Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, эти условия справедливы при любой форме нелинейности, удовлетворяющей общим требованиям (5.16). Такие условия устойчивости, которые не зависят от конкретной формы нелиневности, называются условиями абсолютной устойчивости системы. $ 5.3.
Пример исследования устойчивости методом Ляпунова В качестве примера исследуем систему управления курсом самолета (рис. 5.9). Уравнение движения самолета в упрощенном виде имеет вид (Т1р+ 1)рР = — 1с~6, рБ = Р(и), (5 21) > 0 при и>Ь, — > О, Р(и) (0 при и ( — Ь, (5.22) =0 при )и)(Ь. Измерительно-усилительное устройство с обратной связью привода описывается выражением и = йч$+ й ври — й„б. (5.23) где ф — угол отклонения оси самолета по курсу, 6— угол отклонения руля, р(и) — нелинейная характеристи- ка привода руля (рнс.
5.10, а), прячем и обозначим 1 1 1 х= — рзр+ — 6 х= — — 6 ть т ' ' т з 1 1 1 1 хз = « = ()сФ+ )сгеРР яосб) т,ь ь„э т„ь,ь (5.24) В связи с последним обозначением нелинейная характеристика г'(и) заменится на 1(х,) (рис. 5 10, б), где Рвс. 5.9, Рвс. 5.10. изменится ляшь масштаб по осп абсписс. Поэтому зона нечувствительности вместо Ь (рис.
5.10,а) будет иметь размер Ы(Т~Ь~А т). Для перехода к каноническим уравнениям представим уравнение самолета (5.21) в виде Введем безразмерное время т=ИТ,. Тогда система уравнений (5.21), (5.23) преобразуется к каноническому виду Нз хз + 1(хз)з дх !( з) даз —" = (7 — 1) х, + ух — г1' (хз), Ит (5.25) где т,д,, 7 = — ''"„г=— (5.28) зре " '1Аре' Как видно из уравнений (5.21) — (5.24), установившийся режим полета, устойчивость которого надо исследовать, определяется значениями 6 О, р~р=О, !ф < ЬПгз или х, = О, х, = О, 1х.! < ЫТАа„з, Ъ что иллюстрируется отрезком АВ на рис. 5Л1. Рассзготрим отдельно два случая 7 ) 1 и О<7<1.
Случай 7 ) 1. Функция Ляпунова берется в виде зз 1г(х) = 2 х', + 2 хз+ ) ~(хз)г(хз (5.27) з Рес. 6.11 Производная от нее Ю' др дхз дУ дзз др дзз д(х) з+ з+ з дт дз Ит дз Нт дзз Ит' или в силу уравнений системы (5.25) после простых преобразований имеем И'(х)- -(7 — 1)(1(хз) — х à — (г-7+ 1)[1(х.))', Функция $'(х) (5.27) является полонгительно определенной. Производная же И'(х) от нее будет отрицательной зпакопостоянпой при условии г) 7 — 1, если 7) 1.
(5.28)' Это и является, следовательно, условием устойчивости системы согласно теореме Ляпунова. Заметим, что г[Ф'Ит = И'(х) обращается в нуль, когда х~ = 0 и г'(хз) = 0 при любом значении хм т. е. на всей полосе, изображенной на рис. 5 12. Поэтому интересно проверить, не застрянет лн изображающая точка на этой полосе, еслл фазовая траектория попадет туда. Из уравнений (5.25) на этой полосе имеем з *а а О з ух. Лт ' Лт ' Нт Следовательно, фазовая траектория будет проходить через полосу в направлении, параллельном оси хм как показано на рис.
5.12,и не застрянет на ней. Рис. й12. 2. Случай О < '( < 1. Функция Ляпунова берется в виде У (х) — х, + — ха+ ~(х,) дх„ а Производная от нее в силу уравнений системы (5.25): И'(х) = — = — (1 — т)х~ — г[~(хэ))а. Л' а Отсюда условие устойчивости системы, как условие отрицательного знакопостоянства функции И' (х), принимает вид г>0, если 0<у<1. '(5.29) В соответствии с обозначениями (5.26) через исходные параметры системы условпя устойчивости (5.28) и (5.29) запишутся в виде соответственно Й > (Тгйе — йре) йм если Ьре ( Т,Я„ йое> О, если й„е> Т,Ь~, (5.30) что графически изображено на рис.
5.13, а. Этот результат физически понятен: коэффициент дополнительной обратной связи й„дол".кен быть достаточно большим, если коэффициент интенсивности введения производной от ошибки й,ч взят сравнительно малым. Устойчивость системы не зависит от величины коэффициента обратной связи, если проиаводная введена с достаточно большим коэффициентом. ~р ~рог Согласно (5.30) имеем (прн положительных коэффициентах) зов+ ьвеь~ йе С т Ф' 11 т. е. основной коэффициент усиления автопилота йч можно увеличить за счет усиления обоих стабилизирующих средств: й„и йам что показано графически на рис. 5.13, б.
Поскольку в условия устойчивости нелинейной системы (5.30) не вошли параметры самой нелинейности, они являются условиями абсолзотной устойчивости системы при любой форме однозначной нелинейности, удовлетворяющей лишь условию (5.22). $5.4. Исследование устойчивости методом гармонической лииеаризации Для нелинейных систем с одной нелинейностью, обладающих свойством фильтра (4 4.1), можно определять устойчивость как свойство затухания переходных процессов.
Это непосредственно вытекает из материала $4.3 (см., например, рнс. 4.16,4 18). При этом граница устойчивости может быть определена как граница областисуществования периодических собственпых колебаний в системе (К= К„, на рис. 4.16, 418) т. е. как гранина появления пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении гармонически линеариаоганиой системы. А это з свою очередь можно определить, приравняв нулю предпоследний определитель Гурвица Л„~=О, если все стальные определители положительны '(для систем третьего и четвертого порядка это означает просто положительность коэффициентов характеристического уравнения).
Ограничимся рассмотрением однозначных нечетных нелинейностей Р(х), гармоническая лпнеаризация которых имеет вид Р(х) = д(а)х. (5,32) Величина коэффициента д(а), как видно из графиков, полученных в в 4.2, меняется в зависимости от а в различных пределах для различных форм однозначных нелинейностей.
Для одних — в пределах О < д < оо, (5.33) для других — с некоторыми конечными предельнымп значениями: О < д ч=гп г1 < д < со, г1 < д < гг, '(5.34) где г, и гг — определенные числа для каждой нелинейности (см. $4.2). Бесконечный интервал (5.33) охватывает все виды однозначных неликейиостей. Для отыскания гранины устойчивости системы (5.31), как границы появления периодических колебаний с какой-либо амплитудой а, надо потребовать выполнения равенства Л„~'(д)' = 0 хотя бы при каком-либо одном значении д в возможном для данной нелинейности интервале (5.33) или (5.34).
Область же устойчивости системы будет лежатьс той стороны этой границы, где А ~(д) ) О при всех возможных для данной нелинейности значениях д. Так, в примере 1 з 4.3 имеем йР- "у~ О, причем граница устойчивости (5.31) получается при д = й, а условие (5.35) выполняется, согласно (4.48), при 1 1 ййз ( — + —. т, т; Аналогично в примере 2 в 4.3 имеем 0<о<у,ь д „= 2с/яЬ, и граница устойчивости (5.31) достигается при о = д, а область устойчивости (5.35) Если же речь идет об определении абсолютной устойчивости при любой форме однозначной нелинейности, удовлетворяющей лишь условию (5.16), т.
е. Р(О) = О, лр(х) > О прн я Ф О, '(5.36)' нли (5.22) прн наличии зоны нечувствительности, то надо потребовать удовлетворения условия (5.35) при любом значении д в бесконечном интервале (5.33). Граница (5.31) области абсолютной устойчивости '(5.35) определяется обращением в нуль минимально возможного при 0 < д < оо значения А -ьЭто минимальное значение. может получаться как при конечном значении д внутри интервала [О, оо] (рис. 5.14, а), так и при одном из крайних значений д = 0 или д = со (рис. 514, б).
Иначе говоря, граница устойчивости может быть определена нз пары условий вап-~ А„-,(ч) =О, ~" ' — — О, (5.37) дд влн д„-~(е) =О, д=О, (5.38)' нли же Ь ~(д) =О,д=оо. '(5.39) Приведем примеры. П р и м е р 1. В качестве первого примера рассмотрим абсолютную устойчивость той же системы управления курсом самолета (рнс. 5,9), которая в $ 5.3 исследовалась методом Ляпунова. Проведя гармоническую линеарнзацню нелинейности Е(и) = д(а)и, получим, согласно "~п-У а) Ряс.
5Л4. уравнениям (5.21) — (5.23), характеристическое уравнение системы в виде ТдР + (1 + ТД„у (а)) Х' + д (а) (Ц„+ й,йре) ). + + йг)г,д~ (а) = О. Условия (5.37) принимают вид д,= (1+ Т,а д)(Ь + Ь,й а)д — Т,)4Ь д =О, ~~п-1 д" = 2Тг)гос (йос+ Агоре) д+ атос+ Игоре — Т,К,Ие = О. , дд (5.40) Оба оня удовлетворяются при д = О, если я0с+ "гйре — Тгйгйе = О. (5.41) Это — граница устойчивости (типа (5.38)).
Условие же устойчивости Ь ~ ) О при любом положительном аначении д, как нетрудно видеть, запишется в виде ь + й~йат ТАйч ) О~ откуда непосредственно вытекают оба условия (5.30) и оба графика рис. 5.13, полученные методом Ляпунова. Такое совпадение имеет место не только в данном примере, но и для большого класса нелинейныхсистем [22]. Рис. 5.15. Пример 2. Система '(рис.
5.15) задана уравнениями '(Т!р+ 1)хз = — й!х!, хз =г'(х), х = ха — й„х„ (Ттр+ 1)рх! = Йахз. При замене г'(х) = дх получаем характеристическое уравнение Т!ТзХ + (Т, + Тт)Х + (1 + Т!йзйо,д)Л + + (Й! + йа!) Йзд О, Предпоследний определитель Гурвица Д ! = (Т!+ Та) (1+ Т!йзйоад) — Т!Т2(й!+$сж)йтд. На границе устойчивости, согласно (5.37), имеем Д,, = Т, + Тз+ Т,МТгй — Тзйд д = О, да (5.42) — ' = Тгйз(ТЯа — Тай!) = О. ду Отсюда — граница абсолютной устойчивости, имеющая место при д = оо: (5.43) В предыдущем примере условие устойчивости определялось условием (5.3В), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
