+ /ыЬ) „.~„~)1+ ц „> О (5.57) После преобравований приходим н выражению б/е (ы) + ~ — „+ — ) 5' (ы) — ~ — — — „~ Ьсо$'(со) + + )те (ю) + —, > О. Введя в рассмотрение модифицированную частотную характеристику (5.48), получаем, что уравнение на плосности координат модифицированной частотной Ряс. 5.26. Рас. 5.25. характеристики (У„, т'„) дает параболу, проходящую через точки — 1/Ье и — 1/Ь и имеющую в атих точках крутизиу наклона касательных соответственно — 1/Ь и 1/Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
